课件 计算机图形学 贝塞尔曲线及B样条

6.5

贝塞尔曲线：—

问题的提出：1抛物样条曲线和三次参数样条曲线的共同特点：生成的曲线通过所有的型值点，即所谓的“点点通过”。2缺点：抛物样条曲线和三次参数样条曲线在外形设计中缺少直观性和灵活性，例如：为了调整一小段曲线的形状而改变一个点时，曲线可能出现小鼓包或小凹坑等现象，直接影响曲线的平滑。这时必须改变一批型值点，观察效果后继续调整，直到满意为止。这种做法显然不直观也不灵活。二问题的解决：一种新的参数表示法—贝塞尔曲线的提出：1962年法国雷诺汽车公司的贝塞尔提出了贝塞尔曲线（Bezier并以这种方法为主，完成了一种曲线和曲面的设计系统UNISURF，并于1972年在雷诺公司应用。贝塞尔曲线的基本思想：将函数逼近与几何表示结合起来，使得设计师可以直观地通过改变参数来改变曲线的形状和阶次。通过控制点即顶点直观而方便地调整曲线的形状，仅通过起始点和终止点，而不通过其它的型值点。三贝塞尔曲线举例曲线仅通过起始点和终止点，而不通过其它的型值点。四贝塞尔曲线的性质：1该曲线由一组多边形折线的多个顶点唯一地定义出来。多边形折线又称特征多边形，顶点又称为控制点。贝塞尔曲线的例子：顶点起始点终止点在多边折线的各个顶点中，只有第1点和最后1点在曲线上。顶点用于定义曲线的阶次和形状，如n+1个顶点定义n次多项式。下图中4个顶点定义一个唯一的三次贝塞尔曲线。曲线的形状趋向于多边形折线的形状，若改变顶点则改变曲线形状，因此它被用于外形设计。特征多边形的第一条边和最后一条边表示出起点和终点的切线方向。多边形折线（特征多边形）贝塞尔曲线五贝塞尔曲线的数学表达式：Bezier曲线的数学基础：在第1个和最后一个端点之间进行插值的多项式混合函数(调和函数)它可以参用数方程表示如下：这是一个n次多项式，具有n+1项。：表示特征多边形n+1个顶点的位置向量。Bi,n(t)：伯恩斯坦多项式，称为基底函数，即曲线上各个点位置矢量的调和函数，它表示为：其中i表示第i个顶点，n表示n次，t为参数。六

bezier曲线特性分析:由伯恩斯坦多项bernstein基函数的性质能推导出贝塞尔曲线性质(一)曲线通过起始点与终止点可以证明起点和终点在曲线上，规定:另：0！为1。展开曲线为：（当n

=0,1,2,3时）当t=0(参数的起点),i=0(第1个顶点0)时,曲线:（∵ti

=00=1,∴第1项为P0，∵0i=0，∴其余3项为0）当t=1(参数的终点),i=n(最后一个顶点)时,曲线:可见，曲线经过多边折线的始点和终点。（二）起始点与终止点切矢量的方向通过对基函数求导，可以证明起始点与终止点的切矢量与第1和第n（最后）条边一致（走向一致）。基函数的导数：贝塞尔曲线的导数因为：在 中，除第一项和最后一项以外的各项均为0所以：在起始点在终止点可见起始点处的切矢量P’(0)与特征多边形的第1条边（P1

-P0

）相一致。终止点处的切矢量P’(1)与特征多边形的第n-1条边（Pn-Pn-1

）相一致。P0P1P2P3P4(三）凸包性:P0P1P2P3P4Bezier曲线p(t)位于其控制顶点的凸包之内。所谓的凸包指的是包含这些点的最小凸集。(四)曲率因为当t=0时当t=1时可见贝塞尔曲线在端点处的r阶导数，只与（r+1）个相邻的点有关，与更远的点无关。例如：二阶导数只与3个相邻的点有关，P’’(0)与P0，P1，P2；而P’’(1)与Pn-2,Pn-1,Pn，或者说只有这些点对曲率有贡献。七一次和二次贝塞尔曲线（一）一次bezier曲线：n=1，一次多项式，有两个控制点，则：这说明，一次bezier曲线是连接起点p0和终点p1的直线段（二）二次bezier曲线：写成矩阵形式：1二次贝塞尔曲线方程P1P0PPmP22曲线一定通过P0,P,P2,不通过P1当t＝1/2时：控制点为：P0,P1,P2,即由该三点控制曲线的形状利用二次bezier曲线方程求P0P,PP2之间的插值点，可画出该曲二次bezier曲线方程二次bezier曲线是一条抛物线八三次贝塞尔曲线1三次贝塞尔曲线方程三次贝塞尔曲线有4个控制点，基函数为三次多项式顶点P0P1P2P3定义一条三次贝塞尔曲线。其中混合函数分别为：B0，3

=

1-

3t

+

3t2

-

t3

=3t

-

6t2

+

3t3

=B1，3

=B2，3

=B3，3

=3t2

-

3t3

=t3=(1-t)33t(1-t)23t2(1-t)t32矩阵表达式为：3三次贝塞尔曲线能达到二阶连续九贝塞尔曲线在使用中的问题1贝塞尔曲线的阶次m-1由多边形的顶点数m所决定，使用不灵活。如3顶点则2次，4顶点则3次。2当顶点数m较大时，曲线的阶次将比较高，多边形对曲线形状的控制将大为减弱。P03改变任意顶点的位置将会对整条曲线产生影响，这不利于对曲线做局部修改。P1P2P3P44 改变任意一个顶点的位置将会对整条贝塞尔曲线产生影响，不利于对曲线做局部修改。三次参数样条曲线通过所有的型值点二次B样条曲线三次B样条曲线三次贝塞尔曲线6.6

B样条曲线：从贝塞尔到B样条：（一）为什么要使用B样条曲线？问题点：贝塞尔曲线，在外形设计的应用中，存在不足之处。解决方法：为了克服以上提到的在贝塞尔曲线中存在的一些问题，Gordon，Riesenfeld等人拓展了贝塞尔曲线，用n次B样条基函数替换了伯恩斯坦基函数，构造了B样条曲线。B样条曲线的优点：保持了原贝塞尔曲线所具有的优点，增加了可以对曲线进行局部修改这一突出的优点。

(3)具有对特征多边形更逼近，多项式阶次较低等优点。因此，B样条曲线在外形设计中得到了广泛的重视和应用。（二）从曲线曲面研究的发展与应用看B样条的地位和作用（三）使用计算机进行辅助设计的工作三次参数样条曲线: 过型值点，不方便。Beizier曲线:不过点，调整方便，但次数高，不能局部调整。B样条曲线:不过点，调整方便，可以进行局部调整。非均匀有理:不过点，调整方便，可以进行局部调整。通过控制点和权因子来灵活地改变形状等。中国第二汽车制造厂，南京汽车制造厂研制“计算机辅助汽车外表交互式设计系统”中使用Beizier和重节点非均匀B样条曲线作为几何设计的基础。从实物采样p43关于汽车CAD设计见《铁道自动车》p118工艺CAD见《汽车车身与结构设计》p40二汽（即第二汽车厂）用CAD及B样条曲线n次B样条曲线连接全部曲线段所组成的整条曲线称为n次B样条曲线。B特征多边形依次用线段连接Pi+k(k=0,1，…，n)所组成的多边折线称为B样条曲线在第i段的B特征多边形。B样条曲线是分段组成的。所以特征多边形的顶点对曲线的控制灵活直观。n次B样条曲线可达到n一1阶连续。在工程实际应用中，二阶连续的曲线已能使工程问题的解决相当满意，所以在实际应用中，三次B样条曲线和二次B样条曲线应用得较为广泛。高于三次的B样条曲线，由于计算过于复杂，且也不一定适合于一般的工程应用，所以用得很少。三

二次B样条曲线B0B2原因：Q点是第i段曲线的终点，又是第i+1段曲线的起点。则:Q四三次B样条曲线3

讨论三次B样条曲线的端点性质：（1）上式进一步推导得：以t的端点值代入可得：（2）三次B样条曲线的端点性质：曲线段的起点P(0)位于△B0B1B2底边B0B2的中线B1Bm上，且距Bl点的三分之一处。该点处的切矢量P’(0)平行于△B0B1B2的底边B0B2，且长度为其二分之一。该点的二阶导数P’’(0)等于中线矢量B1Bm的二倍，见图3)终点P(1)处的情形与此相应，4)如果在B特征多边形上增加了一个顶点B4，则B1B2B3B4又可定义—段新的三次B样条曲线。4三次B样条曲线可以达到二阶连续。因为:新曲线段起点的有关数据和上一段曲线的终点的有关数据都只和B1、B2、B3三点有关，所以:该二段曲线在连接处的位置矢量，—阶切矢和二阶切矢都应相等，即：5三次B样条曲线的特技处理：画直线：画直线的场合：鸭子浮在水面上，画直线时不能用line()画，不自然应仍然用B样条曲线画.方法：让五个顶点共线。(2)使B样条曲线与特征多边形相切：

1）方法1：让三个顶点共线：原曲线：P0P1现曲线：B1,B2,B3共线，曲线与特征多边形相切P0位于B1M的1/3处P1位于B2N的1/3处P0P1MN2）方法2：让两个定点重合：P0P1P0P1MN原曲线：现曲线：B2,B3重合，曲线与特征多边形相切P0位于B1M的1/3处B1B3的中点为NP1位于B2N的1/3处（3）产生尖点：方法：让3个顶点重合.给出一系列顶点数据想生成一个鸭子嘴的形状如图所示：让B2B3B4这3个点重合。P0位于B1M的1/3处P1位于B5N的1/3处P0P段与特征多边形相切P1P段也与特征多边形相切形成尖点。P0PMNP1（4）想使曲线以特征多边形的B0为始点，且与B0B1相切方法：增加一个控制点使

B0＝B0B1B1的中点M与B0重合则： MB0的靠近B0的1/3处仍然是B0点。因此：

画出的曲线段以B0为始点Q五

二次B样条曲线与三次B样条曲线的区别：绘制两段曲线需要的控制点个数起点，终点的位置连接处的连续性二次B样条曲线4处一阶三次B样条曲线5处二阶章节曲线名分类画法特点和用途6.1常见二次曲线的绘制有曲线方程6.4以直线代曲线

用直线段近似曲线引入参数方程，计算曲线上的点，以直线连接点，用于非常用曲线，而常用曲线一般有现成函数可调用。6.2抛物样条曲线曲线过每个点点点通曲线过每一个点，用于慢变化实验数据，简单、易编程，光滑度一般。为C16.3三次参数样条曲线用已知过(插值法)