2023北京朝阳区高一（上）期末数学试卷及答案

2023北京朝阳高一（上）期末数学2023.1（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共50分）和非选择题（共100分）两部分考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题共50分）一、选择题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.若ab，则下列各式一定成立的是（）11A.a2b2B.ac2bc2C.a3b3D.2ab22.若角满足costan0，则角是（A.第一象限角B.第二象限角3.下列函数中，在其定义域上单调递增且值域为R的是（）C.第三象限角D.第四象限角）1xy=2xB.y=(x−3C.y=x+y|x|D.A.ππA==π+,kZB==2π,kZ4.设集合，集合，则A与B的关系为（）22=AB=D.A.ABB.AC.BABIL=1015.声强级1（单位：dB）出公式给出，其中I为声强（单位：W/m12210交谈时的声强约为10−6W/m2，则声强级为（B.）A.6dBC.60dBD.600dB6.a0，，则a+b2是ab1的（b0“”“”）A.充分不必要条件C.充分必要条件B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件3xx−1+17.已知函数f(x)=，有如下四个结论：3①函数f(x)在其定义域内单调递减；()②函数f(x)值域为；③函数f(x)的图象是中心对称图形；④方程f(x)=−x+1有且只有一个实根．其中所有正确结论序号是（）A.①②B.C.D.③④8.已知角cos，则sin的取值范围是（为第一象限角，且sin）2222222−,0−,1A.B.0,C.D.22229.某厂以x千克小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求1x2x1003x+1−元，要使生产千克该产品获得的利润最大，该厂应选取的生产速度是（）A.2千克小时C.4千克小时B.3千克小时D.6千克小时10.定义在R上的偶函数y=f(x)满足f(x−=−f(x)，且在上单调递增，2a=f,b=f2),c=f，则，，c的大小关系是（）A.abcC.bcaB.acbD.cba第二部分（非选择题共100分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．A={x−2x，集合B=x0x1，则AB=____________．已知集合321π2π,π，若sin(π+)=，则=__________；sin+=__________．12.已知角2且b1，ab=1，则(ab)的最小值为.13.设a1__________222−f(−x)=f(x)14.设函数f(x)的定义域为I，如果xI，都有xI，且，已知函数f(x)的最大值为2，则f(x)可以是___________．1y=x,y=,y=x2,y=x,y=exg(x)和，15.已知下列五个函数：，从中选出两个函数分别记为f(x)xF(x)=f(x)+g(x)F(x)=______________．若的图象如图所示，则x,xa3()=fx16.已知函数，给出以下四个结论：x,xa①存在实数a，函数f(x)无最小值；②对任意实数，函数f(x)都有零点；③当a0时，函数f(x)a(0,+)上单调递增；f(x)=m④对任意，都存在实数，使方程m有3个不同的实根．其中所有正确结论的序号是________________．三、解答题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．3417.已知角−,P的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点．55（1sin+和的值；πtan−（2的值．4f(x)=2ax−ax−aR．218.已知函数（1a=1时，解不等式f(x)0；（2）若命题“xR，不等式f(x)0恒成立是假命题，求实数的取值范围．aπx+3sin2x+a,xf(x)=2cos219.已知函数．从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为2已知．（1a的值；（2f(x)最小值，以及取得最小值时x的值．条件①：f(x)的最大值为6；π条件②：f(x)的零点为．2注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．()f(x)=2x+1−mx,mR20.已知函数．12（1m=0时，解不等式f(x)1；（2）若函数f(x)是偶函数，求m的值；y=f(x)y=b（3m=−1时，若函数的图象与直线有公共点，求实数的取值范围．b)21.设全集U=Ntn，若集合A满足如下三个性，集合A是U真子集．设正整数Rt)质，则称A为U的①tA；子集：②a,b③a,b，若abU，则abA；，若a+bU，则abA．+（1n6时，判断=A=是否为U的R子集，说明理由；2A子集，求证：；（2n7时，若A为U的R(7)（3n=23时，若A为U的R(7)子集，求集合A．参考答案第一部分（选择题共50分）一、选择题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1.【答案】C【解析】【分析】结合特殊值以及幂函数的性质确定正确答案.11【详解】AD选项，a=b=−1，则ab，但a2=b2=2，所以AD选项错误.,ab2B选项，若c0，则ac2=bc2，所以B选项错误.y=x3在R上递增，所以a3b3，所以C选项正确.C选项，若ab，由于故选：C2.【答案】B【解析】【分析】根据三角函数四个象限符号确定.x【详解】又为第二，三象限角或者轴负半轴上的角；为第二，四象限角所以为第二象限角.故选：B3.【答案】B【解析】【分析】分别求出每个选项的单调性和值域即可得出答案.【详解】对于A，y=2x在定义域上单调递增且值域为()，故不正确；A对于B，y=(x−3在定义域上单调递增值域为RB正确；1(−)(+)上单调递增，在(−)()上单调递减，,1,1,0,0,1y=x+对于C，由双勾函数的图象知，故C不正确；在x)，故D不正确.的值域为y|x|对于D，故选：B.4.【答案】A【解析】【分析】根据终边相同的角的知识确定正确答案.πA==π+,kZy【详解】由于集合，所以集合A表示终边落在轴上的角的集合；2πB==2π,kZy由于集合，所以集合B表示终边落在轴上的角的集合；2所以AB=故选：A5.【答案】C【解析】【分析】根据对数运算求得正确答案.10−6L=101=10lg10=60dB.6【详解】依题意10故选：C6.【答案】A【解析】【分析】通过基本不等式可得充分性成立，举出反例说明必要性不成立.【详解】当a0，b0时，a+b2ab，则当a+b2时，有2abab2，解得+ab1，充分性成立；15当a=2，b=时，满足ab1，但此时a+b=2，必要性不成立，22综上所述，“a+b2”是“ab1”的充分不必要条件.故选：A.7.【答案】D【解析】【分析】根据函数的单调性、值域、对称性以及方程的根等知识确定正确答案.33xx−1+13x+1−22【详解】f(x)=的定义域为R，f(x)==1−x，3x+13+1()fx所以在R上递增，①错误.1+12+12+12由于3x+11,01，0−2−−11−1，3x3x3x3+1x()fx(−).所以的值域为−−xx−+113−xx(−x)==fx，=−()由于f113+()fx所以是奇函数，图象关于原点对称，③正确.2+12f(x)=−x+1得1−=−x+x−=0由3x3+1x2()=−()在gxgxxR上单调递增，构造函数，3+1x21+121()=−=−1g1()=−=0，g00142所以()在R上存在唯一零点，也即方程f(x)=−x+1有且只有一个实根，④正确.gx所以正确结论的序号是③④.故选：D8.【答案】A【解析】【分析】先确定的取值范围，由此求得sin的取值范围.22【详解】由于角为第一象限角，π2π2π+,kZ所以所以，2πππ+,kZ，245π由于sincos，所以lπ+πlkπ+,lZ，22242−sin0.所以22故选：A9.【答案】C【解析】1002x1fx=千克该产品获得的利润为()1003x+1−t=xx最大值即可.【详解】由题意得，生产100千克该产品获得的利润为21002x1211()=fx1003x+1−=+−=10000−2++3，1x，100003xxxx2x2111251，()=−2++)=−20000t−−，故当=时，()ft令t=t1，则ft10000tt3tx4164最大，此时x故选：C=4.10.A【解析】【分析】由f(x−=−f(x)得f(x−2)=f(x)，则()的周期为，结合函数的奇偶性，即可化简，2afxb，c，最后根据单调性比较大小.【详解】由f(x−=−f(x)得f(x−2)=−f(x−=f(x)，∴()的周期为，2fx20232121=f−=f12又()为偶函数，则a=f=f1012−c=f(2022)=f(0)，fx，21f(x)在上单调递增，∴cba.，0∵2故选：A第二部分（非选择题共100分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．−x2x1【答案】【解析】【分析】根据并集的定义运算即可.，【详解】因为A={x−2x，B=x0x1ABx2x1=−，所以−x2x1故答案为：7π7312.【答案】①.##π②.−662【解析】π【分析】由条件结合诱导公式求sin，根据特殊角三角函数值求出，2+即可.12321127π+=)−sin=5πsin=−π,π，所以=【详解】因为sin(π，所以，故，又，26ππ7πππ3所以sin+=sin+=sin=sin2π−=−sin=−，22633327π3故答案为：，−.6213.【答案】2【解析】log2(ab)a+b，再由基本不等式以及条件中的22【分析】对利用对数运算公式，得到ab=1，得到答案.22【详解】因为a1且b1，log2a0且log2b0所以ab=a+b，且()ab=122而222所以由基本不等式可得()=+2ab=2abab，22222a=ba=b=2时，等号成立.当且仅当，即22【点睛】本题考查对数运算公式，基本不等式求和的最小值，属于简单题.()=14.【答案】fx2x（答案不唯一）【解析】()fx【分析】根据函数的奇偶性和最值写出符合题意的.【详解】依题意可知()是偶函数，且最大值为2，fx()=fx2x所以符合题意.()=fx2x故答案为：（答案不唯一）115.【答案】+exx【解析】F(x)F(x)的解析式.【分析】观察图象确定函数的定义域和奇偶性和特殊点，由此确定()()1，F(x)=f(x)+g(x)fx,gxyx,y==,yx,yx,ye=2==x【详解】由已知，x1观察图象可得的定义域为()，所以或中必有一个函数为，且另一个函F(x),0g(x)y=f(x)x11y=xF(x)F(x)+xF(x)=+x或2数不可能为，又的图象不关于原点对称，所以，所以xx1F(x)=+ex，x111F(x)=+x2F(=+1=0F(x)与函数图象矛盾，若，则x1F(x)=+ex所以，x1+ex.故答案为：x16.【答案】①②④【解析】【分析】结合分段函数的性质对四个结论进行分析，从而确定正确答案.3−1x,x()=【详解】①，当a=−1时，fx，x,x−1()的图象如下图所示，由图可知，()没有最小值，①正确.fxfx,xa3xfx=②，由于()，x,xa当0时，f(0)=03=0；当a0时，()==，f000所以对任意实数a，函数f(x)都有零点，②正确.1212x,x312a=fx()=③当时，，x,x131112(0,+)上不是单调递增函数，③错误.f(x)在==2，即函数82,xa3x④，当0a1时，()fx=，x,xa()当0x1时，x3−x=xx2−1xx，3()fx画出的图象如下图所示，f(x)=m由图可知存在实数m，使方程有3个不同的实根，④正确.综上所述，正确结论的序号是①②④.故答案为：①②④三、解答题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．1242517.）sin+=,sin=−5（2）1731【解析】）根据三角函数的定义求出sin,cos，再根据二倍角的正弦公式即可求得；（2cos2tan解.【小问1详解】435sin=,=−解：由题意得，5143552425sin+cos=,sin=2−=−所以；5【小问2详解】7解：2=2−sin2=−，sin24tan==所以所以，27247−1π417tan−==31.2471+1−,118.）2（2）a−8或a0【解析】fx0）根据一元二次不等式的解法求得不等式()的解集.（2）结合开口方向以及判别式求得的取值范围a.【小问1详解】当a=1时，f(x)=2x2()即−x−1，fx02x2−x−10，1(+)(−)2x1x1−0x1，解得212所以不等式f(x)0−,1的解集为.【小问2详解】fx=2ax−ax−10恒成立，当()2a00=a2+8a0，当且即−8a0，()=−fx10当a=0时,8a0成立，所以命题“xR，不等式f(x)0恒成立”是假命题所以a的取值范围为：a−8或a0．19.f(x)=2cosx+3sin2x+a,2解：=cos2x+3sin2x+a+1,=2sin(2x+)+a+1.6π若选①当x时，f(x)的最大值为6；2π（Ⅰ）由x，所以2x+,.26662x+=所以当时，取到最大值.f(x)6622+a+1=6,即所以a=3.（Ⅱ）f(x)=2sin(2x+)+4.6因为2x+,，66672x+=所以当时，66即x=时，f(x)取最小值3.2π2π若选②,当x时，f(x)的零点为．2π（Ⅰ）由题意f()=0，即2sin(2+)+a+1=0.2261所以2sin(+)+a+1=0，所以2(−)+a+1=0.62所以a=0.（Ⅱ）f(x)=2sin(2x+)+1.6662x+,2x+=因为，所以当时，666即x=时，f(x)取最小值0.2(),020.）12−（2）（3）(,0)【解析】()2x+12）f(x)1即，结合对数、指数函数单调性求解即可；1212f(x)=f(−x)（2）f(x)是偶函数，则，结合对数运算法则化简求值即可12xf(x)=1+(),0（3在Rb12值范围.【小问1详解】()2x+11=2x−,0)(当m=0时，f(x)1即，即2+12，解得；x1212【小问2详解】函数f(x)是偶函数，则()()+1+2x+−12=−xf(x)=f(−x)，即，即12122+1x12=−x=2x1=2，即，2−x+1221∵xR，故m【小问3详解】=−；22x+112x()()f(x)2=x++=1x2x++12−x==log1+xR.，当m=−1时，12121212x122112y=1+f(x)1=+(),0∵为减函数，故x在R上单调递增，且值域为122x∵函数的图象与直线有公共点，故实数b的取值范围为(,0).y=f(x)y=bA=不是U的R子集；21.）（2）证明见解析；=7,14,21A3）集合【解析】a=b=2ab=2A不满足性质②可得A不是U的R）取，由子集；R(7)2A（2）通过反证法，分别假设1A，2（1R(7)子集的性质，可得出4,5,6AA的情况，由不满足子集的性质，可证明出；，2，7A3A，4A，5A，6A满足件即可.每个数值是否满足条【小问1详解】当n6时，=U=2,3,4,5,6}，A=，5，a=b=2ab=2U，但ab=2A，不满足性质②，取，则所以A=不是U的R子集.【小问2详