26.2.3求二次函数的解析式的常用方法(教师版)

求二次函数的解析式的常用方法一、知识要点：（一）用待定系数法求二次函数的解析式：1.用待定系数法求二次函数的解析式的方法及适用条件：（1）一般式：.已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式.（2）顶点式：.已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴方程与最大值(最小值)，通常选择顶点式.（3）交点式：.已知图像与轴的交点坐标、，通常选择交点式.特别地，若抛物线与轴有两个交点、时，则交点式（）的性质如下:根据抛物线与轴的两交点关于对称轴对称，故其对称轴为直线，顶点坐标可由对称轴的值代入函数求得．2.用待定系数法求二次函数解析式的一般步骤：①设：根据条件设函数关系式；②列：把已知点的坐标代入关系式，得到方程或方程组；③解：解方程或方程组，求出未知系数；④答：写出函数关系式，注意最后结果一般要化成一般式．（二）由图象变换求二次函数的解析式：二、题型：（一）利用待定系数法求二次函数的解析式：（Ⅰ）设一般式求二次函数的解析式1．如图，在直角坐标系中，二次函数经过，，三个点．(1)求该二次函数的解析式；(2)若在该函数图象的对称轴上有个动点D，求当点D坐标为何值时，的周长最小．【分析】（1）设这个二次函数的解析式为，利用待定系数法求抛物线解析式；（2）与对称轴的交点即为点D，此时的周长最小．解：（1）设二次函数的解析式为，将A、B、C三点代入，得，解得：，，∴抛物线的解析式为：；（2）抛物线的对称轴为，如图，连接与对称轴交于点D，∵，，∴B、C关于对称轴对称，∴，∴，∵为定值，此时的周长取得最小值，点D即为所求；设直线解析式为，将A、C两点代入得，解得：，直线的解析式为：，当时，，∴当点D的坐标为时，的周长最小．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，最短路径问题，掌握两直线交点求法是求出点D的关键．2．如图，抛物线经过三点，点为抛物线上第一象限内的一个动点．(1)求抛物线所对应的函数表达式；(2)当的面积为4时，求点D的坐标；【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）根据三角形面积公式可求与平行的经过点D的y轴上点M的坐标，再根据待定系数法可求的解析式，再联立抛物线可求点D的坐标；解：（1）将代入得：，解得：，抛物线的解析式为；（2）如下图，过点D作，交y轴与点M，连接，设点M的坐标为，使得的面积为4，，则，，点，直线的解析式为，的解析式为，联立抛物线解析式，解得：，点D的坐标为；【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图像上点的坐标特征、平行线的判定与性质、待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图像上点的坐标特征，解题的关键是掌握待定系数法求出一次函数和二次函数的解析式．3．如图，抛物线过点．(1)求抛物线的解析式；(2)设点是直线上方抛物线上一点，求出的最大面积及此时点的坐标；【分析】（1）利用待定系数法代入求解即可；（2）利用待定系数法先确定直线的解析式为，设点，过点P作轴于点D，交于点E，得出，然后得出三角形面积的函数即可得出结果；解：（1）将点代入解析式得：，解得：，∴抛物线的解析式为；（2）设直线的解析式为，将点B、C代入得：，解得：，∴直线的解析式为，∵，∴，设点，过点P作轴于点D，交于点E，如图所示：∴，∴，∴，∴当时，的最大面积为，，∴【点睛】题目主要考查二次函数的综合应用，包括待定系数法确定函数解析式，三角形面积问题等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．（Ⅱ）设顶点式求二次函数的解析式1．已知抛物线的顶点坐标为，且经过点．(1)求该抛物线的解析式；(2)若点在该抛物线上，求m的值．【分析】（1）设出二次函数的顶点式，然后将顶点坐标为，点直接代入即可．（2）将代入（1）中求出的表达式，解方程即可．【详解】（1）解：设抛物线的解析式为，得解得，所以此函数的解析式为（2）解：把代入得，解得或．【点睛】本题考查了待定系数法求函数表达式，以及求坐标的值，准确设出表达式是解题关键．2.已知抛物线顶点坐标为，且过点．(1)求其解析式；(2)把该抛物线向右平移_______个单位，则它过原点．【分析】（1）根据抛物线顶点坐标可设该抛物线解析式为，再将点代入，求出a的值，即得出该抛物线解析式；（2）根据（1）所求解析式可求出其图象与x轴交点坐标，进而即可解答．解:（1）∵抛物线顶点坐标为，∴可设该抛物线解析式为．∵抛物线过点，∴，解得：，∴抛物线解析式为；（2）对于，令，则，∴，解得：，∴该抛物线与x轴的两个交点分别为，，∴把该抛物线向右平移1个单位或3个单位，则它过原点．故答案为：1或3．【点睛】本题考查利用待定系数法求函数解析式，求抛物线与x轴的交点坐标，二次函数图象的平移．根据题意设出为顶点式的抛物线解析式，再根据待定系数法求出该解析式是解题关键．3．抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为，点C的坐标为，对称轴为直线．(1)求该抛物线的表达式；(2)若点P在抛物线上，且，求点P的坐标；【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）根据抛物线的解析式得出，，从而求得三角形的面积，设点P的坐标为，根据即可求得的值，从而得出点P的坐标；解:（1）已知抛物线的对称轴为直线，可设抛物线的表达式为，将点，点代入，得，解得，∴抛物线的表达式为；（2）由（1）知抛物线表达式为，令，解得或，∴点B的坐标为，∵点C坐标为，∴，，∴，∵点P在抛物线上，∴设点P的坐标为，∴∵，∴，解得或，∴当时，，当时，，∴满足条件的点P有两个，分别为，；【点睛】本题考查了待定系数法求解析式、二次函数的性质及最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．（Ⅲ）设交点式求二次函数的解析式1．已知抛物线经过点，，，求该抛物线的函数关系式。【分析】利用待定系数法设出抛物线的表达式为，将点代入求解即可．解：∵抛物线经过点，，，∴设抛物线的表达式为，将点代入得：，解得：，∴．∴该抛物线的函数关系式为．【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数表达式，解题的关键是熟练掌握待定系数法求二次函数表达式．2.已知一个抛物线经过点，和．(1)求这个二次函数的解析式；(2)求这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴；【分析】（1）用待定系数法求解即可；（2）根据顶点坐标公式求解即可．解:（1）设将代入，则∴（2）∵，∴顶点坐标为；对称轴为直线．【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，以及二次函数的图象和性质，对于二次函数（a，b，c为常数，），其对称轴是直线，其顶点坐标是．3．已知二次函数的图象经过点，与轴交于点．(1)求该二次函数的解析式；(2)点在该二次函数上．①当时，求的值；②当时，的最小值为，求的取值范围．【分析】（1）利用待定系数法求得即可；（2）①把代入，即可求得；②把二次函数解析式化为顶点式，求得函数的最小值为，所以，即．解:（1）设二次函数的解析式为，把点代入得，解得，，该二次函数的解析式为；（2）①时，则，解得，；故的值为或；，当时，函数有最小值，当时，即时，有最小值，故的取值范围是．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．（二）利用平移变换求二次函数的解析式：1．在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为（

）A．B．C．D．【分析】根据二次函数图象的平移“左加右减，上加下减”可进行求解．解：由二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为；故选B．【点睛】本题主要考查二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数图象的平移是解题的关键．2．将抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式是______．【分析】根据“左加右减、上加下减”的平移原则进行解答即可．解：抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为故答案为：．【点睛】本题考查了二次函数的平移，掌握函数平移规律是解题的关键．3．将抛物线向上平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度，所得到的抛物线为（）A．B．C．D．【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律平移则可解题．解：按照“左加右减，上加下减”的规律，将抛物线向上平移4个单位长度，再向左平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为，故选：A