北师大版九上一元二次方程

南苑中学教师备课笔记课题§花边有多宽(一)第2课时共1课时教学目标1．理解一元二次方程的概念及它的有关概念；2．经历由具体问题抽象出一元二次方程的概念的过程，进一步体会方程是刻画现实世界的一个有效数学模型．重点一元二次方程的概念及它的一般形式难点一元二次方程的概念教具准备施教时间2006年月日教学过程：Ⅰ．创设现实情景、引入新课经济时代的今天，你能根据商品的销售利润作出一定的决策吗?你能为一个矩形花园提供多种设计方案吗?……下面我们来学习第一节：花边有多宽．（板书）Ⅱ．讲授新课例1我们来看一个实际问题(小黑板)一块四周镶有宽度相等的花边的地毯，如图所示，它的长为8m，宽为5m，如果地毯中央长方形图案的面积为18m2，那么花边有多宽?分析：从题中，找出已知量、未知量及问题中所涉及的等量关系．这个题已知：这块地毯的长为8m，宽为5m，它中央长方形图案的面积为18m2．所要求的是；地毯的花边有多宽．本题是以面积为等量关系．如果设花边的宽为xm，那么地毯中央长方形图案的长为(8－2x)m，宽为(5－2x)m，根据题意，可得方程(8－2x)(5－2x)＝18例2．下面我们来看一个数学问题（小黑板）观察下面等式102＋112＋122＝132＋142．你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗?总结：这个问题可以有不同的设未知数的方法，同学们可灵活设未知数，即可设这五个数中的任意一个，其他四个数可随之变化．例3下面我们来看一个实际问题(小黑板)：如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m，如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动多少米?分析：墙与地面是垂直的，因而墙、地面和梯子构成了直角三角形．已知梯子的长为10m，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m，所以由勾股定理可知，滑动前梯子底端距墙有6m．设梯子底端滑动xm，那么滑动后梯子底端距墙(6＋x)m，根据题意，利用勾股定理，可得方程．上面的三个方程都是只含有一个未知数x的整式方程，等号两边都是关于未知数的整式的方程，称为整式方程，如：我们学习过的一元一次方程，二元一次方程等都是整式方程．这三个方程还都可以化为ax2＋bx＋c＝0(a、b、c为常数，a≠0)的形式，这样的方程我们叫做一元二次方程(quadraticequattonwithoneunknown)，即只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程．2．任何一个关于x的一元二次方程都可以化为ax2＋bx＋＋c＝0(a≠0)的形式，其中a≠0是定义的一部分，不可漏掉，否则就不是一元二次方程了．Ⅲ．应用、深化课本P44随堂练习1、2课本P44习题2．11、2Ⅳ．课时小结本节课我们由讨论“花边有多宽”得出一元二次方程的概念．1．一元二次方程属于“整式方程”，其次，它只含有一个未知数，并且都可以化为ax2＋bx＋c＝0(a、b、c为常数，a≠0)的形式．2．一元二次方程的一般形式为ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，一元二次方程的项及系数都是根据它的一般形式定义的，这与多项式中的项、次数及其系数的定义是一致的．Ⅴ.课后作业作业本（）Ⅵ．活动与探究当d、b、c满足什么条件时，方程(a－1)x2－bx＋c＝0是一元二次方程?这时方程的二次项系数、一次项系数分别是什么?当a、b、c满足什么条件时，方程(a－1)x2－bx＋c＝0是一元一次方程?板书设计§花边有多宽(一)例1方程例2方程例3方程一元二次方程的定义活动与探究教学反思____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

南苑中学教师备课笔记课题§花边有多宽第2课时共2课时教学目标1、经历方程解的探索过程，增进对方程解的认识，发展估算意识和能力；2、渗透“夹逼”思想。重点用“夹逼”方法估算方程的解；求一元二次方程的近似解。难点用“夹逼”方法估算方程的解；求一元二次方程的近似解。教具准备施教时间2006年月日教学过程：一、复习：1、什么叫一元二次方程？它的一般形式是什么？一般形式：ax2＋bx＋c－0(a≠0)2、指出下列方程的二次项系数，一次项系数及常数项。（1）2x2―x＋1＝0 (2)―x2＋1＝0 (3)x2―x＝0 (4)―EQEQ\R(,3)x2＝0二、新授：1、估算地毯花边的宽。地毯花边的宽x(m)，满足方程(8―2x)(5―2x)＝18也就是：2x2―13x＋11＝0你能求出x吗？（1）x可能小于0吗？说说你的理由；x不可能小于0，因为x表示地毯的宽度。（2）x可能大于4吗？可能大于吗？为什么？x不可能大于4，也不可能大于，x>4时，5―2x<0，x>时，5―2x<0.（3）完成下表x0122x2―13x＋11从左至右分别11，，0，―4，―7，―9（4）你知道地毯花边的宽x(m)是多少吗？还有其他求解方法吗？与同伴交流。地毯花边1米，另，因8―2x比5―2x多3，将18分解为6×3，8―2x＝6，x＝12、例题讲析：例：梯子底端滑动的距离x（m）满足(x＋6)2＋72＝102也就是x2＋12x―15＝0（1）你能猜出滑动距离x(m)的大致范围吗？（2）x的整数部分是几？十分位是几？x012x2＋12x―15－15－－213所以1<x<进一步计算xx2＋12x―15－所以<x<因此x的整数部分是1，十分位是1注意：（1）估算的精度不适过高。（2）计算时提倡使用计算器。三、巩固练习：P47，随堂练习1；P47，习题：1、2四、小结：估计方程的近似解可用列表法求，估算的精度不要求很高。五、作业：作业本()板书设计§花边有多宽引例例题随堂练习教学反思____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

南苑中学教师备课笔记课题§配方法（1）第3课时共1课时教学目标1、会用开平方法解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程；2、理解配方法，会用配方法解简单的数字系数的一元二次方程；3、体会转化的数学思想，用配方法解一元二次方程的过程。重点利用配方法解一元二次方程难点把一元二次方程通过配方转化为(x十m)2＝n(n0)的形式．教具准备施教时间2006年月日教学过程：一、复习：1、解下列方程：（1）x2＝9 （2）(x＋2)2＝162、什么是完全平方式？利用公式计算：（1）(x＋6)2 （2）(x－EQ\F(1,2))2注意：它们的常数项等于一次项系数一半的平方。3、解方程：（梯子滑动问题）x2＋12x－15＝0二、新授：1、引入：像上面第3题，我们解方程会有困难，是否将方程转化为第1题的方程的形式呢？2、解方程的基本思路（配方法）如：x2＋12x－15＝0 转化为(x＋6)2＝51两边开平方，得x＋6＝±EQ\R(,51)∴x1＝EQ\R(,51)―6 x2＝―EQ\R(,51)―6(不合实际)因此，解一元二次方程的基本思路是将方程转化为(x＋m)2＝n的形式，它的一边是一个完全平方式，另一边是一个常数，当n≥0时，两边开平方便可求出它的根。3、配方：填上适当的数，使下列等式成立：（1）x2＋12x＋ ＝(x＋6)2（2）x2―12x＋ ＝(x―)2（3）x2＋8x＋ ＝(x＋)2从上可知：常数项配上一次项系数的一半的平方。4、讲解例题：例1：解方程：x2＋8x―9＝0分析：先把它变成(x＋m)2＝n（n≥0）的形式再用直接开平方法求解。解：移项，得：x2＋8x＝9配方，得：x2＋8x＋42＝9＋42 ，（两边同时加上一次项系数一半的平方）即：(x＋4)2＝25开平方，得：x＋4＝±5即：x＋4＝5 ，或x＋4＝―5所以：x1＝1，x2＝―95、配方法：通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二闪方程的方法称为配方法。三、巩固练习：P50，随堂练习：1；P50习题1、2四、小结：（1）什么叫配方法？（2）配方法的基本思路是什么？（3）怎样配方？五、作业：作业本板书设计§配方法（1）复习题引例配方法的基本思路例题配方法定义教学反思____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

南苑中学教师备课笔记课题§配方法（2）第3课时共2课时教学目标1、利用配方法解数字系数的一般一元二次方程。2、进一步理解配方法的解题思路。重点用配方法解一元二次方程的思路；给方程配方。难点用配方法解一元二次方程的思路；给方程配方。教具准备施教时间2006年月日教学过程：一、复习：1、什么叫配方法？2、怎样配方？方程两边同加上一次项系数一半的平方。3、解方程：（1）x2＋4x＋3＝0 （2）x2―4x＋2＝0 二、新授：1、例题讲析：例3：解方程：3x2＋8x―3＝0 分析：将二次项系数化为1后，用配方法解此方程。解：两边都除以3，得：x2＋EQ\F(8,3)x―1＝0移项，得：x2＋EQ\F(8,3)x＝1配方，得：x2＋EQ\F(8,3)x＋(EQ\F(4,3))2＝1＋(EQ\F(4,3))2 （方程两边都加上一次项系数一半的平方）(x＋EQ\F(4,3))2＝(EQ\F(5,3))2即：x＋EQ\F(4,3)＝±EQ\F(5,3) 所以x1＝EQ\F(1,3)，x2＝―32、用配方法解一元二次方程的步骤：（1）把二次项系数化为1；（2）移项，方程的一边为二次项和一次项，另一边为常数项。（3）方程两边同时加上一次项系数一半的平方。（4）用直接开平方法求出方程的根。3、做一做：一小球以15m/s的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度h（m）与时间t（s）满足关系：h＝15t―5t2小球何时能达到10m高？三、巩固：练习：P51，随堂练习：1P33，习题1、2四、小结：1、用配方法解一元二次方程的步骤。（1）化二次项系数为1；（2）移项；（3）配方：（4）求根。五、作业：作业本板书设计§配方法（2）配方法定义复习题例3配方法的步骤教学反思____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

南苑中学教师备课笔记课题§配方法（三）第3课时共3课时教学目标1、经历用方程解决实际问题的过程，体会一元二次方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效数学模型，培养学生数学应用的意识和能力；2、进一步掌握用配方法解题的技能。重点列一元二次方程解方程。难点列一元二次方程解方程。教具准备施教时间2006年月日教学过程：一、复习：1、配方：（1）x2―3x＋＝(x―)2 （2）x2―5x＋＝(x―)2 2、用配方法解一元二次方程的步骤是什么？3、用配方法解下列一元二次方程？（1）3x2―1＝2x (2)x2―5x＋4＝0二、引入课题：我们已经学习了用配方法解一元二次方程，在生产生活中常遇到一些问题，需要用一元二次方程来解答，请同学们将课本翻到54页，阅读课本，并思考：三、出示思考题：1、如图所示：（1）设花园四周小路的宽度均为xm，可列怎样的一元二次方程？(16－2x)(12－2x)＝EQ\F(1,2)×16×12（2）一元二次方程的解是什么？x1＝2，x2＝12（3）这两个解都合要求吗？为什么？x1＝2合要求，x2＝12不合要求，因荒地的宽为12m，小路的宽不可能为12m，它必须小于荒地宽的一半。2、设花园四角的扇形半径均为xm，可列怎样的一元二次方程？x2π＝EQ\F(1,2)×12×16（2）一元二次方程的解是什么？X1＝EQ\R(,\F(96,π))≈X2≈－（3）符合条件的解是多少？X1＝3、你还有其他设计方案吗？请设计出来与同伴交流。（1）花园为菱形？（2）花园为圆形（3）花园为三角形？（4）花园为梯形四、练习：P56随堂练习P56，习题，1、2五、小结：1、本节内容的设计方案不只一种，只要符合条件即可。2、设计方案时，关键是列一元二次方程。3、一元二次方程的解一般有两个，要根据实际情况舍去不合题意的解。六、作业：作业本板书设计§配方法（三）配方法解一元二次方程的步骤复习题思考题随堂练习习题教学反思____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

南苑中学教师备课笔记课题公式法第1课时共1课时教学目标1．一元二次方程的求根公式的推导；2．会用求根公式解一元二次方程。重点一元二次方程的求根公式．难点求根公式的条件：b2－4ac0。教具准备施教时间2006年月日教学过程：一、复习1、用配方法解一元二次方程的步骤有哪些？2、用配方法解方程：x2－7x－18＝0 二、新授：1、推导求根公式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)解：方程两边都作以a，得x2＋EQ\F(b,a)x＋EQ\F(c,a)＝0移项，得：x2＋EQ\F(b,a)x＝－EQ\F(c,a)配方，得： x2＋EQ\F(b,a)x＋(EQ\F(b,2a))2＝－EQ\F(c,a)＋(EQ\F(b,2a))2即：（x＋EQ\F(b,2a)）2＝EQ\F(b2－4ac,4a2)∵a≠0，所以4a2>0当b2－4ac≥0时，得x＋EQ\F(b,2a)＝±EQ\R(,EQ\F(b2－4ac,4a2))＝±EQ\F(\r(,b2－4ac),2a)∴x＝EQ\F(－b±\r(,b2－4ac),2a)一般地，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，当b2－4ac≥0时，它的根是x＝EQ\F(－b±\r(,b2－4ac),2a)注意：当b2－4ac<0时，一元二次方程无实数根。2、公式法：利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。3、例题讲析：例：解方程：x2―7x―18＝0解：这里a＝1，b＝―7，c＝―18∵b2－4ac＝(―7)2―4×1×(―18)＝121>0∴x＝EQ\F(7±\r(,121),2×1)，即：x1＝9，x2＝―2例：解方程：2x2＋7x＝4解：移项，得2x2＋7x―4＝0这里，a＝1，b＝7，c＝―4∵b2－4ac＝72―4×1×(―4)＝81>0∴x＝EQ\F(―7±\r(,81),2×2)＝EQ\F(―7±9,4)即:x1＝EQ\F(1,2) ， x2＝―4三、巩固练习：P58随堂练习：1、⑴⑶2习题1、2、⑵⑶四、小结：（1）求根公式：x＝EQ\F(－b±\r(,b2－4ac),2a)（b2－4ac≥0）（2）利用求根公式解一元二次方程的步骤五、作业：作业本板书设计公式法复习求根公式的推导练习小结作业教学反思____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

南苑中学教师备课笔记课题分解因式法第2课时共1课时教学目标1．能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法。体会解决问题方法的多样性。2．会用分解因式（提公因式法、公式法）解某些简单的数字系数的一元二次方程。重点掌握分解因式法解一元二次方程。难点灵活运用分解因式法解一元二次方程。教具准备施教时间2006年月日教学过程：一、回顾交流1、用两种不同的方法解下列一元二次方程。－2x－1＝0(x＋1)2－25(x＋1)＋10＝0观察比较：一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，这个数是几？你是怎样求出来的？分析小颖、小明、小亮的解法：小颖：用公式法解正确；小明：两边约去x，是非同解变形，结果丢掉一根，错误。小亮：利用“如果ab＝0，那么a＝0或b＝0”来求解，正确。分解因式法：利用分解因式来解一元二次方程的方法叫分解因式法。因式分解法的理论根据是：如果两个因式的积等于零，那么这两个因式至少有一个等于零．如：若(x+2)(x-3)＝0，那么x+2＝0或．x-3＝0；反之，若x+2＝0或x-3＝0，则一定有(x+2)(x-3)＝0．这就是说，解方程(x+2)(x-3)=0就相当于解方程x+2＝0或x-3=0．二、范例学习例：解下列方程。＝4x－2＝x(x－2)想一想你能用几种方法解方程x2－4＝0，(x＋1)2－25＝0。三、随堂练习随堂练习1、2P62习题1、2[拓展题]分解因式法解方程：x3－4x2＝0。四、课堂总结利用因式分解法解一元二次方程，能否分解是关键，因此，要熟练掌握因式分解的知识，通过提高因式分解的能力，来提高用分解因式法解方程的能力，在使用因式分解法时，先考虑有无公因式，如果没有再考虑公式法。五、布置作业补充：用分解因式法解：（1）(2x-5)2-2x+5=0；（2）4(2x-1)2＝9(x+4)2；（3）(x-1)(x+3)＝12．板书设计分解因式法复习例题想一想练习小结作业教学反思____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

南苑中学教师备课笔记课题为什么是（1）第2课时共2课时教学目标1、掌握黄金分割中黄金比的来历；2、经历分析具体问题中的数量关系，建立方程模型并解决问题的过程，认识方程模型的重要性。重点列一元一次方程解应用题，依题意列一元二次方程难点列一元一次方程解应用题，依题意列一元二次方程教具准备施教时间2006年月日教学过程：一、复习1、解方程：（1）x2＋2x＋1＝0 (2)x2＋x－1＝02、什么叫黄金分割？黄金比是多少？（）3、哪些一元二次方程可用分解因式法来求解？（方程一边为零，另一边可分解为两个一次因式）二、新授1、黄金比的来历如图，如果EQ\F(AC,AB)＝EQ\F(CB,AC)，那么点C叫做线段AB的黄金分割点。由EQ\F(AC,AB)＝EQ\F(CB,AC)，得AC2＝AB·CB设AB＝1，AC＝x，则CB＝1－x∴x2＝1×(1－x)即：x2＋x－1＝0解这个方程，得x1＝EQ\F(―1+\r(,5),2)，x2＝EQ\F(―1―\r(,5),2)（不合题意，舍去）所以：黄金比EQ\F(AC,AB)＝EQ\F(―1+\r(,5),2)≈注意：黄金比的准确数为EQ\F(\r(,5)―1,2)，近似数为.上面我们应用一元二次方程解决了求黄金比的问题，其实，很多实际问题都可以应用一元二次方程来解决。2、例题讲析：例1：P64题略（幻灯片）（1）小岛D和小岛F相距多少海里？（2）已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处，那么相遇时补给船航行了多少海里？（结果精确到海里）解：（1）连接DF，则DF⊥BC，∵AB⊥BC，AB＝BC＝200海里∴AC＝EQ\R(,2)AB＝200EQ\R(,2)海里，∠C＝45°∴CD＝EQ\F(1,2)AC＝100EQ\R(,2)海里 DF＝CF，EQ\R(,2)DF＝CD∴DF＝CF＝EQ\F(\r(,2),2)CD＝EQ\F(\r(,2),2)×100EQ\R(,2)＝100海里所以，小岛D和小岛F相距100海里。（2）设相遇时补给船航行了x海里，那么DE＝x海里，AB＋BE＝2x海里EF＝AB＋BC―（AB＋BE）―CF＝（300―2x）海里在Rt△DEF中，根据勾股定理可得方程：x2＝1002＋(300－2x)2整理得，3x2－1200x＋100000＝0解这个方程，得：x1＝200－EQ\F(100\r(,6),3)≈x2＝200＋EQ\F(100\r(,6),3)(不合题意，舍去)所以，相遇时，补给船大约航行了海里。三、巩固：练习，P65随堂练习：1P66习题：1、2四、小结：列方程解应用题的三个重要环节：1、整体地，系统地审清问题；2、把握问题中的等量关系；3、正确求解方程并检验解的合理性。五、作业：作业本板书设计为什么是（1）复习题关于黄金分割的计算例1列方程解应用题的三个重要环节教学反思____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

南苑中学教师备课笔记课题为什么是（2）第1课时共1课时教学目标1、分析具体问题中的数量关系，列出一元二次方程；2、通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力。重点列一元一次方程解应用题，找出等量关系列方程。难点列一元一次方程解应用题，找出等量关系列方程。教具准备施教时间2006年月日教学过程：一、复习：1、黄金分割中的黄金比是多少？ [准确数为EQ\F(\r(,5)―1,2)，近似数为]2、列方程解应用题的三个重要环节是什么？3、列方程的关键是什么？（找等量关系）4