2021年浙江省临海市、新昌县高考数学模拟试卷（5月份）附答案解析

2021年浙江省临海市'新昌县高考数学模拟试卷（5月份）

一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）

1.已知集合4={xeN||x|W3},B={a,l},若4CB=B,则实数的值。为（）

A.0B.0,2C.0,2,3D.1,2,3

2%—y>0

2.若实数x,、满足约束条件卜+丁一3勺0,则z=%+2y的最大值是（）

.x-2y<0

A.0B.3C.4D.5

3.已知平面上两点M（—5,0）和N（5,0）,若直线上存在点P使|PM|-|PN|=6,则称该直线为“单曲

型直线”，下列直线中是“单曲型直线”的是（）

①解=般浦；②y=2；③醪='：；④解=标杆工

詈

A.①③B.③④C.②③D.①②

4.某几何体的三视图如图，它的侧视图与正视图相同，则它的体积为（）

5.以下六个关系式：①0e初},②{0}30，③03g。⑤h址{&〃}，⑥

{x|/-2=0,xeZ）是空集，其中错误的个数是（）

A.4B.3C.2D.1

6.若a,0eR,且ar/ot+/（keZ）,0手krt+蓝（k€Z）,则"a+口=誓'是"（V3tana—

］）（百tanS—l）=4”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

7.已知数列{0}的首项为=2,且％1+1=2册+1,（n>l,nGZV+）,则&5=（）

A.7B.15C.30D.47

8.设嬲是胸嚓窗内一点，且应而续的面积为2,定义观瓣$=物小算I,其中哪彩港分别是/MBC,

j4

的面积，若,姑嘱内一动点满足副邮=@闻威，则总科:的最小值是（）

AMCA,21MAB1P

A.1B.4C.9D.12

9.若圆。-3）2+（y+5）2=N上的点到直线4x—3y—2=。的最近距离等于1,则半径r的值为

（）

A.4B.5C.6D.9

已知函数（）一若对任意的，都有，（匕）一/（必）则实数最小

10.fx=/3X,%1x2e1<t,t

值是（）

之

A.8B.-4C.4D.1

二、单空题（本大题共7小题，共36.0分）

11.复数z=点的实部与虚部之和为.

12.（。+乃（1一代）6的展开式中，常数项为2,则M的系数是.（用数字填写答案）

TT

13.（5分）设sin2a=-sina,CLE（—>兀），则tan2a的值是.

14.现有10件商品，其中3件瑕疵品7件合格品，若从这10件商品中任取2件，设取到X件瑕疵品，则

X的数学期望是.

15.已知向量落石满足|五|=2,巧|=3,且|2五一司=m，则向量五与向量石的夹角为.

16.若关于x的方程|2'-2|-6=0有两个不同的实数解，则实数b的取值范围是.

17.已知点4B,C在半径为g的球面上，满足48=AC=1,BC=6,若S是球面上任意一点，当

三棱锥S-ABC体积最大时，S4与平面4BC所成角的正弦值为.

三、解答题（本大题共5小题，共74.0分）

18.（本题14分）

设AABC的内角AB,C的对边分别为a,8,c，已知cos2A+cosA=0"

（1）求角力的大小;

（2）若6=1，求a?+c2的最小值，并求此时的&4BC的面积。

19.如图1,在等腰梯形4BCC中，AD//BC,AD=1,BC=3,E为BC上一点，BE=2EC,且DE=百.

将梯形ZBCD沿。E折成直二面角B一DE-C,如图2所示.

图1图2

(I)求证：平面4ECJ■平面4BED；

(II)设点4关于点。的对称点为G,点M在ABCE所在平面内，且直线GM与平面4CE所成的角为60。,

试求出点M到点B的最短距离.

20.数列｛%｝中，Sn=4-an-^7.

(1)求的,a2.a3,。4；

(II)猜想an的表达式，并用数学归纳法加以证明.

21.已知椭圆C的中心为原点0,焦点在工轴上，且经过点4式-2,0),42(夜净

(I)求椭圆C的标准方程；

(口)过抛物线/=4%的焦点F的直线/与椭圆C交于不同两点M,N,且满足丽1而，求直线I的方

程.

22.己知函数/(X)=ln(x+1)-%

(1)若keZ,且/(x-l)+x>/c(l-》对任意x>1恒成立，求k的最大值.

(2)对于在(0,1)中的任意一个常数a,是否存在正数勺，使得efg)<l-T就成立.

参考答案及解析

1.答案：C

解析：解：•••4CB=8,8UA,

又A={%G/V|-3<x<3}=[0,1,2,3},B—[a,1},

■■a=0,2,3.

故选：C.

根据力nB=B即可得出8U4,并可求出4={0,1,2,3},从而可得出a的值.

本题考查了描述法、列举法的定义，绝对值不等式的解法，交集的定义及运算，考查了计算能力,

属于基础题.

得z=1+2x2=5.

故选：D.

作出可行域，利用平移求出最大值，即可.

本题主要考查线性规划的应用，利用图象平行求得目标函数的最大值和最小值，利用数形结合是解

决线性规划问题中的基本方法.

3.答案：D

J;3

解析:试题分析:•••|PM|-|PN|=6.••点P在以M、N为焦点的双曲线的右支上，即七一垦=：l(x>0).

嚼>

对于①,消y得7M-18x-153=0,•・•△=(-18)2-4x7x(-153)>0,y=

x+1是“单曲型直线”.对于②,

1—-^=1

③，联立，”籁整理得不成立.•・・展=3冥不是“单曲型直线”

144=0,.对于④，联立

4

」或标一消y得20/+36%+153=0，•••△=362—4x20x153CO」.y=2x+l不是''单曲

。=舐朴：1

型直线”.故符合题意的有①②.故选。

考点：本题考查了直线与双曲线的位置关系

点评：联立方程利用一元二次方程处理直线与双曲线交点问题是常用方法，属基础题

4.答案：D

解析：解：由三视图知：几何体是长方体与半球体的组合体，

长方体的底面是的对称线长为2右正方形，高为1,球的半径为夜,

434+

-兀X

故体积为炉2或X2或X3V2)

故选：D

几何体是长方体与半球体的组合体，根据三视图可得长方体的高、底面对角

线的长，球的半径，把数据代入体积公式计算即可

本题考查了由三视图求几何体的体积，判断几何体的形状及相关几何量的数据是解答此类问题的关

键.

5.答案：C

解析：

①②X,③X,④J,⑤J,⑥J,故错误的是2个，所以选C.

6.答案：A

解析：解：(y/3tana—1)(V3tan/?-1)=3tanatanp-V3(tana+tan/?)+1=：：：：；：：；一

8sin(a+0)।i=生

cosacosp'

.3(sinasinp-cosacos(3)6sin(a+0)_0

cosacospcosacosp

.一3cos(a+0)-V5sin(2+0)_0

cosacosp

・•・—3cos(a+0)=V3sin(a+0);

・•・tan(a+/?)=—V3；

・•・a+B=*+/CTT；

.•・a+夕=学是(遮tcma-1)(遮汝九0—1)=4充分不必要条件.

故选A.

根据切化弦公式，两角和的正余弦公式将原等式化成：tan(a+S)=—B，这便可求出a+0=与+

kn,这样便会得到a+S=半是(倔ana-1)(btan0-1)=4充分不必要条件.

考查切化弦公式，两角和的正余弦公式，充分不必要条件的概念，已知三角函数值求角.

7.答案：D

解析：解：：On+i=2a„+1,

a

n+i+1=2(an+1),

•・・数列｛斯+1｝是等比数列，首项为由+1=3.

=n-1

•••an+13x2,

•1,an=3x2“T—1.

4

a5=3x2-1=47.

故选：D.

由变形为可得数列｛斯+是等比数列，利用等比数列的通

%+i=2an+l,0M+i+1=2(0n+1),1｝

项公式即可得出.

本题考查了等比数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

8.答案：C

解析：试题分析：根据题意，由于盘是盛缠窗内一点，且.鼠翻黑的面积为2,定义，翻时=®纵彩匐1，

其中叫叽瞿分别是dMBC,4MC44AMB的面机那么可知盛缄渣内一动点孽满足，解於@*%威,

x+y+l=2,x+y=l.因此可知」样色=£%当解:朴威=打登外经野卷四色着艇=螂，故可

M般M裁’黑察'田承

知答案为C。

考点：不等式的运用

点评：主要是考查了均值不等式的运用，属于基础题。

9.答案：A

解析：解：由题意可得，圆心(3,-5)到直线的距离等于r+1,

故选：A.

由题意可得，圆心(3,-5)到直线的距离等于r+1,利用点到直线的距离公式求得r的值.

本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，体现了转化的数学思想，属于中

档题.

10.答案：C

解析：

根据题意，求出函数的导数，利用导数与函数单调性的关系分析可得f(x)在区间［-|,|］上的最值，

据此可得，(久力-/(x2)|<|/(%)max-/(%)™n|.分析可得答案•

本题考查利用导数分析函数的单调性、最值，注意求出|/(%】)-/(孙)1的最大值.

解：根据题意，函数/。)=/一3,其导数((X)=3炉一3,

分析可得：当％€［-|,一1)时，f(x)>0,/(x)为增函数，

当x属于区间(一1,1)时,f(x)<0,/(%)为减函数,

当x属于区间(1,|)时，/'(%)>0,f(x)为增函数，

/(-|)=|>/XT)=2,/(1)=-2,八|)=一：

故在区间［一|,|］上，/(X)max=7(-l)=2,f(x)m加=八1)=-2，

WJ1/(X1)-y(x2)|<|/(x)max-f(x)min\=4,

若对任意的与,X2e［-|,|］>都有1/51)-八%)1Wt，必有t24，即t的最小值为4；

故选：C.

11.答案：一1

解析：解：•.•复数z=W{=£竽色=—i,

复数z=*的虚部等于一1,实部为0,

1+1

所以复数z=m的实部与虚部之和为：-1；

故答案为：-1.

先利用两个复数的除法法则化简复数Z=*到最简形式，即可得到实部与虚部的和.

本题考查两个复数的除法法则的应用以及复数的基本概念，考查计算能力.

12.答案：45

解析：

本题考查二项式定理的应用，关键是掌握二项式定理的形式，属于中档题.

根据题意，由二项式定理可得(1-代］的展开式，据此分析若(a+x)(l-y)6的展开式中的常数项,

即可得a的值，由此分析可得其展开式中含/的项，即可得答案.

解：根据题意，(1—A/X)6=C°(—\/x)0+Cg(—Vx)1+(—Vx)2

+C九—女)3+C馥-科+C式+废(—五)6

=1-6y/x+15%—20(Vx)3+15x2—6(Vx)5+x3,

若(a+x)(l-代/的展开式中，常数项为a,

又由其常数项为2,则a=2,

则含/的项为ax15x2+xx15%=45/,

即M的系数是45,

故答案为：45.

13.答案：V3

兀

解析：vsin2a=2sinacosa=-sina,a6(—,TI),

1r------o-M

•••cosa=sina-3/CL=亍，

•••tana=—^3,

2tana-273

则ta九2a=o2=A/3-

1-tan'a1_(-V3)

故答案为：Vs

14.答案：|

解析：解：从这10件商品中任取2件，设取到X件瑕疵品，则X的可能取值为0,1,2,

「次=。)=符建屋，

P(X=1)=鬻屋=看，

P(X=2)=昌=卷=3,

•••X的数学期望是E(X)=0x(+lx5+2x2=|.

故答案为：

X的可能取值为0,1,2,分别求出相应的概率，由此能求出X的数学期望.

本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，考查超几何分布等基础知识，考查运算求解能力，是

中档题.

15.答案：g

解析：解：•••|初=2,|石|=3，且|2万一3|=的3,

\2a-b\2=(V13)2.

即4|五|2一4方名+|方|2=13,

即16—4日不+9=13，

则五不=3.

则cos<优工>=品=全，

则<1,b>-p

故答案为：p

根据向量模长与向量数量积之间的关系进行求解即可.

本题主要考查向量夹角的计算，根据向量长度和向量数量积的关系进行求解是解决本题的关键.

16.答案：(0,2)

解析：解：••・关于x的方程|2*-2|-匕=0有两个不同的实数解，

•••[2X-2|=b有2个不同的实数解，

b>0,2x-2=±b,2X=2+b,

2-6>0,解得b<2,

•.0<b<2,

••・实数b的取值范围是：(0,2).

故答案为：(0,2).

根据条件可得出方程|2'-2|=6有2个不同实数解，从而得出b>0,进而得出2，=2士b,从而得

出2—b>0,这样即可得出b的取值范围.

本题考查了绝对值的定义，指数函数的值域，考查了计算能力，属于中档题.

17.答案：至更

10

解析：解：在△ABC中，•••48=4C=1,BC=回：.乙BAC若,

由正弦定理知，—^-=2r,其中r为△4BC外接圆的半径，

smz.BAC

••・YTF=2r,解得r=1,

sin—

设球心为0,△ABC外接圆的圆心为D,如图所示，

由于AABC的面积为定值，所以当OS1平面4BC时，三棱锥S-4BC的体积最大，止匕时S,0,D三点

共线，

NS2D即为SA与平面4BC所成角，

在RtAAOD中，0D=>JOA2-AD2=J(|)2-l2=

54

・・・SD=OS+OD=?+?=3,

33

在Rt△/SO中，SA=7SD2+AD?=V324-12=V10,

.,SD33V10

・•・sm^.SCA4Dn=—=-p==-----,

SAVio10

sa与平面4BC所成角的正弦值为包史.

10

故答案为：羽里.

10

在△ABC中，由正弦定理求得AABC外接圆的半径，设球心为0,AABC外接圆的圆心为D,当OS1

平面4BC时，三棱锥S—4BC的体积最大，此时S,0,。三点共线，且ZS4D即为所求，^Rt△ASD

中，由sin/S4D=2得解.

SA

本题考查棱锥的体积，线面角的求法，还涉及解三角形中的正弦定理，考查学生的空间立体感、逻

辑推理能力和运算能力，属于中档题.

18.答案：解：(1)cos2/+cos力=0=2cos2<+cos/-l=0，

---(2cosA-V)(cosA+1)=0

Vj4e(0,7r),

・A穴

-"J4=—

3

(2)a2=b2+c2-2bccos—=Z?2+c2-he=c2-c+1=>a2=c2-c+1

3

a2+c2=2c2-c+l=2(c--)2+->-,此时c=!,a=巫符合题意

48844

7

.・・屋+J的最小值为-,

8

---hABC的面积为,7=-Z?csinj4=-xlx—x——=—

皿224216

解析：(1)先利用二倍角公式将角统一化为4将cosA看作一个整体进行因式分解，即可求出cosA。

(2)利用⑴中已求出的4及b,利用余弦定理即可得a,c的关系式，即可将所求的式子中的2个边统一

成一个边，再利用二次函数的最值问题来处理。

19.答案：解：(I)证明：在图1中，由平面几何知识易得DE_L8C,

在图2中，vDE1BE,DE1CE,

・••NBEC是二面角B-DE-C的平面角,

「二面角B—DE—C是直二面角，；.BE_LCE.

vDECBE=E,DE,BEu平面ABED,；.CE_L平面ABED,

又CEu平面4EC,.♦.平面4EC_L平面ABED.

(n)由(I)知DE,BE,CE两两互相垂直,

以E为原点，分别以EB,EC,ED为x,y,z轴，

建立空间直角坐标系E-xyz,如图所示.

则E(0,0,0),4(1,0,次),B(2,0,0),C(0,l,0),

D(0,0,V3)，G(-l,0,V3),~EA=(1,0,V3).EC=(0,1,0).

设平面4CE的一个法向量为元=(x,y,z),

则［更•记=0,即卜+gz=0,

(ECn=0⑶=0

取％=V3，得记=(V3,0,—1).

设M(x,y,0),则丽=(%+1,%-遮).

•・・直线GM与平面4CE所成的角为60。，

网宿•

•\G*,M-—\-\n•\—,

叱舞院号，化简得y2=2x,

从而有=y/(x—2)24-y2=J(x—2尸+2x

—yjx2—2%4-4=J(v—1)2+3,

所以，当％=1时，|MB|取得最小值8.

即点M到点8的最短距离为

解析：本小题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系、空间向量、函数等基础

知识，考查空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、

函数与方程思想及应用意识.

(I)通过证明DEJ.CE,BE1CE.推出1平面力BED,利用CEu平面4EC,证明平面AEC1平面

ABED.

(H)通过。E,BE,CE两两互相垂直，建立空间直角坐标系E-xyz,求出E,A,B,C,D,G坐标，

求出平面4CE的一个法向量为元=(x,y,z),利用直线GM与平面力CE所成的角为60。，通过数量积得

到y2=2x,求出|MB|的表达式，利用二次函数的最值，即可点M到点B的最短距离.

20.答案：解：(1):5「=4一斯一表，•••%=4一％-六，即的=1，

$2=4—一即@1+02=4—。2—1，・•・。2=1，

113

,:S3=4-。3一^77，即+。2+。3=4—。3—m，：•。3=［，

111

af

•・,S4=4—a4-^77,即％+。2+。3+。4=4—。4—［，**-4=2

(11)猜想时=号

证明如下：①当九=1时，=1,此时结论成立;

②假设当几=k(k€N*)结论成立，即以=券，

那么当n=k+1时，有品=4一以一=4一,一卷=4一

1

Sk+i=4-ak+1-豕五=Sk+ak+1

仁.12k+42k+4-22k+2k+1

・•・2以+1=4-衿-4+三1=^^=方］即Rn以+1=声

这就是说九=fc+1时结论也成立.

根据①和②，可知对任何几6N*时Qn=三.

解析：(1)由%=4-册一£工,我们依次将九=1,2,3,4…代入，可以求出的,。2，。3，。4；

(2)观察(1)的结论，我们可以推断出册的表达式，然后由数学归纳法的步骤，我们先判断71=1时是

否成立，然后假设当九=々时，公式成立，只要能证明出当九="+1时，公式成立即可得到公式对所

有的正整数n都成立.

数学归纳法的步骤:①证明九=1时/式成立②然后假设当九=k时，4式成立③证明当九=/c+1时，

A式也成立④下绪论：4式对所有的正整数九都成立.

21.答案：解：(I)由题意可知设椭圆的标准方程：g+g=l(a>6>0),

则a=2,将42(企净代入★条=1，则b=l,

•••椭圆的标准方程为：=+y2=i；

(II)方法一：抛物线V=4x的焦点尸(1,0),

设直线[的方程为口=my+1,N(%2，V2)，由。祈_L而，则%i%2+=0(*)，

x=my+1

{t+旷2_]，消去％,得得(巾之+4)y2+2my-3=0,△=16m24-48>0

•.•%+丫2=-诉，%'2=一诉，①

%1%2=(1+6'1)(1+=1+mQ]+丫2)+62yly2；

=1+2(-品+M(-高)，

=需，②(9分)

将①②代入(*)式，得。+(-扁)=。，

解得m-±|,

存在直线I满足条件，且直线，的方程为2%-y-2=0或2x+y-2=0.

方法二：当直线/的斜率不存在时，不满足题意；

当直线1的斜率存在时，设其方程为y=k(x-1),

与G的交点为N(x2,y2).

(y=Mx-1)

联立/，消去y并整理得(1+4卜2)/一8卜2刀+4(卜2-1)=0,

匕+y=1

于是巧+“偌，磊？・①

2

•••7172=1(X1-1)02-1)=k[xrx2-(xx+x2)+1]=.243)-^^+1]=-Y^7-0

由前1ON，则丽•西=0，即x/2+yry2=0(*)，

将①②代入③式，啥+(一缶)=W=°，

解得k=±2,

・••存在直线，满足条件，且直线I的方程为2%-y-2=0或2x+y-2=0.

解析：(I)设椭圆方程，将4及4代入即可求得a和b的值，求得椭圆方程；

(口)方法一：设直线八x=my+l,代入椭圆方程，利用韦达定理，向量数量积的坐标运算，即可

求得m的值，求得直线，的方程；

方法二：当直线/的斜率不存在时，不满足题意；当直线1的斜率存在时，设其方程为