1.6完全平方公式北师大版数学七年级下册

教学设计学科初中数学课题完全平方公式章节北师大版初中数学七下第一章第6节（分析本课时教学内容在单元中的位置，学习内容对发展学生核心素养的功能价值，蕴含的正确价值观念等）本课时为“完全平方公式”的第1课时，是“数与代数”部分的重要组成部分，是在乘法分配律、字母表示数、整式的乘法之“多项式乘多项式”等前序教学内容的基础上进行的引入。学生通过探索与实践，从“代数”与“几何”两个维度体会、理解、掌握完全平方公式的概念和运用，并能初步解决实际情景中的问题。在教学结构设计上，本节课既是整式的乘法的典型特例，又是后续（八下）学习运用“公式法”进行因式分解的基础，具有承前启后的重要意义，也在本章中起到举足轻重的作用。在核心素养培育上，本节课引导学生用数学的眼光、数学的思维、数学的语言来观察、感悟、描述生活中的问题，在“代数运算”与“几何直观”的融合中加深体会二者的对立与统一，在独立探索与小组合作中增强探究精神和钻研意识，在深入理解中进一步感受“整体思想”和“互推思想”的重要意义，在与其他乘法公式的比较和拓展中感受数学的简约美、统一美，从而培养学生的理性思维、审美意识和鉴真能力。（分析学生与本课时学习相关的学习经验、知识储备、学科能力水平、学生兴趣与发展需求、发展路径等）进入初中半年，学生对于“整体思想”已经有了一定的体会和把握，特别是通过对有理数运算法则、整式加减乘除运算等相关内容的学习，对于用字母表示数、符号的确定、等式的性质等前序内容的应用较为熟练。完全平方公式这一教学内容，是学生在已经学习单项式乘法、多项式乘法以及平方差公式基础上的延续，是对多项式乘法中出现的较为特殊、具有普遍规律的算式的归纳和总结。按照学生的认知规律，从具体到抽象，由直观图形出发引导学生观察、猜想、验证、最后建立数学模型，使学生对公式从感性认识、直观认识逐步发展到理性认识、本质认识。事实上，只有让学生经历乘法公式的形成过程，从几何和代数两个维度去理解公式内涵，而不是单纯地去记忆，运算在学生的脑子中和笔下才能活起来，数学科目教学才能发挥真正的育人价值。分析（分析本课时教学内容与思政育人融合的知识点、内在逻辑和具体路径）“完全平方公式”是初中数学非常重要的知识，是很多代数问题重要的解题工具，也具有极为丰富的育人价值，通过本节课的学习，期望从以下几个方面发挥思政育人效力：理性思维，求真，求实。通过拼图、计算，感受代数与几何密不可分的关系，能够在处理生活问题时更加注重方法的变通，从而培养学生理性思考的能力与求真务实的品质。通过杨辉三角的引入，感受中国数学文化是文化史上的瑰丽结晶；渗透数学思想，强化学生的整体思想和符号意识；通过公式的变形与对比，引导学生体会事物的“变与不变”，既能够“以不变应万变”，也能够拥有“火眼金睛辨别真相”的能力和态度，逐渐形成克服困难、明辨是非的科学精神。培养良好品格，形成“实事求是，不自以为是”的扎实学风；引导学生在既有经验的基础上，通过分析探究解决当前遇到的困难，感受“一步一个脚印”带来的正向成长变化。感悟乘法模型的意义，引导学生形成模型意识和初步应用模型的意识。（根据课程标准和学生实际，指向学科素养和思政育人，描述学生经历学习过程后应达成的目标）（1）体会完全平方公式的发现和推导过程，了解公式的几何背景和代数溯源，理解公式的本质，会应用公式进行简单的计算和常见的变式训练。（2）通过让学生亲身经历完全平方公式的探索过程，培养学生观察、猜想、归纳、概括、应用意识，发展推理能力、沟通能力、表达能力、数形结合能力，增强学生的数感、激发数学文化学习意识。（3）在数学活动中获得成功的体验和喜悦，增强克服困难、主动寻求变化以解决问题的探究精神与吃苦精神，树立学习的自信心，认识到用心观察、努力探索在成长过程中的重要意义。重点：会从代数和几何两个角度推导完全平方公式，能根据特征记住、辨别、变形、应用公式.难点：了解完全平方公式的数学文化背景，能运用整体思想进行简单的计算和推理6.学习活动设计教师活动学生活动环节一：创设情境，引入课题教师活动（教学环节中呈现的学习情境、提出驱动性问题、学习任务类型等）小故事：湾区春似锦，鹏城花如梦。芳菲四月，万物盎然，2023粤港澳大湾区花展如期而至。在其中一块正方形土地上，按如图分为“寻梦之旅”“绘梦蓝图”“筑梦舞台”“造梦花市”四个板块，问土地总面积（用字母表示）学生活动学生读懂问题、实际动手操作（拼图）能够初步计算感知完全平方公式：（a+b）²=a²+ab+ab+b²=a²+2ab+b²设计意图通过创设学生熟悉的真实情景，引导学生从社会生活入手，发现、探究并解决数学问题。思政元素：本节课基于新课标2022对核心素养的要求展开设计，即充分引导学生“用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维思考现实世界，用数学的语言表达现实世界”环节二：探究问题，探索新知教师活动：板书：老大家：a2老二家：ab老三家：ab老四家：b2问题1：关于面积的等式，是如何列写的？追问1：能否用学过的公式二次验证？（a+b）²=a²+2ab+b²【板书】追问2：如果将b改为b，公式是怎样的？（ab）²=a²－2ab+b²【板书】你能仿照上图，用几何方法验证公式吗？巧计口诀：首平方，末平方，首末两倍放中央，符号看前方学生活动：拼图、计算、获取表达式（合并同类项）：（a+b）²=a²+2ab+b²学生回答1：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加（a+b）²=(a+b)(a+b)=a²+2ab+b²学生回答2：[a+(b)]²=a²+(－2ab)+(－b)²=a²－2ab+b²设计意图从几何直观和代数推理的双重维度出发，让学生在动手实践中体会“变与不变”，激发学生用已有知识和经验解决问题，感受问题解决方案的多元化思政元素：在数形结合的过程中，体会数学表达的简洁、多元与直观美，引导学生体会“代数”与“几何”之间相互依存、相辅相成的联系与区别。环节三：应用新知，反馈练习教师活动：辨别完全平方公式：(a+b)(ba)×(a+b)(ab)√(ab)(ba)×(ab)(a+b)√利用完全平方公式计算：(5－a)2(－3m－4n)2(－3a＋b)2(2x+y－3)(2x+y+3)学生活动（自主练习）举手回答，关注公式特征和符号变化自主练习(5－a)2＝25－10a＋a2(－3m－4n)2＝9m2＋24mn＋16n2(－3a＋b)2＝9a2－6ab＋b2(2x+y－3)(2x+y+3)=[(2x+y)－3][(2x+y)+3]=(2x+y)29=4x2＋4xy＋y29设计意图在对公式的识别和体验中，引导学生加强理解，逐渐熟练、灵活应用完全平方公式。在对公式学习、应用的过程中，第一阶段要求精准辨别，即深刻理解字母和符号的本质，能够快速、精准识别；第二阶段要求正确代入，即只对a、b两数做乘除变形，学生通过直接套用公式即可解决问题，即只要找对方法，就可以“以不变应万变”；第三阶段要求更进一步，将a、b作加减法变形，学生需要认真观察、运用“整体思想”求解，即“火眼金睛辨别真相”的意识。思政元素：培养学生求真，求实，严谨，准确的务实精神。只要找对方法，就可以“以不变应万变”；也能够拥有“辨别真相”的能力和态度，逐渐形成克服困难、明辨是非的科学精神。教师活动：利用完全平方公式求字母的值例题：如果x2＋mx＋9是一个完全平方式，求m的值∵x2＋mx＋9＝x2＋mx＋32∴mx＝±2·x·3，∴m＝±6变式：如果4x2＋(m＋1)xy＋25y2是一个完全平方式，求m的值学生活动：分组活动、代表板书解答：∵4x2＋(m＋1)xy＋25y2＝(2x)2＋(m＋1)xy＋(5y)2，∴(m＋1)xy＝±2·2x·5y，∴m＋1＝±20∴m＝19或－21.设计意图第一：两数的平方和加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．在解题过程中，要注意辨别并正确化为两数平方和的形式，同时要注意积的2倍的符号，避免漏解。如果二倍乘积项的符号不能直接确定，那么它必定是有两个答案的第二：注重知识与方法的层次性和多样性，讲练结合、小组活动、逐步提升难度、规范书写格式。在变式中，有3个易错点：①是要正确得到公式中的a与b，注意整体思想；②是要注意积的2倍的符号；③是要突破固化思维，正确求解含±的一元一次方程，最终获得m的两个值。思政元素：一是通过自主思考和小组合作的方法，经历发现、提出和解决问题的过程，逐步积累并正确运用数学经验，培养学生独立思考意识、沟通与表达能力、团队协作态度；二是强化学生的整体思想和符号意识，培养“实事求是，不自以为是”的扎实学风；三是在既有经验的基础上，通过分析探究解决当前遇到的困难，感受“一步一个脚印”带来的正向成长变化。教师活动：深度理解：观察上述两个公式，均为两数和或差的平方的形式，我们称之为“完全平方公式”。类比平方差公式所学，观察、对比上述两个公式，它们可视为分别由几个部分构成？尝试归类描述。学生活动：引导学生共同总结：①两数和/差：a±b②两数积：ab③两数平方和：a2+b2设计意图引导学生运用数学思维，提高归纳概括的能力，进而加强理解、辅助记忆思政元素：认识问题不能仅停留于表面，要从深层次理解问题教师活动：结合深度理解所学，根据完全平方公式的构成，灵活求解代数式（知二得一）例：若xy＝7，且xy＝5，则x2+y2=?∵x－y＝7，xy＝5且(x－y)2＝x2+y2－2xy∴x2+y2＝(x－y)2+2xy＝72+2×5＝59练：若(2023x)2+(x2022)2＝2021,则(2023x)(x2022)=？找隐藏条件：(2023x)+(x2022)=1换元法：学生活动：设a=2023－x，b=x－2022∵a+b=1∴(a+b)2=12=1∵a2+b2＝2021且(a+b)2＝a2+b2－2ab∴2ab＝a2+b2－(a+b)2＝2021－1＝2020∴ab=1010∴(2023x)(x2022)=1010设计意图在运用所学基础知识对复杂问题进行求解时，应当寻找共同点和突破口。当题目中的条件给到①两数和/差，②两数积，③两数平方和中的任意两项时，一定能求出第三项，即“知二求一”；当题目中的条件、问题共涉及到三项中的两项时，考虑第三项为“隐藏条件”，利用换元法可求。思政元素：从一般到特殊，再从特殊到一般是数学学习和生活经验总结中常见的思维方式；在应对复杂问题时，更强调思维的变通性，要注意对隐藏条件的挖掘、运用以及灵活转换。环节四：拓展延伸，思想提升教师活动：下表为杨辉三角系数表，它的作用是指导读者按规律写出形如(a＋b)n(n为正整数)展开式的系数，请你仔细观察下表中的规律，填出(a＋b)6展开式中所缺的系数。(a＋b)1＝a＋b，(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，......则(a＋b)6＝a6＋6a5b＋15a4b2＋___a3b3＋15a2b4＋6ab5＋b6学生活动：自主读题、合作探究（小组活动）解题思路：(a＋b)1＝a＋b，(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，观察系数的规律，可得(a＋b)n的各项展开式的系数除首尾两项都是1外，其余各项系数都等于(a＋b)n－1的相邻两个系数的和。由此可得(a＋b)4的各项系数依次为1、4、6、4、1；(a＋b)5的各项系数依次为1、5、10、10、5、1，因此(a＋b)6的各项系数分别为1、6、15、20、15、6、1。故本空填20。设计意图对于规律探究题，读懂题意并根据所给的式子寻找规律，是快速解题的关键。思政元素：一是科普公式蕴含的数学史。杨辉三角形，又称帕斯卡三角形，它的排列形如三角形，因为首现于南宋数学家杨辉的《详解九章算法》得名。杨辉三角的美妙之处在于：杨辉三角完美的体现了中国古代数形结合的思想。将繁杂难懂的公式转化为了简单明了的图形，它是如此足够简单，但本身在数学上却拥有丰富的魅力，与斐波那契数列、二项式展开、二项式分布等均相关。二是感悟乘法模型的意义，引导学生形成模型意识和初步应用模型的意识。环节五：归纳总结，建构联系教师活动：根据板书回顾，今天学了什么知识？今天学这个知识，我们是如何研究的？通过学习，你有哪些数学方面的提高？有哪些对生活的新思考？学生活动：本堂课注重问题导向、讲练结合、教学相长，留足时间给学生去探索、练习、小组合作，引导学生从代数与几何的角度对公式进行认识和理解，这种教学方式能够较好地促进学生的学习效果、激发学生的学习动力。“知二求一”“挖掘真相”7.板书设计“知二求一”“挖掘真相”两数和/差两数积两数和/差两数积两数平方和（a+b）²=a²+2ab+b²（ab）²=a²－2ab+b²特征归纳：“统一美”“变与不变”“统一美”“变与不变”例1：例1：如果x2＋mx＋9是一个完全平方式，求m的值例2：若xy＝7，且xy＝5，则x2+y2=? 设计意图从学了什么，怎么学的，构建联系三个层次去进行归纳总结，升华本节课内容，形成主板书8.作业与拓展学习设计（1）基础性作业:完成配套练习题，预计20分钟；（2）拓展性作业：在特色花园展中，各板块积极引入社会力量，以