2022年全国卷Ⅰ高考理科数学模拟试题含答案解析 (三)

2022年全国卷I高考理科数学模拟试题

学校:姓名：班级：___________考号：

第I卷（选择题）

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评卷人得分

------------------一、选择题（共12题，每题5分，共60分）

1.已知复数z=a+bi(i为虚数单位)，集合A={-l,0,l,2},B={-2,-l,l}.若a,bGADB,则|z

等于

A.1B.V2C.2D.4

对应的向量分别是""A二二若ZZ2=Z],则Z的共朝复数Z=

A.£+3-i

2222

C.--L+3iD.-A3i

2222

3.已知f(x+2)是偶函数,f(x)在(-8,2]上单调递减,n0)=0,则f(2-3x)>0的解集是

A.(-8,_2)u(2,+8)B.(52)

33

C.(二2J)D.(-oo,-2)U(2,+oo)

*333*3

4.“直线m与平面a内无数条直线平行”是“直线m〃平面a”的

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

5.已知函数f(x)的定义域为R,且满足:①对任意的x,,x2e[-5,-l](X1NxJ,都有

f(i2)-f(n)->o；②y=f(x+1)是奇函数;③y=f(X-1)为偶函数.则

B-h

A.f(2021)>f(22)>f(3)B.f(22)>f(3)>f(2021)

C.f(3)>f(22)>f(2021)D.f(22)>f(2021)>f(3)

6.《易•系辞上》有“河出图，洛出书”之说,河图、洛书是中华文化、阴阳五行术数之源,

其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中，如图,

其中白圆点表示阳数，阳数皆为奇数，黑圆点表示阴数,阴数皆为偶数.若从这10个数中任取

2个数，则取出的2个数中至少有1个偶数的概率为

长

单单长

个位位

个单

工工单

移个个

移三x

平平工移

左移<

左平z

向向平

}02左左<

9{线6线1y

N为2曲向向.

.曲2

值.6线1D

D.DD的的线

小是到曲曲

最的到的

得得的

的确把到到是

=)正把

B1再再得得的

+论，，把确

U2把x

A)结变变再再正是

}，，<

则11列不不系积

,,+变变y

}1-/下标标关<面

{4则不不

49A(|！4，坐坐小z表

d贝）纵标标.

x..C3纵，大C的

,C,。，坐坐锥

x)x倍倍列

2T2（纵纵下棱

=}2as22^九

y|,(o的的则三

y14c的的,该

{,==来来来

=0y:来则

B,S,原原原ey，

,l2原

}-SC为为为为=<示

Z,z

2线变变变,x所

G-为2变22

x{曲标标标5<图

29,和6,标gz

0n如

项.x坐坐坐坐ol.

W.BB

1B3n横横横横图

-ni=

2ns的的的的y视

X前=2,

ny点c点C点点r三

x的:i

{}}线各线各各n的

=2nc各2I

A,a上曲上曲上C上c锥

1{线=

,1111z棱

合1列C到C到C线C线x

-曲三

集,数得线得线曲线曲知<

2知线，，已y某

知-知曲曲曲到曲到

已{已.度度得得.<.

己8将长将长将，将，x

..0....1.2

7.A9.A1A位B位C度D度1A1

C.2+2^5D.5

第II卷（非选择题）

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评卷人得分

------------------二、填空题（共4题，每题5分，共20分）

13.函数f（x）=2si1sin（xY）cos二的最小正周期是.

232-----------------

14.已知A={2,5,8},B={2,8,10},则AUB的子集个数为______.

15.已知a=Ecosxdx,则二项式（x+展开式中的常数项是.

16.已知抛物线x2=2py（p>0）的焦点为F.P是抛物线上不同于顶点的任意一点，过点P作抛

物线的切线1与x轴交于点Q,则FQ"•而N.

评卷人得分

------------------三、解答题（共7题，共70分）

17.已知函数f(x)=sin2x-cos2x+2j3sinxcosx.

(1)求f(x)的最小正周期；

⑵若在AABC中f(A)+f(B)=0,ZC=n_,求L的值.

6b

18.如图,三棱锥P-ABC中,PAL平面ABC,AB_LBC,平面a经过棱PC的中点E,与棱PB.AC

分别交于点F,D,且BC〃平面a,PA〃平面a.

⑴证明:AB_L平面a；

⑵若AB=BC=PA=2,点M在直线EF上,求平面MAC与平面PBC所成锐二面角的余弦值的最大

值.

19.产品质量是企业的生命线，企业非常重视产品生产线的质量，为提高产品质量,某企业引

进了生产同一种产品的A.B两条生产线，为比较两条生产线生产的产品的质量，从A.B生产

线生产的产品中各随机抽取了100件产品进行检测，将产品等级结果和频数制成了如下的统

(1)填写下面列联表,并根据列联表判断是否有95%的把握认为产品是否为一级品与生产线

।有关.

一级品非一级品

A生产线

B生产线

⑵以样本估计总体,若生产一件一级品可盈利100元,生产一件二级品可盈利50元,生产一

件三级品亏损20元.

①分别估计A.B生产线生产一件产品的平均利润；

②你认为哪条生产线的利润较为稳定？说明理由.

附:K~nfiViVMF।其中n=a+b+c+d.

P(K22%)0.150.100.050.01

%2.0722.7063.8416.635

20.已知公差不为0的等差数列｛aj的前n项和为S…S’=70,且

a1,a?a6成等比数列。(1)求数列｛aj的通项公式；

(2)设4=勺旦数列｛bj的最小项是第几项，并求出该项的值。

21.已知函数f(x)=(ax2+bx+c)e.满足f(0)=l,且曲线y=f(x)在x=l处的切线方程为y+e=0.

⑴求a,b,c的值；

⑵设函数g(x)=(3x2-6x+m)e「m(mGN),若f(x)Ng(x)在(0,+8)上恒成立，求m的最大值.

请考生在第22、23三题中任选二道做答，注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按

所做的第一个题目计分。

22.以坐标原点0为极点，以X轴正半轴为极轴，建立极坐标系，

己知在直角坐标系XOy中，曲线C的参数方程为｛“~:篇s\e为参数)，在极坐标系(与直

角坐标系XOy取相同的长度单位,且以原点0为极点，以X轴正半轴为极轴)中，直线1的方程为

psin(e9=2々.

4

(1)求曲线C在极坐标系中的方程；

(2)求直线1被曲线C截得的弦长。

23.设正项数列｛aj的前n项和S。满足2，Sn=an1.

(1)求数列｛a。｝的通项公式；一

(2)设\==，数列｛bj的前n项和为I；,求T；的取值范围.

参考答案

1.B

【解析】本题考查复数模的运算、集合交集等基础知识，意在考查考生处理交汇性问题的能

力、运算求解能力.因为AAB={T,1},所以a,bG{-l,1},所以|z|=Va2+b2=J』故选B.

【备注】无

2.A

【解析】本题主要考查复数的运算、共输复数的概念、复数的几何意义，熟练掌握复数的几

何意义及基本运算是解题的关键.

由题意知z,=l+2i,z尸1+i,故z(T+i)=l+2i,即z=-l±3*=％=二+当，

12-l+f61+Dd+n22222

故选A.

【备注】无

3.D

【解析】本题考查函数性质的应用、不等式的求解，考查数形结合思想及化归与转化思想的

应用.

通过f(x+2)图象的对称性分析出f(x)图象的对称性，从而得到f(x)的单调性，数形结合，列

出不等式，即可得解.

因为f(x+2)是偶函数，所以f(x+2)的图象关于y轴对称，所以f(x)的图象关于直线x=2对

称.又f(x)在(-8,2］上单调递减，所以f(x)在［2,+8)上单调递增，因为f(0)=0,所以

f(4)=0,所以由f(2-3x)>0可得,2-3x8或2-3x>4,解得xe(—00,--)口巳+8).故选D.

33

【备注】【素养落地】试题以解不等式为载体，引导考生通过函数性质分析出函数的大致图

象,考查数学抽象、数学运算等核心素养.

【方法点拨】解有关抽象函数的不等式，常需研究函数图象的对称性、函数的单调性，常用

到数形结合思想.

4.C

【解析】本题主要考查充分条件与必要条件、直线与平面的位置关系，考查了空间想象能力

与逻辑推理能力.

由“直线m与平面a内无数条直线平行”不能推出“直线m//平面a"，因为直线1可能在平

面a内，故充分性不成立，由“直线1与平面a平行”，利用直线和平面平行的定义可得“直

线m与平面a内无数条直线平行”，故必要性成立，故”直线m与平面a内无数条直线平行”是

“直线m〃平面a”的必要非充分条件，故选C.

【备注】无

5.D

【解析】由对任意的xrx2Nx?),都取田一但)>0,可得f(x)在［-5,-1］上单调

递增.由y=f(x+1)是奇函数，可得f(-x+D=-f(x+1),从而f(x)=-f(2-x)①.由y=f(x-1)

为偶函数,可得f(-x-l)=f(x-1),从而f(x)=f(-x-2)②.由①②得f(-x-2)=-f(2-x),设

t=2-x,则f(t)=-f(t-4)=f(t-8),得f(x)=f(x+8),所以函数f(x)的周期为8,所以f(2

021)=f(8X252+5)=f(5)=f(-3),f(3)=f(3-8)=f(-5),f(22)=f(8X3-2)=f(-2),因为-5〈-

3<-2,f(x)在［-5,-1］上单调递增，所以f(-5)<f(-3)<f(-2),即f(3)<f(2021)<f(22),故选

D.

【备注】无

6.D

【解析】试题引导考生在综合的情境中，运用数学思维进行分析、发现情境中的数学关系，

提出并解决数学问题，体现了数学应用学科素养.

解法一由题可知,取出的2个数中至少有1个是偶数的概率P=C，C，C2S55.=1

C29

10

解法二设取出的2个数中至少有I个是偶数为事件A,贝蛆表示取出的2个数都不是偶数,

由图易知P(A)T7则P(A)=1-P(A)=1/=工

5999

【备注】无

7.B

【解析】【试题情境】本题是基础性题目，属于课程学习情境，具体是数学运算学习情境.

【关键能力】本题考查运算求解能力.

集合A={x|x2-lW0,xGZ}={x・lWxWl,xeZ}={-l,0,l},B={y'y=2x,x£A}={-2,0,2},因此

AUB={-2,-1,0,1,2},故选B.

【备注】无

8.A

【解析】本题主要考查函数的图象与性质、对数函数.

函数f(x)=ln(|x|-l)是偶函数，所以选项C,D不正确;

当x>l时，函窥f(x)=ln(|x|-1)是增函数，所以B不正确;A正确；

故选:A.

【备注】无

9.C

【解析】VS"(a-1),.,.S-(a-1)(n>2),a=S-S=-(a-a)(n，2),；.a=4a

n3nn-13n-11nnT3n「1nn-

(n22),又a=S二4(aT),=4,{a}是首项为4,公比为4的等比数列，，a=4„,(4n

11

iii3。

2+1)(坨4)=(皿1)(31)=2+皿2+2=4,当且仅当n=2时取“二”,故(4产+1)眸1)的最

a,164n164na„

小值舟n4,选C."

【备注】无

10.D

【解析】本题主要考查诱导公式、三角函数的图象变换，考查的学科素养是理性思维.

解法一曲线C:y=cos(2x-")=sinPr+(2x-II)]=sin(2xW),(易错警示：易忽略函数名称不一

23236

致,直接进行图象变换)

将曲线C:y=sinx上各点的横坐标变为原来的\纵坐标不变，得到曲线y=sin2x,再把曲线

12

y=sin2x向左平才1个单位长度，(易错警示：三角函数f(x)图象的左、右平移变换实际上

12

是对解析式中X自身发生的变换，与X前面的系数无关)

得到曲线y=sin[2(x4)]=sin(2x+吟，即曲线C2,故选D.

解法二曲线C:y=sinx=cos®J)=cos(xd)；(易错警示：易忽略函数名称不一致,直接进

122

行图象变换)

将曲线C:y=cos(xd)上各点的横坐标变为原来的■!,纵坐标不变，得到曲线y=cos(2xd),再

1222

把曲线y=cos(2x」)向左平移^个单位长度，得到曲线y=cos[2(x用)-j=cos(2xu),即曲

2121223

线C2,故选D.

【备注】无

11.D

【解析】无

【备注】无

12.C

【解析】本题考查三视图的视图以及空间几何体的表面积计算问题，属于中档题.据三视图

OAJMABC,AC=AB,E为BC的中点,EA=2,EB=EC=1,OA=1,可得AE1BC,BC1OA,所以BC_L面

AEO,AC=J5,0E=75,所以S^ABC=-x2x2=2,S=S=1x75x1=^,SABC0

=1x2>e<5=~/5.故三棱锥的表丽为2+2V5.

7备注】无

13.兀

【解析】本题考查三角恒等变换,考查运算求解能力，考查数学运算的核心素养.

先化简函数f(x),然后求函数f(x)的最小正周期._

f(x)=2sinWsin(xT)cos^=sinxsin(xE=isinx•(sinx-^3cosx)=1sin2x-^sinxcos

2.32322.2

国;e2x=」区in(2x+19,故函数f(x)的最小正周期是n.

44426

【备注】无

14.16

【解析】本题主要考查集合的并运算、子集的概念,考查考生的运算求解能力.

因为A={2,5,8},B={2,8,10},故AUB={2,5,8,10},所以AUB的子集个数为276.

【备注】无

15.240

【解析】无

【备注】无

16.0

【解析】设点P的坐标为设。,y0)(x0W0),则x滑点y。.

对y之求导，得y'4丁所以过点p的切线方程为y-yo^r(x-xo),

2pPP

令y=0,得x=xv皿=%■，即Q(2U,o),

__。X022

所;(/％-y0)=C^P,-y0)

又F(O,9，所以而，(3,-P),

222

所以FQ"•而一二10,-y)-(XT-P)一2。二0.

【备注】无222

17.⑴T=n

⑵虫吧

【解析】无

【备注】无

18.解：⑴因为BC〃平面a,BCu平面PBC,平面a。平面PBC=EF,

所以BC〃EF,且F为棱PB的中点.

因为BC_LAB,所以EF1AB.

同理，因为PA〃平面a,PAu平面PAC,平面a。平面PAC=DE,

所以PA〃DE.

因为PAL平面ABC,所以PA1AB,所以DE±AB,

又DEnEF=E,所以AB_L平面DEF,即ABL平面a.

⑵如图,以点B为坐标原点,分别以BA,I5C所在直线为x,y轴，过点B且与AP平行的直线为

z轴建立空间直角坐标系，

则B(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),

P(2,0,2),E(1,1,1),F(1,O,1),

TC=(-2,2,O),FC=(0,2,0),丽=(2,0,2),

设M(l,t,1),贝以fL=(-i,t,1),设平面MAC的法向量为m=(X],yfz),

则｛m2?=-2气+2兀-0,令x「i,则y『i,

mAM--4+ty^+z1=0,

展取而牝i,配的涉悯置%限电-y?浏幄.

则｛n°_BC~2%-°，则，y:，o,，令x,=i,则z,=T,

-BP=2r2+2z?=Q,2

所以n=(l,0,-1)为平面PBC的一个法向量.

设平面MAC与平面PBC所成的锐二面角为0,

aMi

贝Ucos0=|cos<m,n>=1I=—=.

MINIJ"I2(1・t)2xj2JH2t3X42

当t=0时,cos0=0;

当tWO时，cos0

喈不Xy/2J3(f并2

当且仅当L=L即t=3时，3a-1」)2±?取得最小值2,£；05o取得最大值，最大值为」_=叵

t3t333Ax五2

_3

所以平面MAC与平面PBC所成锐二面角的余弦值的最大值为盘.

2

【解析】无

【备注】二面角的求解主要有两种方法:一是几何法,根据几何体的结构特征与线面位置关

系作出二面角的平面角，然后转化为解三角形问题求解;二是向量法，直接利用二面角的两个

半平面的法向量的夹角表示所求.前者的计算量小，但在确定二面角的平面角的过程中需要

利用线面位置关系进行逻辑推理;后者计算量大，但逻辑推理的过程很少.

19.解：(1)根据己知数据可得列联表如下:

一级品非一级品

A生产线2080

B生产线3565

上039^211处5.643>3,841,

55x145x100x100

参照临界值表可知,有95%的把握认为产品是否为一级品与生产线有关.

(2)①A牛产线牛产一件产品的平均利润为1°°X2060X50-20x20=46(元)，

100

B生产线生产一件产品的平均利润为皿355a皿皿琥-50(元).

ino

②A生产线生产的产品利润的方差D(A)Ux[(100-46MX20+(50-46)2X60+(-20-

100

46)2X20]=l464,

B生产线生产的产品利润的方差D(B)=>-X[(100-50)2x35+(50-50)2X40+(-20-

100

50)2X25]=2100.

因为D(A)〈D(B),所以A生产线的利润更为稳定.

【解析】(1)根据频数分布直方图得出列联表，计算K\与临界值表相比较,即可得到结

论.(2)①利用平均数的计算公式分别求出A,B两条生产线生产一件产品的平均利润;②计算

方差,得出两条生产线利润的稳定性.

【备注】无

7.+21rf=7。

I

20.⑴设公差短，则有

X+3«f=lQ[.=1但=10

即[&+仃=.血+对==D.=3w-2

（舍）

&=沙十出一期

⑵2

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