2021届山西省运城市高中联合体高考数学模拟试卷(理科)(5月份)(含答案解析)

2021届山西省运城市高中联合体高考数学模拟试卷（理科）（5月份）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1.已知集合4={3,5,6,8},B={4,5,7,8},则AnB等于（）

A.{5}B.{5,8}

C.{3,7,8}D.{3,4,5,6,7,8}

2.已知角a的终边经过点（s讥15。,一（?0515。），贝！Jcos2a的值为（）

A.三+更B.C.-D.0

24244

3,下列募函数中过点（0,0）,（1,1）的奇函数是（）

A.y—x~2B.y=x'C.y=x'D.y=*

4.甲、乙两名运动员，在某项测试中的8次成绩如茎叶图所示，石；石分别表示甲、乙两名运动员

这项测试成绩的平均数，Si，S2分别表示甲、乙两名运动员这项测试成绩的标准差，则有（）

甲乙

98078

655413557

21223

A.>x^,s1<s2B.~x[=x^,s1<s2C.x[=x^,s1>s2D.<x^,s1>s2

5.某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，i斓赘峥/

如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是

（）~0\~~^销布砺件

A.310元B.300元C.390元D.280元

6.己知双曲线C差―9=1，则C的渐近线方程为（）

A.y=±^xB.y=±gxC.y=±|xD.y=±|x

7.已知实数a>0,6>1满足。+6=5,则；+六的最小值为（）

A3+2鱼B3+4衣Q3+2班D3+4«

・4466

8.把边长为1的正方形48C。沿对角线BD折起，形成的三棱锥4-BCD的正视图与俯视图如图所

示，则其侧视图的面积为（）

正视图俯视图

A.立B.-C.在D.-

2244

9.设f(x)=|simrx|,则f(l)+/(2)+f(3)+“・+f(2010)=()

A.0B.V3C.-V3D.1

10.四棱锥P-4BCD的底面ABC。为正方形，P41底面ABCQ,若4B=2,PA=1,则此四棱锥

的外接球的体积为()

A.367rB.16兀C.yD.y

11.如图，在RtA/BC中，AB=4,AC=3,/.CAB=90°,以点8为一个

焦点作一个椭圆，使这个椭圆的另一个焦点在4C边上，且这个椭圆过

A、C两点，则椭圆的离心率为()‘八

A-T

B2

・3

C2Vs

.5

—%2_|_2%,—2<%<o

,I'n/“)，若g(x)=|/(x)|-ax-a的图象与x轴有3个不同

{0<x-2

的交点，则实数a的取值范围是()

A.(*)B.(0,-C.呼/D.殍以)

二、单空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.复数i2(l-2i)的共规复数是.

14.已知数列5}的通项公式=+则。3+%=______.

(2n-2(九为偶数)

1002100

15.若(1+2x)=a0+at(x-1)+a2(x—l)4---卜Qioo(%-I),则出+a2T-----卜

@ioo=---------■

16.点尸是抛物线y2=4式上的动点，点。为圆式2+(y-4)2=1上的动点，若P点到y轴的距离为

d,则|PQ|+d的最小值为.

三、解答题(本大题共7小题，共82.0分)

17.在△48C中，a,b,c分别是内角A,B,C的对边，已知asin4—bsin8=(a—c)s讥C.

(1)求5的大小；

(2)若cos4=1,a=6,求△ABC的面积S.

18.如图，多面体ABCDE中,CD_L平面ABC,BE1平面ABC,AB=

BC,BE="D,

2

点M为AC中点.

(I)求证：EM〃平面ABC；

(II)求证：EMI平面AC£＞；

(HI)设P为线段BC上一点，且CP=2PB,试在线段AE上确定一点

。，使得

PQ〃平面ACD,并求出界的值.

19.某师范大学地理学院决定从“位优秀毕业生(包括x位女学生，3位男学生)中选派2位学生到某

贫困山区的一所中学担任第三批顶岗实习教师，每一位学生被选派的机会是相同的.

(1)若选派的2位学生中恰有1位女学生的概率为|,试求出〃与x的值；

(2)在(1)的条件下，记X为选派的2位学生中女学生的人数，写出X的分布列.

20.已知椭圆C；捺+《=1(。＞匕＞0)的离心率为/A,B为其左、右顶点，M为椭圆上任意一点

(除去A,B),,^MB=

(I)求椭圆C的方程；

(n)过右焦点尸2的直线交曲线C于尸，。两点，又以PQ为边的平行四边形PQRS交曲线C于凡S

两点，求△2(?/?面积的最大值，并求此时直线PQ的方程.

21.已知函数/'(x)=与-+x.

(I)若曲线y=f(x)在点(1/(1))处的切线经过点(0,1),求实数a的值；

(II)求证：当a>0时，函数f(x)在定义域上的极小值大于极大值.

22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为［：上+W为参数)•

(1)求曲线c的普通方程；

(2)在以。为极点，x正半轴为极轴的极坐标系中，直线/方程为&psin《—。)+3=°，已知直线/

与曲线C相交于A、8两点，求|4B|.

23.(本小题满分12分)已知函数翼哧=sin(3X+0)(3>0,0<<p<力为偶函数,其图象上相邻的

两个最低点间的距离为27r.

(I)求洞域j的解析式；

(n)将函数.翼海图像向右平移㈣个单位得到函数教:礴的图像，若就隹顾，阑且‘颈博求

或碱学一寇额的值.

【答案与解析】

1.答案：B

解析：解:集合4={3,5,6,解B={4,5,7,8},则4nB={5,8}.

故选：B.

直接利用交集的运算法则化简求解即可.

本题考查集合的解集的求法，考查计算能力.

2.答案：B

解析：解：角a的终边经过点P(sinl5o,-cosl5。)，即P(cos(-75o),sin(-75。))

由三角函数的定义可得，cos2a=cos2(—75°)=[cos(45°+30°)]2=：—

故选：B.

由三角函数的定义可先求sina,然后代入求解.

本题主要考查了三角函数的定义，两角和与差的三角函数，属于中档题.

3.答案：D

解析：解：由寻函数的性质，可知当累指数大于。时，图象过点(0,0),(1,1),

故排除A与C,再由函数为奇函数，排除B,选D

故选：D.

由幕函数的性质利用排除法得答案.

本题考查事函数的性质，是基础题.

4.答案：B

解析：解：由茎叶图可看出甲的平均数是8+9+】4+15+:+16+21+22=⑸

O

乙的平均数是7+8+色+15+15+17+22+23=15,

8

两组数据的平均数相等.

甲的方差是三(49+36+1+0+0+1+36+49)=21.5

乙的方差是g(64+49+4+0+0+4+49+64)=32.25

8

•••甲的标准差小于乙的标准差，

故选：B.

根据茎叶图看出两组数据，先求出两组数据的平均数，再求出两组数据的方差，比较两组数据的方

差的大小就可以得到两组数据的标准差的大小.

本题考查两组数据的平均数和方差的意义，是一个基础题，解题时注意平均数是反映数据的平均水

平，而标准差反映波动的大小，波动越小数据越稳定.

5.答案：B

解析：解：由图象知，该一次函数过(1,800),(2,1300),i斓一蚣2/

可求得解析式y=500x+300(x20),当x=0时，y=300.•

故选：B.F-5―外fl而丽件

由函数图象可得函数的解析式，再由x=0时的)，值，即营销人员没有销售量时的收入.

本题考查由一次函数图象求函数的解析式，属于基础题.

6.答案：D

解析：解：根据双曲线方程得，a=3b=2

...双曲线次一些=1的渐近线方程为：y=±J久

943

故选：D.

由双曲线方程得到a=3b=2,根据焦点在x轴上的双曲线的渐进方程y=±£x,代入即可求出结

果.

本题考查了双曲线的简单性质，熟练掌握渐进方程的公式可以提高做题速度，属于基础题.

7.答案：A

解析：解：因为Q>0,力>1满足。+匕=5,

则2+=(-+六)[Q+(b-1)]x

J

ab-1ab-1L4

=汨++三]?；(3+2夜)，

4Lab-lJ4、/

当且仅当亚二2=/时取等号，

ab-1

故选：A.

利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出

本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题.

8.答案：D

解析：解：根据这两个视图可以推知折起后二面角C-BD-A为直二面角，其侧视图是一个两直角

边长为匹的直角三角形，其面积为"

24

故选：D.

由题意确定几何体的形状，二面角C-BD-4为直二面角，依据数据，求出侧视图面积.

本题考查三视图求面积，考查计算能力，逻辑思维能力，是基础题.

9.答案：A

解析:解:设/(%)=\sinnx\,

由y=sinirx可知其周期7=2

那么/(x)=|sin?rx|的周期为1.

当x=1时，可得：/(I)=\sinn\=0.

则/(I)+/(2)+/(3)+…+f(2010)=0

故选A

根据/(x)=|sirurx|,可知周期为1.当％=1时，可得：/(I)=0,即可求解.

本题主要考查了周期性函数的周期和计算.求出f(x)=|s讥兀x|的周期是解题的关键.属于基础题.

10.答案：C

解析：解：把四棱锥P—ABCD补成一个长方体，可知：此长方体的对角线为四棱锥P-ABCD的外

接球的直径2R.

•••(2/?)2=22+22+12=9,

R=~,

2

••・此四棱锥的外接球的体积为疑•(|)3=y.

故选：C.

把四棱锥P-4BCD补成一个长方体，可知：此长方体的对角线为四棱锥P-ABCD的外接球的直径

2R.利用勾股定理得出R,即可得出此四棱锥的外接球的体积.

本题考查了四棱锥的性质、长方体的外接球，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

11.答案：A

解析：解：如图，记另一个焦点为，则△ABD也是直角三角形.

•••AB=4,AC=3,乙CAB=90°,

:.BC=7AB2+A/=、42+32=5,

由椭圆定义可知：4B+AD=CB+CD="AB+BC+C4)="3+4+5)=6,

二椭圆的长轴长2a=6,a=3,

设椭圆的焦距为2c,即BD=2c,

由椭圆定义可知：AD=2a—AB=6—4=2,

又•••4。=y/BD2-AB2=7（2c）2-42,

•••2=J(2c)2_42,解得c=V5»

二离心率e=工=—>

a3

故选：A.

通过记另一个焦点为D,易得△48。也是直角三角形，利用勾股定理及椭圆定义可得a=3、c=遮,

进而可得结论.

本题考查求椭圆的离心率，注意解题方法的积累，属于中档题.

12.答案：C

解析：解：g(x)=|/(%)|-ax-a的图象与x轴有3个不同的交点,

则|/(x)|=a(x+1)有3个不同的实根，

即有函数y=|/(尤)|与y=a(x+1)的图象有3个交点，

作出函数y=|f(x)|与y=a(x+1)的图象，

当直线经过点(2,)3)两图象有3个交点，即有a=~

当直线与y=ln(x+1)(0<x<2)相切时，两图象有2个交点.

设切点为(m,n),则切线的斜率为士=a,

又九=a(m+1),n=ln(m+1).

解得a=%m=e—1<2,

则图象与X轴有3个不同的交点，即有。的取值范围是［等

故选C

由题意可得|/(x)|=«(%+1)有3个不同的实根，即有函数y=|/(x)|与y=a(x+1)的图象有3个交

点，作出函数y==aQ+l)的图象，考虑直线经过点(2,m3)和y=ln(x+1)(0<xW2)

相切的情况，求得m运用导数的几何意义，即可得到a,进而通过图象观察即可得到所求范围.

本题考查分段函数的运用，主要考查分段函数的图象，以及函数方程的转化，运用数形结合的思想

方法是解题的关键.

13.答案：—1—21

解析：解：由尸(1—2。=—lx(l—2i)=—l+2i,

则复数步(1—2i)的共轨复数是：一1—2i.

故答案为：-1-21.

直接由复数代数形式的乘法运算化简i2(l-2i).则答案可求.

本题考查了复数代数形式的乘法运算，是基础题.

14.答案：20

3n+l(n为奇数)

解析：解：数列｛%｝的通项公式与=

2n-2(九为偶数)

则=3x3+1=10.

a6=2x6—2=10.

则CZ3+a6=20.

故答案为：20.

利用数列的通项公式，转化求解即可.

本题考查数列的通项公式的应用，数列的项的求法，是基本知识的考查.

15.答案：5100-3100

解析：解：在(1+2x)i°°=a。+%(x—1)+。2(*-I)。T---Faioo(x-1)1°°中,

令x=2,得(1+2x2)10°=劭+a1+a?+…+%oo=510°,

100

令尤=1,得(1+2)i0°=a0=3,

100100

则由+a2H¥a100=5-3.

故答案为：5100-3100.

用赋值法，分别令x=2和x=l,即可求得对应结果.

本题考查了利用赋值法求二项式展开式系数和的应用问题，是基础题.

16.答案：V17-2

解析：解：抛物线y2=4x的焦点为F(l,0),准线方程为％=-1,

圆/+(y—4)2=1的圆心为C(0,4),

根据抛物线的定义可知点尸到准线的距离等于点尸到焦点的距离，

故d=\PF\-1,

进而推断出当P,Q,尸三点共线时P到点。的距离与点P到抛物线的焦点距离之和最小为：

\PQ\+\PF\=|FC|-r=V17-1.

故|PQ|+d=\PQ\+\PF\-1=V17-2.

故答案为：V17-2.

先根据抛物线方程求得焦点坐标，根据圆的方程求得圆心坐标，根据抛物线的定义可知P到准线的

距离等于点P到焦点的距离，进而问题转化为求点P到点。的距离与点P到抛物线的焦点距离之和

的最小值，根据图象可知当尸，Q,F三点共线时P到点。的距离与点尸到抛物线的焦点距离之和的

最小，为圆心到焦点F的距离减去圆的半径.

本题主要考查了抛物线的应用.考查了学生转化和化归，数形结合等数学思想.

17.答案：解：（1）因为AABC中，a,b,c分别是内角A,B,C的对边,

已知asinA-bsinB=(a—c)sinC.

利用正弦定理：a2—b2=ac—c2

整理得：a2+c2-b2=ac,

故：COSB=M±=3

2ac2

由于：0<B<兀,

故：

1

(2)因为cos4=a=6,

则：sinA=

由正弦定理：急=亮

解得：b=丝妙=辿

sinA4

rhzp•厂•“ID、2V21.1V32V2+V3

由于：smC=smG4+B)=丁K'5+三'3=-^

则：ShABC=^absinC

19V62V2+V3

=-x6x---x

246

_366+27企

8

解析：本题考查三角函数关系式的恒等变换，正弦定理和余弦定理的应用，三角形面积公式的应用,

属于中档题.

（1）直接利用正弦定理和余弦定理求出8的大小.

（2）利用三角函数关系式的恒等变换，正，余弦定理和三角形的面积公式求出结果.

18.答案：证明：（1）设47的中点为「，连结BF,MF.

在A4CD中，点M为中点，

所以FM“CD,FM=^CD...（1分）

又因为CD1平面ABC,BE_L平面ABC,

A

1

所以BE〃CO,BE=；CD,…（2分）

所以BE〃尸M,BE=FM...（3分）

所以四边形BEMF为平行四边形....（4分）

所以ME〃BF,MEABC,BFu平面ABC,

故£M〃平面ABC....（5分）

（口）在A/IBC中，AB=BC,尸为AC的中点，所以BF_L4C….（7分）

又因为CD1平面ABC,8Fu平面ABC,

所以DC1BF….（8分）

因为CDnac=C,

所以BF1平面AC£>

由（I）知ME〃BF,

所以EML平面4DC….（9分）

（HI）过点P作PN〃4C交AB于M过点N作QN〃BE交AE于Q,

连结P。，则由比例关系易得EQ=[AE....（10分）

所以PN//ZC,PNACD,ACu平面4CD.…（11分）

所以PN〃平面ACD

因为CD，平面ABC,BE，平面ABC,

所以CD〃BE.

故”〃皿

又因为QNC平面4CD,CDu平面AC。,‘…（）

由CCnZC=C,CD,ACc5F®ADC.

所以平面PQN〃平面ACD,

由PQu平面PQN.

故PQ〃平面ACD.

所以竿=：.（14分）

解析：（I）设AC的中点为尸，连结BEMF.可证得四边形为平行四边形，进而ME〃BF,结

合线面平行的判定定理，可得EM〃平面ABC；

(n)在A/IBC中，AB=BC,F为AC的中点，所以BF_L4C,再由线面垂直的定义，结合CDJ■平面

ABC,可得。C1BF,进而由线面垂直的判定定理，得到8尸，平面ACZ),结合线面垂直的第二判定

定理得到EM1平面ACD；

(HI)过点P作PN〃4C交A8于N,过点N作QN〃BE交AE于Q,连结P0,此时PQ〃平面ACD,

由比例关系易得EQ=^4E.

本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，直线平面垂直的判定，考查转化能力和空间想像能力，

难度中档.

19.答案：解：(1)若选派的2位学生中恰有1位女学生的概率为|,而从"位优秀毕业生中选派2位

学生担任第三批顶岗实习教师的总方法：髭=竺暮，2位学生中恰有1位女学生的方法数为

Ci-3C|=(n-3)x3.

-3(n-3)3

依题意可得：京E-

2

化简得彦—Un+30=0,解得%=5,摩=6.

当九=5时，%=5—3=2；当n=6时，％=6—3=3.

故(2)当｛:二］时，X可能的取值为0,1,2,

X=0表示只选派2位男生，这时P(X=0)=萼=。，

X=1表示选派1位男生与1位女生，这时P(X=1)=罢=|,

Cg5

X=2表示只选派2位女生，这时P(x=2)=笺=义.

C510

X的分布列为

X012

331

P

10510

当:时，X可能的取值为0,1,2X=0表示只选派2位男生，这时P(x=0)=等=：,

X=1表示选派1位男生与1位女生，这时P(X=1)=哭=%

c65

X=2表示只选派2位女生，这时P(X=2)=警="

75

X的分布列为

X012

131

P

555

解析：(1)分类判断总方法：%=华旦2位学生中恰有I位女学生的方法数为C，3ct运用概

率公式求解n即可.判断得出两种类型《二;或｛；:

(2)X为选派的2位学生中女学生的人数，得出X可能的取值为0,1,2,分别求解概率，列出分布

列即可.

本题考察了概率在实际问题中的应用，分类讨论，考察了学生的阅读能力，计算化简能力，属于中

档题.

20.答案：解：（I）设MQo/o）,kMA•kMB=-\,

.-0-0_羽_b23

••---------------------------------------

22

x0-ax0+aXQ-aa4’

z£_1

a一2a=2

联立方程组《一竺=_三

解得b=A/3»

2

a4c=1

仪2=fe2+C2

••・椭圆C的方程为亡+”=1；

43

(n)易知SMQR=2SAPOQ,设P(勿,yi),<?(x2,y2)>直线PQ：x=my+1,

将直线PQ的方程代入椭圆C的方程，化简并整理可得(3m2+4川+6叩-9=0,

由韦达定理，可得力+必=一奈±，y，2=一互看毒，

•••lyi-为1=+，2)2-4yly2=嘿

SHPQR=2SZPOQ=2x-|0F211yl—y?I=3m?+4'

______c_6t_6

设1=1巾2+21),贝聆“QR=藐不二获中

又y=3t+｝在［1,+8)上单调递增，故3t3+1=4,

则SAPQRQ=|,当t=l,即m=0时等号.

PQR面积的最大值为|,此时直线PQ的方程为x=1.

解析：(I)依题意，建立关于a，b,c的方程组，求出a,b,c的值即可;

(n)易知SAPQR=2SAPOQ,设P(%,yi),Q(x2,y2),直线PQ：x=my+l,将其与椭圆方程联立，

求出两根之和及两根之积，可表示出面积，然后利用函数的单调性即可求得最大值及此时直

线方程.

本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系，考查转化思想，函数思想，考查运算求解能力，

属于中档题.

21.答案：解：(I)由函数/(%)=9+x.

得：/(乃=竺号些，

所以：/(I)=ae+1,f'(l)=l,

所以切线方程为：y—(ae+1)=(%-1),

由斜率相等得：

1—U

得：ae=1,即：a=-e；

(口)当&>0时，令g(x)=ae*(x-1)+/,则g<x)=x(ae"+2),

g'(x)及g(x)随X的变化情况如下表：

X(-8,0)0(0,+8)

g'(x)—0+

g(x)1极小值T

①下面研究/(X)在(0,+8)上的极值情况：

因力g(0)=-a<0,g(l)=1>0,

所以存在实数为%e(0,1),使得g(%i)=0,

且x6(0/1)时，g(x)<0,即/l'(%)<0,/(%)在(0,%1)上递减，

x€(%i，+8)时,g(x)>0,即：f'(x)>0,/(x)在(%1，+8)上递增;

所以在(0,+8)上f(X)的极小值为/•(%),无极大值.

②下面考查f(X)在(-8,0)上的极值情况：

当0<a<l时，g(-1)=1>0,

当a>1时，g(-l+lni)=(Ini)2+(；-2)ln：+1-j,

令ln/=t,则：t<0,令h(t)=I?+g-2)t+1-j

因为九(t)在(-8,0)上递减;

所以h(t)>以0)=1—j>0,即：5(-1+InJ)>o；

综上，因为g(0)=-a<0,

所以存在实数小6(-8,0),g(X2)=0,

且xe(*2,0)时,9(%