2023年中考数学复习 专题02 整式及因式分解（10个高频考点）（举一反三）（全国通用）（教师版）

专题02整式及因式分解（10个高频考点）（举一反三）TOC\o"1-1"\h\u【考点1整式的相关概念】 1【考点2整式的加减运算】 5【考点3幂的运算】 8【考点4整式乘法公式的运用】 10【考点5整式的混合运算】 13【考点6完全平方公式、平方差公式的几何背景】 17【考点7因式分解】 21【考点8利用添项、拆项进行因式分解】 23【考点9因式分解的应用】 25【考点10图形或数字变化类的规律探究】 29【要点1整式的相关概念】(1)代数式：用运算符号把数或表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独的一个数或一个字母也是代数式。(2)单项式：用数或字母的乘积表示的式子叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。(3)多项式：几个单项式的和叫做多项式。其中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项。多项式里，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数。单项式与多项式统称整式。(4)同类项：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项。(5)合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项。合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母连同它的指数不变。【考点1整式的相关概念】【例1】（重庆市育才中学教育集团2022-2023学年九年级二模数学试题）关于x的三次三项式A=−12x3+3x2−5=a(x−1)3+b(x−1)2+c(x−1)+d（其中a、b①当2A−3B是关于x的三次三项式时，则f=10②当A·B中不含x3时，则f=6e；③当x=1时，B=2；当x=13时，B=19，则④d=−5⑤a+b+c=11A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】计算2A−3B，令常数项为0可判断①；计算A·B，令x3项系数为0可判断②；由当x=1时，B=2；当x=13时，B=19列出方程组可解得e和f的值，从而判断③；用特殊值法可求出【详解】解：2A−3B＝2(−12＝−x∵2A−3B是关于x的三次三项式，e≠0，∴3f−10=0，解得f=10A·B=(−＝−7∵A·B中不含x3∴f2∴f=6e，故②正确；∵x=1时，B=2；当x=13时，∴7−e−f=27解得e=132，在−12x−1∴d=−5在−12x−4+12−5=a+b+c+d，∵d=−5∴a+b+c=11∴正确的有①②③④⑤，共5个，故选：D．【点睛】本题考查整式的运算，解题的关键是掌握整式运算相关法则．【变式1-1】（2022·重庆八中三模）下列说法中，不正确的是（）A．−abc2的系数是−1，次数是4 B．C．2πR2+3R是二次二项式 D．3x2【答案】D【分析】根据单项式和多项式的相关定义进行判断即可．【详解】A.−abc2的系数是−1，次数是B.3xy4πC.2πRD.3x2−6x+1的项是3x2故选：D．【点睛】本题考查了单项式和多项式的相关定义，掌握单项式和多项式的相关定义是解题的关键．【变式1-2】（2022·浙江台州·一模）若多项式n−2xm+2−n−1x【答案】2或4##4或2【分析】分类讨论，根据多项式的次数为三次，超过三次的项的系数为0，即可求得m,n的值，进而即可求解．【详解】解：∵多项式n−2xm+2−当m+2=3n−2≠0时，m=1，5−m=4，则n−1=0∴n=1∴m+n=2；当5−m=3n−1≠0，m=2，m+2=4，则n−2=0∴n=2，∴m+n=4；故答案为：2或4．【点睛】本题考查了多项式的定义，掌握多项式的次数是最高次数的项的次数是解题的关键．【变式1-3】（2022·湖北·鄂州市鄂城区教学研究室三模）某通讯公司推出以下收费套餐，甲选择了套餐A，乙选择了套餐B，设甲的通话时间为t1分钟，乙的通话时间为t月租费（元/月）不加收通话费时限（分）超时加收通话费标准（元/分）套餐A581500.3套餐B883500.3(1)请用含t1t1(2)若甲9月份通话时间为390分钟，乙通话费用和甲相同，求乙通话时间；(3)若甲和乙在10月份通话时间和通话费用都一样，则通话时间为______．【答案】(1)(0.3t1+13)(2)490分钟；(3)250分钟．【分析】（1）利用通话费用=月租费+超时加收通话费标准×超时的时间，即可用含t1（2）根据甲、乙的通话费用相同，即可得出关于t2（3）当t1=t2时，设甲、乙的通话时间均为t分钟，分为【详解】（1）解：依题意得：甲的通话费用为58+0.3(t乙的通话费用为88+0.3(t（2）解：依题意得：0.3t解得t2答：乙的通话时间为490分钟．（3）解：当t1当0＜当150＜t≤350时，0.3t+13=88，解得当t＞350时，∴甲和乙在10月份通话时间和通话费用都一样，则通话时间为250分钟，故答案为：250分钟．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及列代数式，解题的关键是要读懂题意找出等量关系才能正确列出方程．【要点2整式的加减】(1)整式的加减：几个整式相加减，如有括号就先去括号，然后再合并同类项。去括号法则：同号得正，异号得负。即括号外的因数的符号决定了括号内的符号是否改变：如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。【考点2整式的加减运算】【例2】（2022·河北·一模）若关于x的多项式x4+3x2+ax−1与3A．−2 B．2 C．4 D．−4【答案】A【分析】先把两个多项式相减整理得−2x4−7【详解】解：x4==−2∵式子不含二次项和一次项，∴3+b=0,a−1=0，∴b=−3,a=1，∴a+b=1−3=−2，故选：A．【点睛】本题考查了整式的加减，解题的关键是掌握不含二次项和一次项，就说明二次项和一次项的系数为0.【变式2-1】（2022·陕西省西安高新逸翠园学校模拟预测）已知A=3x2−x+2y−4xy(1)求A−3B；(2)若A−3B的值与y的取值无关，求x的值．【答案】(1)5x+5y−7xy+15；(2)5【分析】（1）将A=3x2−x+2y−4xy（2）令y的系数为0可得关于x的方程，即可解得x的值．【详解】（1）解：当A=3x2−x+2y−4xyA−3B=3x=3x=5x+5y−7xy+15；（2）解：∵A−3B=5x+5y−7xy+15=5x+5−7x∴A−3B的值与y的取值无关，即5−7x=0，解得：x=【点睛】本题考查了整式的加减运算，熟练掌握取值无关题型的解题思路是解题关键．【变式2-2】（2022·广东顺德德胜学校三模）已知2x2ya+1−0.5x【答案】25．【分析】根据多项式2x2ya+1−0.5xy2−6x【详解】解：∵多项式2x∴2+a+1=6，解得a=3，∵单项式5x∴2b+2=6，解得b=2．∴a+b【点睛】本题考查的是多项式的项与次数的含义，单项式的次数，多项式中的每个单项式叫做多项式的项，最高次项的次数，就是这个多项式的次数，利用多项式与单项式的次数的含义建立方程求解是解本题的关键．【变式2-3】（2022·陕西·西安市第三十一中学模拟预测）某同学做一道题：“已知两个多项式A和B，计算2A+B”，他误将2A+B看成A+B，求得的结果为9x2+2x−1(1)求多项式A；(2)请你求出2A+B的正确答案．【答案】(1)8(2)17【分析】（1）根据题意可知A+B=9x2+2x−1，B=（2）根据（1）中求得的A和题目中的B，即可计算出2A+B的正确答案．【详解】（1）解：由题意可得，A+B=9x2+2x−1∴A==9=9x=8x∴多项式A为8x（2）解:由（1）知：A=8x2−x+1∴2A+B=28=16x=17x∴2A+B的正确答案是17x【点睛】本题考查整式的加减，解答本题的关键是明确去括号法则和合并同类项的方法．【要点3幂的运算】①同底数幂的乘法：am·an=am+n。同底数幂相乘，底数不变，指数相加。②幂的乘方：(am)n=amn。幂的乘方，底数不变，指数相乘。③积的乘方：(ab)n=anbn。积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。④同底数幂的除法：am÷an=am-n。同底数幂相除，底数不变，指数相减。任何不等于0的数的0次幂都等于1。【考点3幂的运算】【例3】（2022·广东广州·二模）已知3m=4，32m−4n=2．若9nA．8 B．4 C．22 D．【答案】C【分析】逆用同底数幂的乘除法及幂的乘方法则．由32m−4n【详解】∵32m−4n依题意得：4x2=2∴4x∴x=故选：C．【点睛】此题主要考查了同底数幂的乘除法，以及幂的乘方运算，关键是会逆用同底数幂的乘除法进行变形．【变式3-1】（2022·上海·中考真题）下列运算正确的是（

）A．a²+a³=a6B．（ab）2=ab2C．（a+b）²=a²+b²D．（a+b）（a-b）=a²-b2【答案】D【分析】根据整式加法判定A；运用积的乘方计算关判定B；运用完全平方公式计算并判定C；运用平方差公式计算并判定D．【详解】解：A.a²+a³没有同类项不能合并，故此选项不符合题意；B.（ab）2=a2b2，故此选项不符合题意；C.（a+b）²=a²+2ab+b²，故此选项不符合题意D.（a+b）（a-b）=a²-b2，故此选项符合题意故选：D．【点睛】本题考查整理式加法，积的乘方，完全平方公式，平方差公式，熟练掌握积的乘方运算法则、完全平方公式、平方差公式是解题的关键．【变式3-2】（2022·江苏扬州·中考真题）掌握地震知识，提升防震意识．根据里氏震级的定义，地震所释放出的能量E与震级n的关系为E=k×101.5n（其中【答案】1000【分析】分别求出震级为８级和震级为6级所释放的能量，然后根据同底数幂的除法即可得到答案．【详解】解：根据能量E与震级n的关系为E=k×101.5n（其中当震级为8级的地震所释放的能量为：k×10当震级为6级的地震所释放的能量为：k×10∵k×∴震级为8级的地震所释放的能量是震级为6级的地震所释放能量的1000倍．故答案为：1000．【点睛】本题考查了利用同底数幂的除法底数不变指数相减的知识，充分理解题意并转化为所学数学知识是解题的关键．【变式3-3】（2022·湖南长沙·中考真题）当今大数据时代，“二维码”具有存储量大．保密性强、追踪性高等特点，它已被广泛应用于我们的日常生活中，尤其在全球“新冠”疫情防控期间，区区“二维码”已经展现出无穷威力．看似“码码相同”，实则“码码不同”．通常，一个“二维码”由1000个大大小小的黑白小方格组成，其中小方格专门用做纠错码和其他用途的编码，这相当于1000个方格只有200个方格作为数据码．根据相关数学知识，这200个方格可以生成2200个不同的数据二维码，现有四名网友对2YYDS（永远的神）：2200DDDD（懂的都懂）：2200等于200JXND（觉醒年代）：2200QGYW（强国有我）：我知道210=1024, 103其中对2200【答案】DDDD【分析】根据乘方的含义即可判断YYDS（永远的神）的理解是正确的；根据积的乘方的逆用，将2200化为(2100)2，再与2002比较，即可判断DDDD（懂的都懂）的理解是错误的；根据2的乘方的个位数字的规律即可判断【详解】2200是200个2相乘，YYDS2200=(∵2∴2的乘方的个位数字4个一循环，∵200÷4=50，∴2200的个位数字是6，JXND∵2200=(∴2200>故答案为：DDDD．【点睛】本题考查了乘方的含义，幂的乘方的逆用等，熟练掌握乘方的含义以及乘方的运算法则是解题的关键．【要点4整式的乘除运算】①单项式与单项式的乘法：单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。②单项式与多项式的乘法：p(a+b+c)=pa+pb+pc。单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。③多项式与多项式的乘法：(a+b)(p+q)=ap+aq+bp+bq。多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2。两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。这个公式叫做平方差公式。完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2，(a-b)2=a2-2ab+b2。两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和，加上(或减去)它们积的2倍。这两个公式叫做完全平方公式。④单项式与单项式的除法：单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。⑤多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加。【考点4整式乘法公式的运用】【例4】（2022·湖北荆门·中考真题）已知x+1x(1)（x﹣1x）2(2)x4+1x【答案】(1)5(2)47【分析】（1）由(x+1x)2＝x2+2⋅x⋅1x+1x（2）由(x−1x)2＝x2−2+1x2可得x（1）解：∵(x+1x)2＝x2+2⋅x⋅1x+1x2∴(x−1（2）解：∵(x−1x)2＝x2−2+1x2，∴x2+【点睛】本题主要考查通过对完全平方公式的变形求值．熟练掌握完全平方公式并能灵活运用是解答本题的关键．【变式4-1】（2022·黑龙江大庆·中考真题）已知代数式a2+(2t−1)ab+4b【答案】52或【分析】直接利用完全平方公式求解．【详解】解：∵代数式a2∴a2∴2t−1=±4，解得t=52或故答案为：52或【点睛】本题考查了完全平方公式的运用，熟记完全平方公式的特点是解题的关键．【变式4-2】（2022·江苏泰州·中考真题）已知a=2m2−mn,b=mn−2【答案】b<c<a【分析】利用作差法及配方法配成完全平方式再与0比较大小即可求解．【详解】解：由题意可知：a−b=(2m∵m≠n，∴(m−n)2∴b<a；a−c=(2m2−mn)−(m2−n∴(m−∴c<a；c−b=(m2−故答案为：b<c<a．【点睛】本题考查了两代数式通过作差比较大小，将作差后的结果配成完全平方式，利用完全平方式总是大于等于0的即可与0比较大小．【变式4-3】（2022·河北·石家庄市第四十四中学三模）已知：整式A=n2+1，B=2n，C=(1)当n=1999时，写出整式A+B的值______（用科学记数法表示结果）；(2)求整式A2(3)嘉淇发现：当n取正整数时，整式A、B、C满足一组勾股数，你认为嘉淇的发现正确吗？请说明理由．【答案】(1)4×(2)((3)正确，理由见解析【分析】（1）根据题意可得，A+B=n（2）把A=n2+1，B=2n（3）先计算B2（1）解：A+B=n当n=1999时，原式=1999+1=2000=4×10故答案为：4×10（2）A2=n=n=(（3）嘉淇的发现正确，理由如下：∵B=4n=n∴B∴当n取正整数时，整式A、B、C满足一组勾股数．【点睛】本题主要考查了勾股定理及逆定理，科学记数法，熟练掌握勾股定理及逆定理，科学记数法的计算方法进行求解是解决本题的关键．【考点5整式的混合运算】【例5】（2022·重庆市綦江区东溪中学九年级阶段练习）已知多项式A=x2+2y+m和B=y2−2x+n（①当x=2且m+n=1时，无论y取何值，都有A+B≥0；②当m=n=0时，A×B所得的结果中不含一次项；③当x=y时，一定有A≥B；④若m+n=2且A+B=0，则x=y；⑤若m=n，A−B=−1且x，y为整数，则x+y=1A．①②④ B．①②⑤ C．①④⑤ D．③④⑤【答案】B【分析】主要是运用整式的运算法则及因式分解等知识对各项进行一一判断即可．【详解】①当x=2且m+n=1时，A+B=4+2y+m+y∵无论y取何值，总有y+12∴无论y取何值，都有A+B≥0，故①正确；②当m=n=0时，A×B=x∴A×B所得的结果中不含一次项；故②正确；③当x=y时，A−B=x其结果与0无法比较大小，故③错误；④若m+n=2且A+B=0，则A+B=x变形得：x−12∴x=1，y=-1，∴x=-y，故④错误；⑤若m=n，A−B=−1且x，y为整数，则A−B=x变形得：x+12因式分解得：x+yx−y+2∵x，y为整数，则必有x+y=1故⑤正确；故选：B【点睛】本题主要考查的是整式运算及因式分解的应用，解决本题的关键是熟练掌握运用乘法公式进行计算及因式分解．【变式5-1】（2022·广东广州·中考真题）已知T=(a+3b)(1)化简T；(2)若关于x的方程x2+2ax−ab+1=0有两个相等的实数根，求【答案】(1)6a(2)T=6【分析】(1)根据整式的四则运算法则化简即可；(2)由方程有两个相等的实数根得到判别式△=4a²-4(-ab+1)=0即可得到a2（1）解：T=(=6a（2）解：∵方程x2∴∆=(2a)2∴a2则T=6(a【点睛】本题考查了整式的四则运算法则、一元二次方程的实数根的判别、整体思想，属于基础题，熟练掌握运算法则及一元二次方程的根的判别式是解题的关键．【变式5-2】（2022·河南商丘·一模）已知M=(x+1)2+(2x+1)(2x−1),N=4x(x+1)，当x=2时，请比较【答案】M<N【分析】先计算出M−N=x2−2x，再把x=2代入，求得【详解】解：∵M=(x+1)∴M−N==x2=x2当x=2时，M−N=2−2∵2>1∴22∴2−22∴M−N<0，即M<N．【点睛】此题考查了整式的运算-化简求值，二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则及作差法是解本题的关键．【变式5-3】（2022·重庆一中二模）对整式a2进行如下操作：将a2与另一个整式x1相加，使得a2与x1的和等于a+12，表示为m1=a2+x1=a+12，称为第一次操作；将第一次操作的结果m1与另一个整式y1相减，使得m1与y1的差等于a2−1，表示为m2=m①x2=6a+13；②y5+y7−x5−x7=20；③x2022−A．1个 B．2个C．3个 D．4个【答案】A【分析】根据题意可得出规律为xn=(a+n)2−a2−(n−1)【详解】解：根据题意可知，x1x2x3x4以此类推，可得xn由于y1y2y3y4以此类推，可得yn当n为奇数时，mn=(a+n+12∴x2=4a+5，故结论①错误；y5+y7-x5-x7=（a+5）2-（a2-52）+（a+7）2-（a2-72）-[（a+5）2-（a2-42）]-[（a+7）2-（a2-62）]=52+72-42-62=22．故结论②错误；x2022-y2021=（a+2022）2-（a2-20212）-[（a+2021）2-（a2-20212）]=（a+2022）2-a2+20212-（a+2021）2+a2-20212=（a+2022+a+2021）（a+2022-a-2021）=2a+4043．故结论③错误；∵当n为奇数时，mn=(a+n+12故结论④正确．故选：A．【点睛】本题考查规律型-数字的变化类、整式的混合运算，能够根据题意找出规律是解答本题的关键．【考点6完全平方公式、平方差公式的几何背景】【例6】（2022·湖北随州·一模）如图，从边长为a的大正方形中剪掉一个边长为b的小正方形，将阴影部分沿虚线剪开，拼成右边的长方形．根据图形的变化过程写出的一个正确的等式是（）A．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2 B．a（a﹣b）＝a2﹣abC．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）【答案】D【分析】根据面积相等，列出关系式即可．【详解】解：由题意这两个图形的面积相等，∴a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），故选：D．【点睛】本题考查了平方差公式与图形面积，数形结合是解题的关键．【变式6-1】（2022·湖北·武汉市光谷实验中学一模）如图，将图1的正方形的纸片剪成四块，再用这四块小纸片进行拼接，恰好拼成一个如图2无缝隙、不重叠的矩形，则ba【答案】1+【分析】分别写出两个图形的面积表达式，根据两图形的面积相等列方程，化成ba【详解】图1图形的面积，a+b2图2图形的面积，ba+2b∴a∴b2∴ba∴ba∵ba∴ba【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握正方形、矩形面积公式，解ba【变式6-2】（2022·河北·石家庄市第四十四中学三模）如图，图1为边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，图2是由图1中阴影部分拼成的一个长方形．（1）以上两个图形反映了等式：______；（2）运用（1）中的等式，计算20222【答案】

a2【分析】（1）根据图1和图（2）原式可化为20222【详解】解：（1图1中阴影部分的面积为：a2图2中长方形的长为a+b，宽为a−b，面积为：（a+b）（a−b），则两个图形阴影部分面积相等，a2故答案为：a2（2）20222=2022=2022=2022=1．故答案为：1．【点睛】本题主要考查了平方差公式的几何背景，熟练掌握平方差公式的几何背景问题的解决方法进行求解是解决本题的关键．【变式6-3】（2022·安徽·六安市轻工中学一模）我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式。例如图1可以得到(a+b)2=α²＋2ab＋b²，基于此，请解答下列问题∶（1）根据图2，写出一个代数恒等式∶____________________。（2）小明同学用图3中x张边长为a的正方形，y张边长为b的正方形、z张边长分别为a、b的长方形纸片拼出一个面积为（5a+7b）（9a+4b）长方形，则x+y+z=_____________。【答案】

(a+b+c)2【分析】（1）结合图形根据正方形的面积的两种算法即可得出数学等式；（2）由题意可知所拼图形的面积为xa2

+

yb2

+

zab，从而将(5a+7b)(9a+4b)展开得到

45a2

+

83ab

+

28b2，两者对照即可得出x、y、z的值，进而求和即可．【详解】解：（1）∵正方形的面积=（a+b+c）2，正方形面积=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc，∴（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；（2）由题意可知，所拼图形的面积为xa2

+

yb2

+

zab，∵(5a+7b)(9a+4b)=45a2+20ab+

63ab+

28b2，=

45a2

+

83ab

+

28b2∴x=45，y=

28，

z=

83，∴x+y+z=

45+

28+

83

=

156．【点睛】本题考多项式乘多项式和完全平方公式得背景，解题的关键是主要是从图形的面积得出相关等式，从而利用等式的变形进行求解，注意运用数形结合的思想方法．【要点5因式分解】定义：把一个多项式化成了几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。因式分解的常用方法：①提公因式法：pa+pb+pc=p(a+b+c)；②公式法：a2-b2=(a+b)(a-b)；a2+2ab+b2=(a+b)2；a2-2ab+b2=(a-b)2。③分组分解法：ac+ad+bc+cd=a(c+d)+b(c+d)=(a+b)(c+d)④十字相乘法：a2+(p+q)a+pq=(a+p)(a+q)因式分解的一般步骤：（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。（2）在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：2项式可以尝试运用公式法分解因式；3项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；4项式及4项式以上的可以尝试分组分解法分解因式（3）分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。【考点7因式分解】【例7】（2022·安徽芜湖·二模）下列因式分解正确的是（

）A．a2b−abC．a3−2ab+ab【答案】B【分析】对各选项进行因式分解后进行判断即可．【详解】解：A中a2B中a2C中a3D中a2故选B．【点睛】本题考查了因式分解．解题的关键在于对因式分解方法的熟练掌握与灵活运用．【变式7-1】（2022·浙江杭州·模拟预测）若x2+mx+n分解因式的结果是(x−2)(x+1)，则A．-3 B．3 C．1 D．-1【答案】A【分析】将(x−2)(x+1)展开变为x2−x−2，可知m=-1，【详解】解：由题意得(x−2)(x+1)=∵x2+mx+n分解因式的结果是∴m=-1，n=-2，∴m+n=故选：A．【点睛】本题主要考查的是多项式乘以多项式法则以及因式分解，能够理解两者为互逆运算是解题的关键．【变式7-2】（2022·四川内江·中考真题）分解因式：a4﹣3a2﹣4＝_____．【答案】（a2+1）（a+2）（a﹣2）【分析】首先利用十字相乘法分解为a2【详解】解：a4﹣3a2﹣4＝（a2+1）（a2﹣4）＝（a2+1）（a+2）（a﹣2），故答案为：（a2+1）（a+2）（a﹣2）．【点睛】本题考查利用因式分解，解决问题的关键是掌握解题步骤：一提二套三检查．【变式7-3】（2022·黑龙江绥化·中考真题）因式分解：m+n2【答案】m+n−3【分析】将m+n看做一个整体，则9等于3得的平方，逆用完全平方公式因式分解即可．【详解】解：m+n==m+n−3故答案为：m+n−32【点睛】本题考查应用完全平方公式进行因式分解，整体思想，能够熟练逆用完全平方公式是解决本题的关键．【考点8利用添项、拆项进行因式分解】【例8】（2022·湖南·怀化市第四中学二模）【阅读理解】对于二次三项式x2+2ax+a2，能直接用公式法进行因式分解，得到我们可以采用这样的方法：在二次三项式x2+2ax−3a2中先加上一项x====像这样把二次三项式分解因式的方法叫做添（拆）项法．(1)【问题解决】请用上述方法将二次三项式x2(2)【拓展应用】二次三项式x2(3)运用材料中的添（拆）项法分解因式：a4【答案】(1)x+4a(2)二次三项式x2(3)a【分析】（1）仿照题干所给示例进行分解因式即可；（2）仿照题意将原多项式变为=x−2（3）仿照题干所给示例求解即可．【详解】（1）解：x=====x+4a（2）解：x==x−2∵x−22∴x−22∴二次三项式x2（3）解：a====a【点睛】本题主要考查了分解因式，偶次方的非负性，掌握完全平方公式和平方差公式是解题的关键．【变式8-1】（2022·吉林大学附属中学八年级二模）先阅读下列材料：我们已经学过将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和运用公式法，其实分解因式的方法还有分组分解法、拆项法、十字相乘法等等．分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：ax+by+bx+ay=(ax+bx)+(ay+by)=x(a+b)+y(a+b)=拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法．如：x2(1)分解因式：a2(2)分解因式：x2【答案】(1)(a+b−2)(a−b−2)(2)(x−7)(x+1)【分析】（1）根据分组分解法，将其分成a2（2）根据拆项法，得到x2（1）解：原式＝a==(a+b−2)(a−b−2)；（2）解：原式＝x===(x−7)(x+1)．【点睛】本题考查了因式分解，理解材料分组分解法以及拆项法进行因式分解是解题的关键．【变式8-2】（2022·重庆八中二模）因式分解：(1−【答案】(xy−1−x−y)(xy−1+x+y)【分析】先根据多项式乘以多项式的运算法则求解，再分组，利用完全平方公式及平方差公式因式分解即可得到结论．【详解】解：(1−=1−=(==(xy−1−x−y)(xy−1+x+y)．【点睛】本题考查因式分解，涉及到整式乘法运算、分组分解因式和公式法分解因式，根据代数式结构特征准确分组，熟练掌握完全平方公式及平方差公式是解决问题的关键．【变式8-3】（2022·重庆巴蜀中学三模）因式分解：x【答案】x【分析】先构造出完全平方公式，运用完全平方公式分解，最后利用平方差公式进行分解即可.【详解】解：原式=x=x=x2【点睛】本题考查公式法分解因式，构造出完全平方公式是解答本题的关键.【考点9因式分解的应用】【例9】（2022·湖北·武汉市新洲区阳逻街第一初级中学三模）解决次数较高的代数式问题时，通常可以用降次的思想方法．已知：x2−x−1=0，且x>0，则A．1+5 B．1−5 C．3+5【答案】A【分析】首先解方程x2−x−1=0，然后利用整体代入的思想把x2【详解】解：∵x∴x∵x>0，∴x=1+∴x=x=（=−x=−x−1+3x+1=2×1+=1+5故选：A．【点睛】此题主要考查了分解因式的实际运用，同时也考查了解一元二次方程，有一定的综合性．【变式9-1】（2022·河北·模拟预测）216−1可以被10−20之间的两个整数整除，那这两个整数是（

）A．13和15 B．12和16 C．14和17 D．15和17【答案】D【分析】根据因式分解化简216−1即可．【详解】解：216−1=（28+1）（28−1）=（28+1）（24+1）（24−1）=（28+1）×17×15即，216−1的计算结果可以被17和15整除，故选：D．【点睛】本题考查因式分解的应用，熟练掌握用平方差公式分解因式是解题的关键．【变式9-2】（2022·四川乐山·中考真题）已知m2+n【答案】4【分析】根据已知式子，凑完全平方公式，根据非负数之和为0，分别求得m,n的值，进而代入代数式即可求解．【详解】解：∵m2∴m即m−32∴m=3,n=−1，∴m−n=3−−1故答案为：4．【点睛】本题考查了因式分解的应用，掌握完全平方公式是解题的关键．【变式9-3】（2022·青海西宁·中考真题）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将2a−3ab−4+6b因式分解．【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：解法一：原式=解法二：原式=【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）【类比】(1)请用分组分解法将x2【挑战】(2)请用分组分解法将ax+a【应用】(3)“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角边长分别是a和ba>b，斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将a【答案】(1)x+a(2)a−b(3)a2【分析】（1）直接将前两项和后两项组合，利用平方差公式再提取公因式，进而分解因式即可；（2）先分组，利用完全平方公式再提取公因式，进而分解因式即可；（3）分组，先提取公因式，利用完全平方公式分解因式，再由勾股定理以及面积得到a2+b（1）解：x