2022年强化训练冀教版八年级数学下册第二十二章四边形难点解析试题（含答案解析）

八年级数学下册第二十二章四边形难点解析

考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第I［卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新

的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、小明想判断家里的门框是否为矩形，他应该（）

A.测量三个角是否都是直角B.测量对角线是否互相平分

C.测量两组对边是否分别相等D.测量一组对角是否是直角

2、在锐角△?1阿中，N刈C=60°,BN、CV为高，P为比的中点，连接MN、MP、NP,则结论：①朋

=MP；②4%AB=AM-.AC；③BN=2AN；④当/48C=60。MN//BC,一定正确的有（）

A.①②③B.②③④C.①②④D.①④

3、如图，已知长方形ABC。，R,P分别是DC,BC上的点，E,尸分别是AP,心的中点，当点

户在BC上从点8向点C移动，而点R不动时，那么下列结论成立的是（)

A.线段E尸的长逐渐增大B.线段所的长逐渐减少

C.线段E尸的长不变D.线段族的长先增大后变小

4、下列命题不正确的是（）

A.三边对应相等的两三角形全等

B.若a=6,则/=从

C.有一组对边平行、另一组对边相等的四边形是平行四边形

D.AABC的三边为a、b、c,若则AMC是直角三角形.

5、如图，任意四边形4609中，E,F,G,〃分别是各边上的点，对于四边形反F,G,〃的形状，小

聪进行了探索，下列结论错误的是（）

A.E,F,G,〃是各边中点.且力建政时，四边形幽H是菱形

B.E,F,G,〃是各边中点.且Id劭时，四边形必切是矩形

C.E,F,G,〃不是各边中点.四边形七%■〃可以是平行四边形

D.E,F,G,〃不是各边中点.四边形朗仍不可能是菱形

6、已知：在△IB。中，AOBC,悬D、£分别是边力8、4C的中点，延长比'至点月使得上血,那么

四边形一定是（）

A.菱形B.矩形C.直角梯形D.等腰梯形

7、如图，平行四边形4%也/宛庐120°,AB=2,BOA.,点£是直线比'上的点，点尸是直线切上

的点，连接〃AE,防点济川分别是4R跖的中点.连接恻则的V的最小值为()

A.1B.6-1C.—D.2->/3

2

8、如图，已知菱形如a'的顶点0(0,0),庾2,2),菱形的对角线的交于点"若将菱形物比•绕点

。逆时针旋转，每秒旋转45°,从如图所示位置起，经过60秒时，菱形的对角线的交点〃的坐标为

()

A.(1,1)B.(-1,-1)C.(-1,1)D.(1,-1)

9、如图，在正方形46(力中，对角线〃1与加相交于点。，E为BC上一点,CE=6,/为龙的中

点.若如的长为1,则卯的周长为()

A.14B.16C.18D.12

10、如图，为了测量一块不规则绿地6,。两点间的距离，可以在绿地的一侧选定一点4,然后测量

出46,〃'的中点〃E,如果测量出"£两点间的距离是8m,那么绿地6,。两点间的距离是

（）

A.4mB.8mC.16mD.20m

第n卷（非选择题70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、如图，在长方形被初中，Afi=10,BC=8,P为AD上一点、,将aABP沿6。翻折至△EBP,PE与

切相交于点。，且OE=QD,则"＞的长为_____.

2、如图，在平行四边形四⑦中，对角线IC,劭交于点0,ACVAB,AB=45,且4G劭=2：3,那

么47的长为—.

3、从八边形的一个顶点引出的对角线有____条.

4、如图，四边形46依AJKC.比7〃分别是以放△力比1的三边为一边的正方形，过点C作46的垂

线，交4?于点〃交所于点G,连接4I、CF.欧几里得编纂的《原本》中收录了用该图形证明勾股

定理的方法.关于该图形的下面四个结论：

①△ABI/2FBC；

②正方形以7〃的面积的面积；

③矩形6FG〃的面积的面积；

④协+初+彷胪.

正确的有.（填序号）

5、如图所示，ABCO是长方形地面，长43=16m,宽AD=9m,中间竖有一堵砖墙高MZV=1m.一只

蚂蚱从B点爬到。点，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走_____m的路程.

D

AB

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、如图，在QABCZ）中，ZBCD=45°,BC±BD,E、尸分别为46、切边上两点，FB平■分2EFC.

⑴如图1,若AE=2,EF=5,求，的长；

⑵如图2,若G为EF上一点、，且NGBF=NEFD,求证：FG+2FD=AB.

2、（1）【发现证明】

如图1,在正方形A8C。中，点E,F分别是BC,CO边上的动点，且“4F=45。，求证：

EF=DF+3E.小明发现，当把AABE绕点A顺时针旋转90°至AAOG,使48与AZ）重合时能够证

明，请你给出证明过程.

（2）【类比引申】

①如图2,在正方形ABCD中，如果点E,b分别是C8,0c延长线上的动点，且ZE4F=45。，则

（1）中的结论还成立吗？若不成立，请写出EF,BE,。尸之间的数量关系（不要求证明）

②如图3,如果点E,F分别是8C,CO延长线上的动点，且㈤F=45。，则EF,BE,。尸之间的

数量关系是_____（不要求证明）

（3）【联想拓展】如图1,若正方形ABC。的边长为6,AE=3yl5,求A厂的长.

3、如图，在四边形力及力中，AB=AD,AD//BC

(1)在图中，用尺规作线段助的垂直平分线外分别交劭、BC于点、E、F.(保留作图痕迹，不写作

法)

(2)连接分证明四边形4W为菱形.

4、如图所示，在每个小正方形的边长均为1的网格中，线段的端点4、6均在小正方形的顶点

上.

(1)在图中画出等腰且△/a'为钝角三角形，点C在小正方形顶点上；

(2)在(1)的条件下确定点。后，再画出矩形况阳D,£都在小正方形顶点上，且矩形比您的周长

为16,直接写出创的长为.

5、已知：线段加

求作：矩形4戊为，使矩形宽力6=3血对角线

-参考答案-

一、单选题

1、A

【解析】

【分析】

根据矩形的判定方法解题.

【详解】

解：A、•••三个角都是直角的四边形是矩形，

二选项A符合题意；

B、•••对角线互相平分的四边形是平行四边形，

:•选项B不符合题意，

C、两组对边分别相等的四边形是平行四边形，

二选项C不符合题意；

D、・•・一组对角是直角的四边形不是矩形，

'''选项D不符合题意；

故选：A.

【点睛】

本题考查矩形的判定方法，是重要考点，掌握相关知识是解题关键.

2、C

【解析】

【分析】

利用直角三角形斜边上的中线的性质即可判定①正确；利用含30度角的直角三角形的性质即可判定

②正确，由勾股定理即可判定③错误；由等边三角形的判定及性质、三角形中位线定理即可判定④正

确.

【详解】

YCM、8V分别是高

:ACMB、45忆均是直角三角形

:点尸是a'的中点

:.PMBV分别是两个直角三角形斜边火上的中线

PM=PN=-BC

2

故①正确

VZBAC=60°

，/力阱/力。沪90°-/为年30°

：.AB=2AN,AO2AM

：.AN：AB=AM：A<=\：2

即②正确

在应△4孙中，由勾股定理得：BN=ylAB2-AN2=yJ(2AN)2-AN2=43AN

故③错误

当//吐60。时，△48C是等边三角形

,：CMVAB,BNLAC

：.M.N分别是4?、力。的中点

...腑是△48C的中位线

J.MN//BC

故④正确

即正确的结论有①②④

故选：C

【点睛】

本题考查了直角三角形斜边上中线的性质，含30度角的直角三角形的性质，等边三角形的判定及性

质，勾股定理，三角形中位线定理等知识，掌握这些知识并正确运用是解题的关键.

3,C

【解析】

【分析】

因为不动，所以力斤不变.根据三角形中位线定理可得跖/凡因此线段庚的长不变.

【详解】

解：连接AR.

­,£>F分别是笛、町的中点，

/为AAPR的中位线，

：.EF=^AR,为定值.

••・线段EF的长不改变.

故选：C.

【点睛】

本题考查了三角形的中位线定理，只要三角形的边4?不变，则对应的中位线的长度就不变.

4、C

【解析】

【分析】

根据三角形全等的判定定理（SSS定理）、乘方运算法则、平行四边形的判定、勾股定理的逆定理逐

项判断即可得.

【详解】

解：A、三边对应相等的两三角形全等，此命题正确，不符题意；

B、若”=人则/=从，此命题正确，不符题意；

C、有一组对边平行、另一组对边相等的四边形有可能是等腰梯形，不一定是平行四边形，所以此项

命题不正确，符合题意；

D、的三边为。、b、c,若从.?，即/=/+氏则AABC是直角三角形，此命题正确，

不符题意；

故选：C.

【点睛】

本题考查了三角形全等的判定定理、乘方运算法则、平行四边形的判定、勾股定理的逆定理，熟练掌

握各定理是解题关键.

5、D

【解析】

【分析】

当E,F,G,"为各边中点，EH//BD//FG,EF//AC//GH,EH=；BD=FG,EF=；AC=GH,四边形

EFGH是平行四边形；A中A俏BD,则EF=FG,平行四边形EFG”为菱形，进而可判断正误；B中

ACLBD,则EFLRJ,平行四边形EFG”为矩形，进而可判断正误；E,F,G,〃不是各边中点，C中

若四点位置满足E"〃尸GEF//GH,EH=FG,EF=GH,则可知四边形印烟可以是平行四边形，进

而可判断正误；D中若四点位置满足E"〃尸G,EF//GH,EH=FG=EF=GH,则可知四边形防组可以

是菱形，进而可判断正误.

【详解】

解：如图，连接AC、BD当E,F,G,"为各边中点时，，可知£W、EF、FG、GH分别为

△ABD、AABC、ABCD、SCD的中位线

//

：.EH//BD//FG,EF//AC//GH,EH=^BD=FG,EF==AC=GH

22

，四边形EFG”是平行四边形

A中则EF=FG,平行四边形EFG〃为菱形；正确，不符合题意；

B中故，则EFJLFG,平行四边形EFGH为矩形；正确，不符合题意；

C中&F,G,〃不是各边中点，若四点位置满足E”〃下G,EF//GH,EH=FG,EF=GH,则可知四边

形£/&//可以是平行四边形；正确，不符合题意；

D中若四点位置满足E"〃尸G,EF//GH,EH=FG=EF=GH,则可知四边形£7诩可以是菱形；错误，

符合题意；

故选D.

【点睛】

本题考查了平行四边形、菱形、矩形的判定，中位线等知识.解题的关键在于熟练掌握特殊平行四边

形的判定.

6、B

【解析】

【分析】

先证明四边形l%71•是平行四边形，再证明｛年M即可.

【详解】

解：；后是力C中点，

:.A&EC,

.：D5EF,

・・・四边形是平行四边形,

■:A2DB,A&EC,

：.DE=-BC,

2

:.D2BC,

•：C归CB,

J.AODF,

...四边形/以乃是矩形；

故选：B.

【点睛】

本题考查了矩形的判定、等腰三角形的性质、平行四边形的判定、三角形中位线定理；熟记对角线相

等的平行四边形是矩形是解决问题的关键.

7、C

【解析】

【分析】

先证明A"为的中位线，根据中位线性质得出可得力£最小时，助V最小，根据点后

在直线小上，根据点到直线的距离最短得出4必回时/£最短，根据在平行四边形46切中，

/比场120°,求出N/除180°-/以力=180°-120°=60°,利用三角形内角和/的氏180°-2ABE-

/4除180°-60°-90°=30°,利用30°直角三角形性质得出小；A8=；x2=l,再利用勾股定理

求出AE即可.

【详解】

解：•.•"为必中点，N为超中点，

.•"济为"的中位线，

2

.•/£最小时，物V最小，

,点6在直线BC上,

根据点A到直线勿的距离最短，

.•"红比时熊最短，

,在平行四边形465中，/比氏120°,

：.ZABC+ZBCD=18O0,

.♦.N/於180°-NBCA1800-120°=60°,

的田180°-ZABE-ZAEB=180°-60°-90°=30°,

在必中，N班后30°,A&=2,

：.BE=-AB=-x2=\,

22

根据勾股定理AE/小后SJA^-BE2=a2-『=73)

：.MN=-AE=-y[3.

22

故选择C.

本题考查三角形中位线性质，平行四边形性质，点到直线距离，三角形内角和，30°直角三角形性

质，勾股定理，掌握三角形中位线性质，平行四边形性质，点到直线距离，三角形内角和，30°直角

三角形性质，勾股定理是解题关键.

8、B

【解析】

【分析】

分别过点。和点B作DELx轴于点E,作环口轴于点F,根据菱形的性质以及中位线的性质求得

点。的坐标，进而计算旋转的度数，7.5周，进而根据中心对称求得点旋转后的〃坐标

【详解】

如图，分别过点。和点B作轴于点E,作轴于点『，

DE//BF,

1•四边形。U3C为菱形,

.,.点。为08的中点，

.•.点£为。尸的中点，

ADE=-BF,0E^-0F,

22

8(2,2),

/.O(1,D；

由题意知菱形04BC绕点。逆时针旋转度数为：45。、60=2700。，

/.菱形OABC绕点0逆时针旋转270004-360°=7.5周，

点D绕点。逆时针旋转7.5周，

旋转60秒时点D的坐标为(-1,-1).

故选B

【点睛】

根据菱形的性质及中点的坐标公式可得点〃坐标，再根据旋转的性质可得旋转后点。的坐标，熟练掌

握菱形的性质及中点的坐标公式、中心对称的性质是解题的关键.

9、B

【解析】

【分析】

根据中位线的性质及直角三角形斜边上中线的性质可得：ED=2CF=2EF,结合图形得出ACEF的周

长为£F+EC+FC=ED+EC,再由中位线的性质得出3E=2OF=2,在心支即中，利用勾股定理确

定即=10,即可得出结论.

【详解】

解：在正方形4%力中，BO=DO,BC=CD,ZBCD=90°,

•./为龙的中点，。为他的中点,

，OF为GBE的中位线且少为Rt❷CDE斜边上的中线，

ED=2CF=2EF,

：.dCEF的周长为EF+EC+FC=ED+EC,

"：OF=\,

：.BE=2OF=2,

,:CE=6,

：.BC=BE+CE=2+6=8,

：.CD=BC=8,

在HACED中，ZECD=90°,CD=8,CE=6,

:•ED=y/CDr+CE2=\ls2+62=1()，

tCEF的周长为EF+EC+FC=ED+EC=\0+6=16,

故选:B.

【点晴】

题目主要考查正方形的性质，三角形中位线的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质等，理解

题意，熟练掌握运用各个知识点是解题关键.

10、C

【解析】

【分析】

根据三角形中位线定理即可求出BC.

【详解】

解：•.•AABC中，D、E分别是A3、AC的中点，

二.DE为三角形ABC的中位线,

:.DE=-BC,

2

.•.BC=2OE=2x8=16m,

故选：C.

【点睛】

本题考查的是三角形中位线定理的应用，解题的关键是掌握三角形的中位线等于第三边的一半.

二、填空题

,20-2

1、一##6一

33

【解析】

【分析】

证明AODP=AOEG(4SA),根据全等三角形的性质得到OP=OG,PD=GE,根据翻折变换的性质用工

表示出尸OP,根据勾股定理列出方程，解方程即可.

【详解】

解：•••四边形ABC。是矩形，

:.ZD=ZA=ZC=90°,AD=BC=6,CD=AB=10,

由折叠的性质可知AAfiP=AEBP,

:.EP=AP,ZE=ZA=90°,BE=AB=\G,

在AQDP和AQEG中，

,NDOP=NEOG

•OD=OE,

ZD=ZE

:.SODP^^OEG(ASA),

:.OP=OG,PD=GE,

:.DG=EP,

设AP=EP=x,则尸£>=GE=8-x,DG=x,

CG=10-x,BG=10-(8-x)=2+x,

根据勾股定理得：BC2+CG2=BG2,

即82+(10-A:)2=(X+2)2,

20

解得：x=y,

“空，

3

20

故答案为：—.

【点睛】

本题考查的是翻折变换的性质，矩形的性质，全等三角形的判定与性质和勾股定理的应用，解题的关

键是熟练掌握翻折变换的性质.

2、4

【解析】

【分析】

四边形ABC。是平行四边形，可得AO=CO=gAC,BO=DO=-BD,由AC:B0=2:3,可知

49:80=2:3,由AC_L4?可知在中勾股定理求解AO的值，进而求解AC的值.

【详解】

解：•••四边形A3CD是平行四边形

AAO=CO=-AC,BO=DO=-BD

22

AC:BD^2;3

：.AO:80=2:3

"?ACYAB

AO2+AB2=BO2

.•.设AO=2x,BO=3x

则（2x），阴,=（3x）2

解得：x=\

则AO=2

故AC=4

故答案为：4.

【点晴】

本题考查了勾股定理，平行四边形的性质等知识.解题的关键在于正确的求解.

3、5

【解析】

【分析】

根据〃边形从一个顶点出发可引出（〃-3）条对角线可直接得到答案.

【详解】

解：从八边形的一个顶点可引出的对角线的条数有8-3=5（条），

故答案为：5.

【点睛】

此题主要考查了多边形的对角线，关键是掌握计算方法.

4、①②③

【解析】

【分析】

由“%S”可证■△阳7,故①正确；由平行线间的距离处处相等，可得SAAB+SABC+3S正松

BCIH,故②正确；同理可证矩形跖G〃的面积=24/掰的面积，故③正确；由勾股定理可得

B队A»'+2C==BP',故④错误，即可求解.

【详解】

解：•；四边形45电1和四边形如〃是正方形，

：.AB=FB,HB=CB,NAB氏NCBH=90。,

：.NCB广乙HBA,

:.△AB&4FBC〈SAS),故①正确；

如图，连接〃C,

"：AI//BH,

：.SAABFSABC用；SX»KBCIH,

.•.正方形式7〃的面积=2/\］掰的面积，故②正确;

'：CG//BF,

：.SACBF-；X郎XB吟S矩事BDGF,

...矩形势加的面积=2A4ZW的面积，故③正确;

"：BCf=CEf^Dlf,Ag=Of+Alf,B(f+A(f=A!f,

：.B/af+af+AL^A^BF,

：.Blf+AEf+2af=B声,故④错误,

故答案为：①②③.

【点睛】

本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理等知识，灵活运用这

些性质解决问题是解题的关键.

5、9小

【解析】

【分析】

根据题意，将长方形底面和中间墙展开为平面图，并连接加，根据两点之间直线段最短和勾股定理

的性质计算，即可得到答案.

【详解】

将长方形底面和中间墙展开后的平面图如下，并连接BD

"、、、

、、、..

AMNB

根据题意，展开平面图中的A8=16+2=18m

.•.一只蚂蚱从8点爬到。点，最短路径长度为展开平面图中劭长度

•••A8C。是长方形地面

?.ZA=90°

•*-BD=y]AB2+AD2=A/405=9石m

故答案为：9节.

【点睛】

本题考查了立体图形展开图、矩形、两点之间直线段最短、勾股定理的知识；解题的关键是熟练掌握

立体图形展开图、勾股定理的知识，从而完成求解.

三、解答题

1、(1)7

⑵见解析

【解析】

【分析】

(1)根据平行四边形的性质，可得微AB-CD,可得/阳伫/行》,再由：阳平分NEFC,可得

^EFB-AEBF,从而得到废止5,即可求解；

(2)再。7上截取可得ABFG*BFN,从而得到NBG户NBMF,再由/曲片/日叨，可得到

乙BFA乙BNC,再根据比/%场45°,可得叱加，从而证得△即2△8CM进而得到

N(=FD,即可求证.

(1)

解：在DABC。中，AB//CD,AB=CD,

:"EB24CFB,

■:FB平分NEFC,

：./EFF/CFB,

:.NEFB=4EBF,

:.B5EP-5,

•.,心2,

C2AFAE+BB-7；

(2)

证明：如图，再⑦上截取止尺；,

/GFB=/NFB

BF=BF,

GF=FN

:.△BFGWABFN(SAS),

・・・/BG六/BNF,

■:/EFD+/BFG-BFN=画,/BFG+/BGF+/GBE邓,4GB用/EFD,

：・4BG户/BFN,

：./BF^/BNF,

:"BFD-4BNC,

♦:BC工BD,

：.ZCBD=90°,

・.,/加少45°,

：.ZBD(=ZBCD=45O,

：.BC=BD,

:.ABD阻4BCNQAAS),

:.NOFD,

：.CD=Df^FN^CN=2FD^FG,

'：AB=CD,

：.F^FD^AB.

【点睛】

本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，熟练掌握平行四

边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质是解题的关键.

2、(1)见解析；(2)①不成立，结论：EF=DF—BE；®BE=EF+DF,见解析；(3)2M

【解析】

【分析】

(1)证明AEA尸三AGIF,可得出所=AG,则结论得证；

(2)①将AABE绕点A顺时针旋转90°至AA£>M根据SAS可证明AE4F=\MAF,可得"=,则

结论得证；②将AW尸绕点A逆时针旋转90。至AABN,证明AAFEMAANE,可得出£F=硒，则结论

得证；

(3)求出£>G=2,设。F=x,则EF=FG=x+3,CF=6-x,在RtAEFC中，得出关于x的方程，解

出x则可得解.

【详解】

(1)证明：把A4BE绕点A顺时针旋转90。至AA0G,如图1,

nEC

图1

・./BAE=NDAG,AE=AG9NB=ZADG=90。，

/.ZADF+ZADG=180°,

:.F,D,G三点共线，

vZE4F=45°,

ZE4E+ZE4D=45°,

/.ZZMG4-ZE4D=45°,

ZEAF=ZFAGf

•：AF=AF,

:.AEAF^^GAF(SAS),

，EF=FG=DF+DG,

：.EF=DF+BE；

(2)①不成立，结论：EF=DF-BE；

证明：如图2,将AABE绕点A顺时针旋转90。至A4DV7,

图2

:.ZEAB=ZMAD,AE=AM,NE4M=90。，BE=DM,

..・ZE4M=45°=ZE4F,

•,­AF=AF,

:.AEAF=AMAF(SAS),

二EF=FM=DF-DM=DF-BE；

②如图3,将A4Z*绕点A逆时针旋转90。至A43N,

图3

AN=AF9ZNAF=90°,

vZE4F=45°,

:.ZNAE=45°,

.\ZNAE=ZFAE,

,/AE=AE,

:.MFE^AANE(SAS)f

:.EF=EN,

:.BE=BN+NE=DF+EF.

即=

故答案为：BE=EF+DF.

(3)解：由(1)可知AE=AG=3石,

图4

•.・正方形48CD的边长为6,

:.DC=BC=AD=6,

2222

•1•DG=