新高考数学二轮复习考点突破讲义 第1部分 专题突破 专题1　第1讲　函数的图象与性质（含解析）

第1讲函数的图象与性质[考情分析]1.函数的图象与性质是高考考查的重点和热点，主要考查函数的定义域、分段函数、函数图象的识别与应用以及函数性质(单调性、奇偶性、周期性、对称性)的综合应用，难度属于中等及以上.2.此部分内容多以选择题、填空题的形式出现，有时在压轴题的位置，多与导数、不等式、创新性问题相结合命题．考点一函数的概念与表示核心提炼1．复合函数的定义域(1)若f(x)的定义域为[m，n]，则在f(g(x))中，由m≤g(x)≤n解得x的范围即为f(g(x))的定义域．(2)若f(g(x))的定义域为[m，n]，则由m≤x≤n得到g(x)的范围，即为f(x)的定义域．2．分段函数分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数值域的并集．例1(1)(2022·南阳检测)已知函数f(x)＝lg

eq\f(1－x,1＋x)，则函数g(x)＝f(x－1)＋eq\r(2x－1)的定义域是()A．{x|x<0或x>2} B.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)≤x<2))))C．{x|x>2} D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥\f(1,2)))))答案B解析要使f(x)＝lg

eq\f(1－x,1＋x)有意义，则eq\f(1－x,1＋x)>0，即(1－x)(1＋x)>0，解得－1<x<1，所以函数f(x)的定义域为(－1,1)．要使g(x)＝f(x－1)＋eq\r(2x－1)有意义，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－1<x－1<1，,2x－1≥0，))解得eq\f(1,2)≤x<2，所以函数g(x)的定义域为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)≤x<2)))).(2)已知实数a∈R，函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋2a，x<1，,－x，x>1，))若f(1－a)>f(1＋a)，则实数a的取值范围是________．答案(－2，－1)∪(0，＋∞)解析由题意知a≠0，①当a<0时，1－a>1,1＋a<1，∴－(1－a)>(1＋a)2＋2a，化简得a2＋3a＋2<0，解得－2<a<－1，又a<0，∴a∈(－2，－1)；②当a>0时，1－a<1,1＋a>1，∴(1－a)2＋2a>－(1＋a)，化简得a2＋a＋2>0，解得a∈R，又a>0，∴a∈(0，＋∞)，综上，实数a的取值范围是(－2，－1)∪(0，＋∞)．规律方法(1)形如f(g(x))的函数求值时，应遵循先内后外的原则．(2)对于分段函数的求值(解不等式)问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解．跟踪演练1(1)(2022·潍坊模拟)设函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－3，x≥10，,ffx＋4，x<10，))则f(8)等于()A．10B．9C．7D．6答案C解析因为f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－3，x≥10，,ffx＋4，x<10，))则f(8)＝f(f(12))＝f(9)＝f(f(13))＝f(10)＝7.(2)(多选)设函数f(x)的定义域为D，如果对任意的x∈D，存在y∈D，使得f(x)＝－f(y)成立，则称函数f(x)为“M函数”．下列为“M函数”的是()A．y＝sinxcosx B．y＝lnx＋exC．y＝2x D．y＝x2－2x答案AB解析由题意，得“M函数”的值域关于原点对称．A中，y＝sinxcosx＝eq\f(1,2)sin2x∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))，其值域关于原点对称，故A是“M函数”；B中，函数y＝lnx＋ex的值域为R，故B是“M函数”；C中，因为y＝2x>0，故C不是“M函数”；D中，y＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，其值域不关于原点对称，故D不是“M函数”．考点二函数的图象核心提炼1．作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．2．利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，作图时要准确画出图象的特点．考向1函数图象的识别例2(1)(2022·全国甲卷)函数y＝(3x－3－x)·cosx在区间eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(π,2)，\f(π,2)))上的图象大致为()答案A解析方法一(特值法)取x＝1，则y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(1,3)))cos1＝eq\f(8,3)cos1>0；取x＝－1，则y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－3))cos(－1)＝－eq\f(8,3)cos1<0.结合选项知选A.方法二令y＝f(x)，则f(－x)＝(3－x－3x)cos(－x)＝－(3x－3－x)cosx＝－f(x)，所以函数y＝(3x－3－x)cosx是奇函数，排除B，D；取x＝1，则y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3－\f(1,3)))cos1＝eq\f(8,3)cos1>0，排除C，故选A.(2)(2022·全国乙卷)如图是下列四个函数中的某个函数在区间[－3,3]的大致图象，则该函数是()A．y＝eq\f(－x3＋3x,x2＋1) B．y＝eq\f(x3－x,x2＋1)C．y＝eq\f(2xcosx,x2＋1) D．y＝eq\f(2sinx,x2＋1)答案A解析对于选项B，当x＝1时，y＝0，与图象不符，故排除B；对于选项D，当x＝3时，y＝eq\f(1,5)sin3＞0，与图象不符，故排除D；对于选项C，当0＜x＜eq\f(π,2)时，0＜cosx＜1，故y＝eq\f(2xcosx,x2＋1)＜eq\f(2x,x2＋1)≤1，与图象不符，所以排除C.故选A.考向2函数图象的变换及应用例3(1)已知函数f(x)＝SKIPIF1<0则函数y＝f(1－x)的大致图象是()答案D解析方法一作函数f(x)的图象关于y轴对称的图象，得到函数f(－x)的图象，再把函数f(－x)的图象向右平移1个单位长度即得到函数f(1－x)的图象，如图．故选D.方法二因为函数f(x)＝SKIPIF1<0所以函数f(1－x)＝SKIPIF1<0当x＝0时，y＝f(1)＝3，即y＝f(1－x)的图象过点(0,3)，排除A；当x＝－2时，y＝f(3)＝－1，即y＝f(1－x)的图象过点(－2，－1)，排除B；当x<0时，1－x>1，f(1－x)＝SKIPIF1<0<0，排除C.(2)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋2x＋1，x≤0，,2－x，x>0，))若存在x1，x2，x3(x1<x2<x3)，使f(x1)＝f(x2)＝f(x3)，则f(x1＋x2＋x3)的取值范围是()A．(0,1] B．[0,1]C．(－∞，1] D．(－∞，1)答案B解析作出f(x)的大致图象如图，交点横坐标为x1，x2，x3，自左向右依次排列，由图可知，x1，x2关于直线x＝－1轴对称，即x1＋x2＝－2，又x3>0，∴x1＋x2＋x3>－2.由图象知，当x>－2时，f(x)∈[0,1]，∴f(x1＋x2＋x3)∈[0,1]．规律方法(1)确定函数图象的主要方法是利用函数的性质，如定义域、奇偶性、单调性等，特别是利用一些特殊点排除不符合要求的图象．(2)函数图象的应用主要体现为数形结合思想，借助于函数图象的特点和变化规律，求解有关不等式恒成立、最值、交点、方程的根等问题．跟踪演练2(1)已知图①中的图象是函数y＝f(x)的图象，则图②中的图象对应的函数可能是()A．y＝f(|x|) B．y＝|f(x)|C．y＝f(－|x|) D．y＝－f(－|x|)答案C解析图②中的图象是在图①的基础上，去掉函数y＝f(x)的图象在y轴右侧的部分，然后将y轴左侧图象翻折到y轴右侧，y轴左侧图象不变得来的，所以图②中的图象对应的函数可能是y＝f(－|x|)．(2)函数f(x)＝eq\f(cosx＋2,ax2＋bx＋c)的图象如图所示，则()A．a>0，b＝0，c<0B．a>0，b＝0，c>0C．a<0，b<0，c＝0D．a<0，b＝0，c<0答案A解析因为函数f(x)的图象关于y轴对称，所以f(x)为偶函数，所以f(－x)＝eq\f(cos－x＋2,a－x2＋b－x＋c)＝eq\f(cosx＋2,ax2－bx＋c)＝eq\f(cosx＋2,ax2＋bx＋c)＝f(x)，解得b＝0，由图象可得f(0)＝eq\f(3,c)<0，得c<0，由图象可得分母ax2＋c＝0有解，所以x2＝－eq\f(c,a)有解，所以－eq\f(c,a)>0，解得a>0.考点三函数的性质核心提炼1．函数的奇偶性(1)定义：若函数的定义域关于原点对称，则有f(x)是偶函数⇔f(－x)＝f(x)＝f(|x|)；f(x)是奇函数⇔f(－x)＝－f(x)．(2)判断方法：定义法、图象法、奇偶函数性质法(如奇函数×奇函数是偶函数)．2．函数单调性判断方法：定义法、图象法、导数法．3．函数的周期性若函数f(x)满足f(x＋a)＝f(x－a)或f(x＋2a)＝f(x)，则函数y＝f(x)的周期为2|a|.4．函数图象的对称中心和对称轴(1)若函数f(x)满足关系式f(a＋x)＋f(a－x)＝2b，则函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称．(2)若函数f(x)满足关系式f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝eq\f(a＋b,2)对称．考向1单调性与奇偶性例4(2022·广东大联考)已知函数f(x)＝e|x|－cosx，则f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,5)))，f(0)，f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))的大小关系为()A．f(0)<f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,5)))<f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))B．f(0)<f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))<f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,5)))C．f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,5)))<f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))<f(0)D．f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))<f(0)<f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,5)))答案B解析∵f(x)＝e|x|－cosx，∴f(－x)＝e|－x|－cos(－x)＝e|x|－cosx＝f(x)，∴f(x)为偶函数，∴f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))＝f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3))).当x>0时，f(x)＝ex－cosx，则f′(x)＝ex＋sinx，∴当x∈(0，＋∞)时，f′(x)＝ex＋sinx>0，∴函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴f(0)<f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))<f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,5)))，即f(0)<f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))<f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(6,5))).考向2奇偶性、周期性与对称性例5(多选)(2022·新高考全国Ⅰ)已知函数f(x)及其导函数f′(x)的定义域均为R，记g(x)＝f′(x)．若f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)－2x))，g(2＋x)均为偶函数，则()A．f(0)＝0 B．geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝0C．f(－1)＝f(4) D．g(－1)＝g(2)答案BC解析方法一(转化法)因为f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)－2x))，g(2＋x)均为偶函数，所以f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)－2x))＝f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)＋2x))，即f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)－x))＝f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)＋x))，g(2＋x)＝g(2－x)，所以f(3－x)＝f(x)，g(4－x)＝g(x)，则f(－1)＝f(4)，故C正确；函数f(x)，g(x)的图象分别关于直线x＝eq\f(3,2)，x＝2对称，又g(x)＝f′(x)，且函数f(x)可导，所以geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝0，g(3－x)＝－g(x)，所以g(4－x)＝g(x)＝－g(3－x)，所以g(x＋2)＝－g(x＋1)＝g(x)，所以geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))＝0，g(－1)＝g(1)＝－g(2)，故B正确，D错误；若函数f(x)满足题设条件，则函数f(x)＋C(C为常数)也满足题设条件，所以无法确定f(0)的函数值，故A错误．方法二(特例法)因为f

eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)－2x))，g(2＋x)均为偶函数，所以函数f(x)的图象关于直线x＝eq\f(3,2)对称，函数g(x)的图象关于直线x＝2对称．取符合题意的一个函数f(x)＝1(x∈R)，则f(0)＝1，排除A；取符合题意的一个函数f(x)＝sinπx，则f′(x)＝πcosπx，即g(x)＝πcosπx，所以g(－1)＝πcos(－π)＝－π，g(2)＝πcos2π＝π，所以g(－1)≠g(2)，排除D.故选BC.二级结论(1)若f(x＋a)＝－f(x)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(或fx＋a＝\f(1,fx)))，其中f(x)≠0，则f(x)的周期为2|a|.(2)若f(x)的图象关于直线x＝a和x＝b对称，则f(x)的周期为2|a－b|.(3)若f(x)的图象关于点(a，0)和直线x＝b对称，则f(x)的周期为4|a－b|.跟踪演练3(1)若函数f(x)＝ex＋ae－x(a∈R)为奇函数，则不等式f(lnx)<f(|lnx|)的解集为__________．答案(0,1)解析易知f(x)定义域为R，又f(x)为奇函数，∴f(0)＝0，得a＝－1，∴f(x)＝ex－e－x.∴f(x)为奇函数且在R上单调递增，又f(lnx)<f(|lnx|)，∴lnx<|lnx|，∴lnx<0，∴0<x<1.(2)(2022·新高考全国Ⅱ)已知函数f(x)的定义域为R，且f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)，f(1)＝1，则eq\o(∑,\s\up6(22),\s\do4(k＝1))

f(k)等于()A．－3B．－2C．0D．1答案A解析因为f(1)＝1，所以在f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)中，令y＝1，得f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)f(1)，所以f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)，①所以f(x＋2)＋f(x)＝f(x＋1)．②由①②相加，得f(x＋2)＋f(x－1)＝0，故f(x＋3)＋f(x)＝0，所以f(x＋3)＝－f(x)，所以f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，所以函数f(x)的一个周期为6.在f(x＋y)＋f(x－y)＝f(x)f(y)中，令y＝0，得f(x)＋f(x)＝f(x)f(0)，所以f(0)＝2.令x＝y＝1，得f(2)＋f(0)＝f(1)f(1)，所以f(2)＝－1.由f(x＋3)＝－f(x)，得f(3)＝－f(0)＝－2，f(4)＝－f(1)＝－1，f(5)＝－f(2)＝1，f(6)＝－f(3)＝2，所以f(1)＋f(2)＋…＋f(6)＝1－1－2－1＋1＋2＝0，根据函数的周期性知，eq\o(∑,\s\up6(22),\s\do4(k＝1))

f(k)＝f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＝1－1－2－1＝－3，故选A.专题强化练一、单项选择题1．(2022·哈尔滨检测)下列既是奇函数，又在(0，＋∞)上单调递增的是()A．y＝sinx B．y＝lnxC．y＝tanx D．y＝－eq\f(1,x)答案D解析对于A，y＝sinx是奇函数，且在(0，＋∞)上有增有减，故不满足；对于B，y＝lnx的定义域不关于原点对称，是非奇非偶函数，故不满足；对于C，y＝tanx是奇函数，且在(0，＋∞)上只有单调递增区间，但不是一直单调递增，故不满足；对于D，y＝－eq\f(1,x)是奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增，故满足．2．(2022·西安模拟)设f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋1－1，x≤3，,log2x2－1，x>3，))若f(x)＝3，则x的值为()A．3 B．1C．－3 D．1或3答案B解析当x≤3时，令2x＋1－1＝3，解得x＝1，当x>3时，令log2(x2－1)＝3，解得x＝±3，这与x>3矛盾，∴x＝1.3．(2022·常德模拟)函数f(x)＝eq\f(sinπx,ex＋e－x)的图象大致是()答案C解析函数f(x)＝eq\f(sinπx,ex＋e－x)的定义域为R，f(－x)＝eq\f(sin－πx,e－x＋ex)＝eq\f(－sinπx,ex＋e－x)＝－f(x)，即f(x)是奇函数，A，B不满足；当x∈(0,1)时，即0<πx<π，则sin(πx)>0，而ex＋e－x>0，因此f(x)>0，D不满足，C满足．4．(2022·张家口检测)已知函数f(x)＝eq\f(ex－1,ex＋1)，则()A．函数f(x)是奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增B．函数f(x)是奇函数，在区间(－∞，0)上单调递减C．函数f(x)是偶函数，在区间(0，＋∞)上单调递减D．函数f(x)非奇非偶，在区间(－∞，0)上单调递增答案A解析－f(－x)＝－eq\f(e－x－1,e－x＋1)＝－eq\f(\f(1－ex,ex),\f(ex＋1,ex))＝eq\f(ex－1,ex＋1)＝f(x)，故f(x)是奇函数．又f(x)＝eq\f(ex＋1－2,ex＋1)＝1－eq\f(2,ex＋1)，由复合函数的单调性可知f(x)在R上单调递增．5．(2021·全国乙卷)设函数f(x)＝eq\f(1－x,1＋x)，则下列函数中为奇函数的是()A．f(x－1)－1 B．f(x－1)＋1C．f(x＋1)－1 D．f(x＋1)＋1答案B解析方法一f(x)＝eq\f(1－x,1＋x)＝eq\f(2－x＋1,1＋x)＝eq\f(2,1＋x)－1，为保证函数变换之后为奇函数，需将函数y＝f(x)的图象向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度，得到的图象对应的函数为y＝f(x－1)＋1.方法二因为f(x)＝eq\f(1－x,1＋x)，所以f(x－1)＝eq\f(1－x－1,1＋x－1)＝eq\f(2－x,x)，f(x＋1)＝eq\f(1－x＋1,1＋x＋1)＝eq\f(－x,x＋2).对于A，F(x)＝f(x－1)－1＝eq\f(2－x,x)－1＝eq\f(2－2x,x)，定义域关于原点对称，但不满足F(x)＝－F(－x)；对于B，G(x)＝f(x－1)＋1＝eq\f(2－x,x)＋1＝eq\f(2,x)，定义域关于原点对称，且满足G(x)＝－G(－x)；对于C，f(x＋1)－1＝eq\f(－x,x＋2)－1＝eq\f(－x－x－2,x＋2)＝－eq\f(2x＋2,x＋2)，定义域不关于原点对称；对于D，f(x＋1)＋1＝eq\f(－x,x＋2)＋1＝eq\f(－x＋x＋2,x＋2)＝eq\f(2,x＋2)，定义域不关于原点对称．6．设定义在R上的函数f(x)满足f(x)·f(x＋2)＝13，若f(1)＝2，则f(99)等于()A．1 B．2C．0 D.eq\f(13,2)答案D解析依题意f(x)·f(x＋2)＝13，f(x＋2)＝eq\f(13,fx)，所以f(x＋4)＝f(x＋2＋2)＝eq\f(13,fx＋2)＝eq\f(13,\f(13,fx))＝f(x)，所以f(x)是周期为4的周期函数，所以f(99)＝f(25×4－1)＝f(－1)＝eq\f(13,f－1＋2)＝eq\f(13,f1)＝eq\f(13,2).7．已知函数f(x)是定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，且当x>0时，f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－22，0<x≤4，,\f(1,2)fx－4，x>4，))则方程f(x)＝1的解的个数为()A．4B．6C．8D．10答案D解析由题意知，当x>0时，函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－22，0<x≤4，,\f(1,2)fx－4，x>4，))作出函数f(x)的图象，如图所示，又由方程f(x)＝1的解的个数，即为函数y＝f(x)与y＝1的图象交点的个数可知，当x>0时，结合图象，函数y＝f(x)与y＝1的图象有5个交点，又因为函数y＝f(x)为偶函数，图象关于y轴对称，所以当x<0时，函数y＝f(x)与y＝1的图象也有5个交点，综上可得，函数y＝f(x)与y＝1的图象有10个交点，即方程f(x)＝1的解的个数为10.8．(2022·河北联考)若函数f(2x＋1)(x∈R)是周期为2的奇函数，则下列结论不正确的是()A．函数f(x)的周期为4B．函数f(x)的图象关于点(1,0)对称C．f(2021)＝0D．f(2022)＝0答案D解析∵函数f(2x＋1)(x∈R)是奇函数，∴f(2x＋1)＝－f(－2x＋1)⇒f(2x＋1)＋f(－2x＋1)＝0，∴函数f(x)的图象关于点(1,0)对称，故B正确；∵函数f(2x＋1)(x∈R)的周期为2，∴f(2(x＋2)＋1)＝f(2x＋1)，即f(2x＋5)＝f(2x＋1)，∴f(x)的周期为4，故A正确；f(2021)＝f(4×505＋1)＝f(1)＝0，故C正确；f(2022)＝f(4×505＋2)＝f(2)，无法判断f(2)的值，故D错误．二、多项选择题9．下列函数中，定义域与值域相同的是()A．y＝eq\f(1,x) B．y＝lnxC．y＝eq\f(1,3x－1) D．y＝eq\f(x＋1,x－1)答案AD解析对于A，定义域、值域都为(－∞，0)∪(0，＋∞)，满足题意；对于B，定义域为(0，＋∞)，值域为R，不满足题意；对于C，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，又3x>0，且3x≠1，故3x－1>－1，且3x－1≠0，故y<－1或y>0，故值域为(－∞，－1)∪(0，＋∞)，不满足题意；对于D，y＝eq\f(x＋1,x－1)＝1＋eq\f(2,x－1)，定义域、值域都为(－∞，1)∪(1，＋∞)，满足题意．10．(2022·淄博检测)函数D(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，x∈Q，,0，x∉Q))被称为狄利克雷函数，则下列结论成立的是()A．函数D(x)的值域为[0,1]B．若D(x0)＝1，则D(x0＋1)＝1C．若D(x1)－D(x2)＝0，则x1－x2∈QD．∃x∈R，D(x＋eq\r(2))＝1答案BD解析选项A，函数D(x)的值域为{0,1}，A错误；选项B，若D(x0)＝1，则x0∈Q，x0＋1∈Q，则D(x0＋1)＝1，B正确；选项C，D(2π)－D(π)＝0－0＝0，但2π－π＝π∉Q，C错误；选项D，当x＝－eq\r(2)时，D(x＋eq\r(2))＝D(－eq\r(2)＋eq\r(2))＝D(0)＝1，则∃x∈R，D(x＋eq\r(2))＝1，D正确．11．下列可能是函数f(x)＝eq\f(ax＋b,x＋c2)(其中a，b，c∈{－1,0,1})的图象的是()答案ABC解析A选项中的图象关于y轴对称，B选项中的图象关于原点对称，两个选项均可得函数的定义域为{x|x≠0}，可得c＝0，又函数f(x)的零点只能由ax＋b产生，所以函数f(x)可能没有零点，也可能零点是x＝－1,0,1，所以A，B选项可能符合条件；而由D选项中的图象知，函数f(x)的零点在(0,1)上，但此种情况不可能存在，所以D选项不符合条件；观察C选项中的图象，由定义域猜想c＝1，由图象过原点得b＝0，猜想a＝1，可能符合条件．12．已知函数y＝f(x－1)的图象关于直线x＝－1对称，且对∀x∈R，有f(x)＋f(－x)＝4.当x∈(0,2]时，f(x)＝x＋2，则下列说法正确的是()A．8是f(x)的周期B．f(x)的最大值为5C．f(2023)＝1D．f(x＋2)为偶函数答案ACD解析因为函数y＝f(x－1)的图象关于直线x＝－1对称，故f(x)的图象关于直线x＝－2对称，因为对∀x∈R有f(x)＋f(－x)＝4，所以函数y＝f(x)的图象关于点(0,2)成中心对称，所以f(－2＋x＋2)＝f(－2－(x＋2))，即f(x)＝f(－4－x)＝4－f(－x)，又f(－4－x)＋f(x＋4)＝4，即f(－4－x)＝4－f(x＋4)，所以f(x＋4)＝f(－x)，所以f((x＋4)＋4)＝f(－(x＋4))＝f(x)，所以f(x＋8)＝f(x)，所以8是f(x)的周期，故A正确；又f(x＋2)＝f(－x＋2)，故函数f(x＋2)为偶函数，故D正确；因为当x∈(0,2]时，f(x)＝x＋2，且f(x)＋f(－x)＝4，则当x∈[－2,0)时，－x∈(0,2]，所以f(－x)＝－x＋2＝4－f(x)，所以f(x)＝x＋2，故当x∈[－2,2]时，f(x)＝x＋2，又函数y＝f(x)的图象关于直线x＝－2对称，所以在同一个周期[－6,2]上，f(x)的最大值为f(2)＝4，故f(x)在R上的最大值为4，故B错误；因为f(2023)＝f(253×8－1)＝f(－1)＝4－f(1)＝1，所以C正确．三、填空题13．(2022·泸州模拟)写出一个具有下列性质①②③的函数f(x)＝____________.①定义域为R；②函数f(x)是奇函数；③f(x＋π)＝f(x)．答案sin2x(答案不唯一)14．已