2023年新高一数学暑假课程（人教A版2019）第三十九讲指数函数

第三十九讲：指数函数【教学目标】1.理解指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性；2.掌握指数函数的图象和性质；3.学会利用指数函数的图象和性质解决简单的函数定义域的问题；4.会利用指数函数的单调性比较大小和解指数不等式；5.能利用函数的单调性求简单的函数定义域与值域的问题．【基础知识】一、指数函数的概念一般地，函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R.注意点：(1)函数的特征底数a>0，且a≠1；(2)指数幂的系数为1.二、指数函数的图象和性质a>10<a<1图象性质定义域R值域(0，＋∞)最值无最值过定点过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1函数值的变化当x<0时，0<y<1；当x>0时，y>1当x>0时，0<y<1；当x<0时，y>1单调性在R上是增函数在R上是减函数奇偶性非奇非偶函数对称性y＝ax与y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))x的图象关于y轴对称注意点：(1)函数图象只出现在x轴上方；(2)当x＝0时，有a0＝1，故过定点(0,1)；(3)当0<a<1时，底数越小，图象越靠近y轴；(4)当a>1时，底数越大，图象越靠近y轴；(5)任意底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称．【题型目录】考点一：指数函数的概念考点二：指数函数求值和解析式考点三：指数函数过定点考点四：指数函数图象考点五：指数型函数的奇偶性考点六：指数函数的定义域和值域考点七：已知指数函数值域求参考点八：复合函数的值域考点九：指数比较大小考点十：构造函数比较大小考点十一：复合函数的单调性考点十二：分段函数单调性考点十三：指数函数不等式考点十四：指数函数的实际应用考点十五：指数函数的综合应用【考点剖析】考点一：指数函数的概念例1．若函数为指数函数，则（） A．或 B．且 C． D．【答案】C【详解】因为函数为指数函数，则，且，解得，故选：C变式训练1．给出下列函数：①；②；③；④.其中指数函数的个数为（） A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【详解】对于①，函数的自变量在底数位置，不在指数位置，故不是指数函数；对于②，函数的底数，故不是指数函数；对于③，函数中的指数式的系数不为，故不是指数函数；对于④，函数的底数满足，符合指数函数的定义，是指数函数.故选：A.变式训练2．给出下列函数：①；②；③；④.其中指数函数的个数为（） A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【详解】对于①，函数的自变量在底数位置，不在指数位置，故不是指数函数；对于②，函数的底数，故不是指数函数；对于③，函数中的指数式的系数不为，故不是指数函数；对于④，函数的底数满足，符合指数函数的定义，是指数函数.故选：A.变式训练3．函数是指数函数，则（） A．或 B． C． D．且【答案】C【详解】由指数函数定义知，同时，且，所以解得.故选：C考点二：指数函数求值和解析式例2．幂函数和指数函数均过点，则（） A．函数的解析式为 B．函数的解析式为 C．当，不等式恒成立 D．函数和的图象有且只有一个交点【答案】C【详解】设(且)，因为，所以，即，所以A,B均不正确；当时，均为减函数，且，由于的取值是从正无穷大减小趋向于1，的取值是从1减小趋向于，所以不等式恒成立，C正确；因为，所以函数和的图象至少有两个交点，所以D不正确.故选：C.变式训练1．已知函数，则的值是（） A． B． C． D．2【答案】A【详解】因为，所以，所以.故选：A变式训练2．若函数是指数函数，且，则（） A． B． C． D．【答案】B【详解】为指数函数，可设且，，解得：，.故选：B.变式训练3．设函数，且，，则（） A．24 C．26【答案】B【详解】由题意得：两式相除可得：，故故选：B考点三：指数函数过定点例3．函数恒过定点（） A． B． C． D．【答案】B【详解】由题设，当，即时，，所以函数过定点.故选：B变式训练1．指数函数，且的图像必过定点（） A． B． C． D．【答案】A【详解】∵，且，∴指数函数，且的图像必过定点.故选：A.变式训练2．函数（且）的图象恒过定点（）A． B． C． D．【答案】C【详解】对于函数，则，可得，则，所以，函数（且）的图象恒过定点坐标为.故选：C.变式训练3．已知函数的图像恒过一点P，且点P在直线的图像上，则的最小值为（） A．4 B．6 C．7 D．8【答案】D【详解】函数中，当，即时，恒有，则点，依题意，，即，又，因此，，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为8.故选：D考点四：指数函数图象例4．函数（，且）的图象可能是（） A． B． C． D．【答案】C【详解】因为函数（，且），当时，是增函数，并且恒过定点，又因为的图象在的基础上向下平移超过1个单位长度，故D错误，C正确；当时，是减函数，并且恒过定点，又的图象在的基础上向下平移了不到1个单位长度，故A，B错误.故选：C.变式训练1．指数函数与的图象如图所示，则（） A． B． C． D．【答案】C【详解】因为函数的图象是下降的，所以；又因为函数的图象是上升的，所以.故选：C.变式训练2．若的图像如图，（，是常数），则（） A．， B．， C．， D．，【答案】D【详解】由图可知函数在定义域上单调递减，所以，则，所以在定义域上单调递增，又，即，所以.故选：D变式训练3．指数函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（） A． B． C． D．【答案】B【详解】由指数函数的图象可知：.令，解得，则，对应只有B选项符合题意.故选：B考点五：指数型函数的奇偶性例5．已知函数，则（） A．是奇函数，且在R上是增函数 B．是偶函数，且在上是增函数 C．是奇函数，且在R上是减函数 D．是偶函数，且在上是减函数【答案】A【详解】函数的定义域为，，所以函数是奇函数，且是增函数，是减函数，所以函数在上是增函数.故选：A变式训练1．下列函数中，既是偶函数，又在上单调递减的函数是（） A． B． C． D．【答案】B【详解】对选项A：关于对称，不是偶函数，排除；对选项B：定义域为，.函数为偶函数，且在上单调递减，满足；对选项C：定义域为，是奇函数，排除；对选项D：当，单调递增，排除.故选：B.变式训练2．已知函数，若，则（） A．4 B．6 C． D．【答案】B【详解】，设，则，即是奇函数，故，即，即，因为，所以.故选：B.变式训练3．（多选）已知函数，则（） A．函数的图象关于原点对称 B．函数的图象关于轴对称 C．函数的值域为 D．函数是减函数【答案】AC【详解】的定义域为，，则，所以为奇函数，的图象关于原点对称,A正确，B错误；，因为,所以,，所以,故的值域为,C正确；设,则,因为，所以，所以,即，所以函数是增函数，故D错误，故选:AC.考点六：指数函数的定义域和值域例6．下列函数中，值域为的是（） A． B． C． D．【答案】B【详解】对于A：定义域为，值域，故A错误，对于B：定义域为，因为，所以，故B正确；对于C：定义域为，因为，所以，所以，故C错误；对于D：因为，所以，故D错误，故选：B．变式训练1．当时，函数的值域是（） A． B． C． D．【答案】C【详解】因为指数函数在区间上是增函数，所以，于是，即所以函数的值域是.故选：C.变式训练2．设函数，则函数的定义域为（） A． B． C． D．【答案】A【详解】由即可得所以的定义域为，令，可得，所以函数的定义域为，故选：A．变式训练3．若定义运算，则函数的值域是（） A． B． C． D．【答案】A【详解】若，即时；若，即时；综上，值域为.故选：A考点七：已知指数函数值域求参例7．若指数函数在上的最大值和最小值的和是6,则（） A．2或3 B．3 C．2 D．3【答案】C【详解】解:由题知为指数函数,故,且,即在上的最大值和最小值的和是6,由于指数函数为单调函数,故最值在端点处取得,即,解得:或(舍),综上:.故选:C变式训练1．若指数函数在区间上的最大值与最小值的差为2，则（） A． B．1 C．或2 D．2【答案】D【详解】当时，函数为增函数，则，故，解得或（舍去），当时，函数为减函数，则，故，无解，综上，.故选：D.变式训练2．函数（，且）在上最大值与最小值的差为2，则（） A．或2 B．2 C． D．【答案】B【详解】根据题意，，且，由的单调性，可知其在上是单调递增函数或单调递减函数，总是在和2时，取得两个最值，即，即或当方程成立，即，判别式，该方程无实数解；当方程成立，即，解得（舍去），故选：B．变式训练3．若函数（且）在上的最大值为4，最小值为m，实数m的值为（） A． B． C． D．或【答案】D【详解】时，在上单调递增，则，解得，此时，.当时，在上单调递减，所以，解得，此时，.综上，m的值为或，故选：D.考点八：复合函数的值域例8．函数．若恒成立，则实数的取值范围是___________．【答案】【详解】函数，令，若恒成立，则对任意的恒成立，即对任意的，恒成立，∵，∴当时，取最大值1，∴，即实数的取值范围为．故答案为：．变式训练1．已知函数的值域为，则实数的取值范围是_______.【答案】【详解】当时，；当时，.因为原函数的值域为，即，则，解得.故答案为：.变式训练2．函数的值域为____________．【答案】．【详解】设，则，换元得，显然当时，函数取到最小值，所以函数的值域为．故答案为：.变式训练3．已知函数，，则其值域为__________．【答案】【详解】令，∵，∴，∴，又关于对称，开口向上，所以在上单调递减，在上单调递增，且，时，函数取得最小值，即，时，函数取得最大值，即，.故答案为：.考点九：指数比较大小例9．设，则的大小关系是（） A． B． C． D．【答案】D【详解】解：令，由指数函数的单调性可知在R上单调递减，又因为，所以，即，所以，令，由幂函数的性质可知在上单调递增，又因为，所以，所以，即，所以.故选：D.变式训练1．已知，则的大小关系是（） A． B． C． D．【答案】A【详解】，所以故选：A.变式训练2．若，则的大小关系为（） A． B． C． D．【答案】D【详解】由在R上递增，则，由在上递增，则.所以.故选：D变式训练3．已知，将a，b，c按照从小到大的顺序排列为（） A．c，b，a B．b，a，c C．c，a，b D．b，c，a【答案】C【详解】因函数在R上单调递减，则，，又，则，即.因函数在R上单调递增，则.所以b＞a＞c．故选：C．考点十：构造函数比较大小例10（多选）若，则下列结论正确的是（） A． B． C． D．【答案】BC【详解】由变形得到，令，显然在R上为增函数，所以，显然B正确；A选项，若或时，A不满足要求，舍去；C选项，，故，C正确；D选项，不妨设，则，即，D错误.故选：BC变式训练1．（多选）若，则下列关系正确的是（） A． B． C． D．【答案】ACD【详解】由得，令，则，因为，在R上都是增函数，所以在R上是增，所以，故A正确；当，时，，故B错误；由知，故C正确；因为在R上递减，由知，，即，故D正确；故选：ACD.变式训练2．若，，且满足，那么（） A． B． C． D．【答案】C【详解】由，可得.因为函数在上单调递减，所以.因为函数在上单调递减，所以.因为函数在上单调递减，所以.综上，.故选：C变式训练3．（多选）若m，，，则（） A． B． C． D．【答案】BC【详解】，单调递减，，当时满足，A选项错误；，B正确；，C正确；，当时取等号，与已知矛盾，D选项错误.故选：BC.考点十一：复合函数的单调性例11．函数单调递增区间为（） A． B． C． D．【答案】C【详解】由，设，则为减函数，求的单调递增区间，等价于求的单调递减区间，因为在单调递减，所以函数的单调递增区间是，故选：C．变式训练1．函数的单调递增区间是（） A． B． C． D．【答案】D【详解】因为在R上单调递减，由复合函数单调性可知，只需求出的单调递减区间，其中单调递减区间为，故的单调递增区间是.故选：D变式训练2．函数的单调递增区间是（） A． B．[2，＋∞） C． D．【答案】C【详解】令，则，故函数的定义域为，设，，则当时，为增函数，此时；当时，为减函数，此时.而在上为增函数，故在上为增函数，在上为减函数，此时.而在上为减函数，故在上为减函数，在上为增函数.故选：C.变式训练3．设函数在区间上单调递增，则的取值范围为（） A． B． C． D．【答案】D【详解】令，则二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，因为外层函数在上为减函数，函数在区间上为增函数，所以，内层函数在上为减函数，故.故选：D.考点十二：分段函数单调性例12．已知函数，满足对任意，都有成立，则的取值范围是（） A． B． C． D．【答案】B【详解】对任意，都有成立，即时，恒成立，∴是增函数，∴，解得,故选：B．变式训练1．若函数在上是增函数，则的取值范围是（） A． B． C． D．【答案】C【详解】因为函数在上是增函数，则函数在上为增函数，所以，，又因为函数在上为增函数，且有，即，解得.故选：C.变式训练2．设函数，若为增函数，则实数的取值范围是（） A． B． C． D．【答案】B【详解】因为，当时函数单调递增，又在上单调递增，在上单调递减，要使函数为增函数，则且，又函数与在上有两个交点和，且的增长趋势比快得多，与的函数图象如下所示：所以当时，当时，当时，所以，即实数的取值范围是.故选：B变式训练3．若函数是R上的增函数，则实数的取值范围为_____________.【答案】【详解】要使函数为R上的增函数，应有，解得.故答案为：.考点十三：指数函数不等式例13．已知函数是指数函数.(1)求实数的值；(2)解不等式【答案】(1)；(2)【详解】（1）由题可知解得（2）由（1）得∵在上单调递增，∴，解得，故原不等式的解集为变式训练1．已知指数函数的图像过点.(1)求函数的解析式；(2)求不等式的解集.【答案】(1)；(2)【详解】（1）设指数函数（且），∵函数的图像过点，∴，解得或（舍）.∴.（2）由（Ⅰ）知不等式等价于.∴，∴.∴不等式的解集为.变式训练2．已知函数是指数函数.(1)该指数函数的图象经过点，求函数的表达式；(2)解关于的不等式：；【答案】(1)；；(2)答案见解析.【详解】（1）由题设，可得，所以.（2）由，当时，在定义域上递减，则，可得，解集为；当时，在定义域上递增，则，可得，解集为；变式训练3．已知函数是指数函数.(1)该指数函数的图象经过点，求函数的表达式；(2)解关于的不等式：.【答案】(1)；(2)【详解】（1）因为指数函数的图象经过点，所以，解得，所以；（2）因为是单调递减函数，由得，解得，所以不等式的解集为.考点十四：指数函数的实际应用例4与储藏温度的关系为（为常数）.若牛奶在的冰箱中，保鲜时间约是，在的冰箱中，保鲜时间约是，那么在的冰箱中保鲜时间约是（） A． B． C． D．【答案】B【详解】由题得，解得，因此在的冰箱中的保鲜时间大约是.故选：B．变式训练1．一个口罩厂今年12月份的产量是去年12月份产量的倍，则该口罩厂这一年中产量的月平均增长率是（） A． B． C． D．【答案】B【分析】设月平均增长率为，去年12月份的产量为1.建立方程关系，进行求解即可．【详解】设这一年该口罩厂的月平均增长率为，去年12月份的产量为1.因为今年12月份的产量是去年12月份产量的倍，所以，即，即.故选：B.变式训练2．下列函数关系中，可以看作是指数型函数模型的是（） A．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系(不计空气阻力) B．我国人口年自然增长率为，这样我国人口总数随年份的变化关系 C．如果某人内骑车行进了，那么此人骑车的平均速度与时间的函数关系 D．信件的邮资与其质量间的函数关系【答案】B【详解】竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系是二次函数关系，A错；我国人口年自然增长率为，这样我国人口总数随年份的变化关系是指数型函数关系，B正确；如果某人内骑车行进了，那么此人骑车的平均速度与时间的函数关系是反比例函数关系，C错；信件的邮资与其质量间的函数关系是一次函数关系，D错.故选：B变式训练3．保护环境功在当代，利在千秋，良好的生态环境既是自然财富，也是经济财富，关系社会发展的潜力和后劲．某工厂将生产产生的废气经过过滤后排放，已知过滤过程中的污染物的残留数量（单位：毫米/升）与过滤时间（单位：小时）之间的函数关系为，其中为常数，为原污染物数量．该工厂某次过滤废气时，若前9个小时废气中的污染物恰好被过滤掉80%，那么再继续过滤3小时，废气中污染物的残留量约为原污染物的（）参考数据：． A． B． C． D．【答案】C【详解】因为前9个小时废气中的污染物恰好被过滤掉，所以，即所以．再继续过滤3小时，废气中污染物的残留量约为．故选：C.考点十五：指数函数的综合应用例15．已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围是（） A． B． C． D．【答案】C【详解】若，，使得，故只需，其中在上单调递减，故，在上单调递增，故，所以，解得：，实数的取值范围是.故选：C变式训练1．若函数的图象与轴有交点，则实数的取值范围是（） A． B． C．或 D．或【答案】A【详解】函数的图象与轴有交点，有解，，，，则实数的取值范围是.故选：A．变式训练2．若函数的图象与轴有公共点，则实数的取值范围为（） A． B． C． D．【答案】D【详解】，，，与轴有公共点，，解得：.故选：D.变式训练3．已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是（） A． B． C． D．【答案】D【详解】当时，，当时，，因为函数的值域为，所以，得，所以实数的取值范围是，故选：D.【课堂小结】1．知识清单：(1)指数函数的定义．(2)指数函数的图象．(3)指数函数的性质：定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性及过定点．(4)比较大小．(5)解不等式、方程．(6)定区间上的值域问题．(7)指数函数性质的综合运用．2．方法归纳：待定系数法；数形结合法；转化与化归.3．常见误区：易忽视指数函数的底数a的限制条件：a>0且a≠1；形如函数y＝af(x)(a>0且a≠1)过定点的问题，要使f(x)＝0；常见误区：研究y＝af(x)型函数，易忽视讨论a>1还是0<a<1.【课后作业】1．若＋有意义，则的取值范围是（） A． B． C． D．且【答案】D【详解】由题设知：，可得.故选：D2．函数是指数函数，则有（） A．或 B． C． D．，且【答案】C【详解】由指数函数的概念得，解得或．当时，底数是1，不符合题意，舍去；当时，符合题意.故选：C．3．已知函数，若，则（） A． B．0 C．1 D．2【答案】C【详解】由得，由得，若，则，解得，舍去；若，则，解得，符合题意；故选：C.4．下列函数中，满足的是（） A． B． C． D．【答案】D【详解】对于A，，A错误；对于B，，B错误；对于C，，C错误；对于D，，D正确.故选：D.5．函数（，且）的图象过定点P，则点P的坐标是（） A．(1,5) B．(1,4) C．(0,4) D．(4,0)【答案】A【详解】当时，，所以.故选：A.6．要得到函数的图象，只需将指数函数的图象（） A．向左平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位【答案】D【详解】因为，，所以，为了得到函数的图象，只需将指数函数的图象向右平移个单位，故选：D.7．下列结论中，正确的是（） A．函数是指数函数 B．函数的值域是 C．若，则 D．函数的图象必过定点【答案】B【详解】选项A.根据指数函数的定义，可得不是指数函数，故A不正确.时，，故B正确.时，函数单调递减，由，则，故C不正确.，可得的图象恒过点，故D不正确.故选：B8．函数①；②；③；④的图象如图所示，a，b，c，d分别是下列四个数：，，，中的一个，则a，b，c，d的值分别是（） A．，，， B．，，， C．，，，， D．，，，，【答案】C【详解】由题图，直线与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c，d，a，b，而.故选：C．9．函数与的图象如图所示，则实数a的值可能是（） A．2 B．3 C． D．【答案】D【详解】显然．由，知①是函数的图象，②是函数的图象．由函数的图象可知，排除A，B．由②知，函数在时有意义，排除C，故选：D．10．如图所示，函数的图象是（） A． B． C． D．【答案】B【详解】∵，∴时，，当时，函数为上的单调递增函数，且，当时，函数为上的单调递减函数，且，故选：B11．函数（）的图象可能是（） A． B． C． D．【答案】C【详解】当时，，因此，且函数在上单调递增，故A、B均不符合；当时，，因此，且函数在上单调递减，故C符合，D不符合．故选：C．12．若，则函数与的图象大致是（） A． B． C． D．【答案】A【详解】因为，所以是增函数，的图象与轴上的交点为故只有A项正确．故选：A.13．函数的定义域为（） A． B． C． D．【答案】C【详解】由题意得，即，解得．故选：C.14．函数的值域为（） A． B． C． D．【答案】B【详解】令，由，则，所以，所以，又，所以函数的值域为.故选：B15．若函数的图象与轴有交点，则实数的取值范围是（） A． B． C．或 D．或【答案】A【详解】函数的图象与轴有交点，有解，，，，则实数的取值范围是.故选：A．16．蒸发和沸腾都是汽化现象，是汽化的两种不同方式．蒸发是在液体表面发生的汽化过程，沸腾是在液体内部和表面上同时发生的剧烈的汽化现象．溶液的蒸发通常是指通过加热使溶液中一部分溶剂汽化，以提高溶液中非挥发性组分的浓度或使溶质从溶液中析出结晶的过程．通过实验数据可知，某液体的蒸发速度y（单位：L/h）与液体所处环境的温度x（单位：℃）近似地满足函数关系（为自然对数的底数，a，b为常数）．若该液体在10℃时蒸发速度是0.2L/h，在20℃时蒸发速度是0.4L/h，则该液体在40℃时蒸发速度为（）翻译这两句信息，可得方程组