高二数学(选修-人教A版)-组合-教案

教案教学基本信息课题组合学科数学学段：高中年级高二教材书名：普通高中课程标准实验教科书数学选修2-3（A版）出版社：人民教育出版社出版日期：2009年4月教学目标及教学重点、难点1.通过具体实例，类比排列，观察归纳出组合的概念，体会组合与排列的区别与联系，会判断一个问题是组合问题还是排列问题；2.根据组合与排列的关系，推导组合数公式，能解决一些简单的组合问题，进一步体会分步与分类两个计数原理的运用；3.在学习过程中，感受探索数学知识的魅力，提升数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心素养.重点：组合的概念、组合数公式难点：组合数公式的推导教学过程(表格描述)教学环节主要教学活动设置意图温故知新【思考】请同学们回答下列问题.什么是排列？什么是排列数？你能写出排列数公式吗？排列是学习组合的必备知识.通过回顾排列知识，帮助学生为本节课做好学习准备.引入概念【问题1】从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？【预设】这是一个排列问题，一共有种选法.【问题2】从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？【预设】一共有3种选法，分别为：甲乙、甲丙、乙丙，【探究】这两个问题有何不同？【预设】这两个问题都是从3名同学中选出2名，问题1选出的2名同学要参加不同的活动，所以需要排序，例如甲乙代表甲参加上午的活动，乙参加下午的活动，把甲乙交换下顺序得到乙甲，代表乙参加上午的活动，甲参加下午的活动，这是两种不同的选法，所以问题1与顺序有关；问题2选出的2名作为一个小组参加同一项活动，所以只需要选出2名同学而不需要排序，例如甲乙和乙甲是同一种选法，所以问题2与顺序无关.【探究】如果把上面问题中被取的对象称为元素，你能叙述一下问题2吗？【预设】问题2可以叙述为：从3个不同的元素中任取2个合成一组，共有多少个不同的组？【问题3】从1,2,3,4这4个数字中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数？【预设】这也是一个排列问题，一共有种选法.【问题4】从1,2,3,4这4个数字中，每次取出3个构成一个集合，共可得到多少个不同的集合？【预设】一共有4个不同的集合，分别为集合{1,2,3},{1,2,4},{1,3,4},{2,3,4}.【探究】这两个问题有何不同？【预设】这两个问题都是从4个数字中选出3个，问题3需要把3个数位数分别在百位、十位、个位上排序，例如选出的是3个数字是1,2,3，把它们全排列后对应着6个三位数，所以问题3与顺序有关；问题4，因为集合具有无序性，所以选出的3位数，不管按照怎样的顺序放在集合里，都是同一个集合，所以问题4与顺序无关.【探究】你能概括一下问题4吗？【预设】问题4可以概括为：从4个不同的元素中任取3个合成一组，共有多少个不同的组？【思考】问题2，4的共同特点是什么？你能将它们推广到一般情形吗？【预设】这两个问题都是研究，从不同的元素中取出几个合成一组，有多少个不同的组？我们可以将这个问题推广到一般的情形去研究.请看组合的定义：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．【思考】你能说说排列与组合之间的联系与区别吗？【预设】对比组合与排列的定义，我们发现它们的相同点是都要从n个不同元素中，任取出m个元素；不同点是排列要按照一定的顺序排成一列，与顺序有关，而组合却是不管顺序地并成一组，与顺序无关；排列是先选后排，而组合只是选出元素.【思考】什么是相同的组合？它与相同的排列有何区别？【预设】因为组合与顺序无关，只要元素相同，不管顺序怎样，都是相同的组合；而排列与顺序有关，元素相同顺序也要相同，才是相同的排列.例如：ab,ba是不同的排列，但它们是相同的组合.【问题5】判断下列问题是组合问题还是排列问题(1)学校开设了6门选修课，要求每个学生从中选学3门，共有多少种不同选法?(2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票?(3)8人聚会，见面后每2人之间要握手相互问候，共需握手多少次?(4)从5本不同的书中选出4本，分给4个人每人1本，有多少种不同的方法?(5)从3,5,7,11这四个质数中任取两个相乘，可以得到多少个不相等的乘积?【预设】(1)选出3门选修课，与顺序没有关系，所以是组合问题.(2)在5个车站中取出2个车站，需要确定起点站与终点站，与顺序有关，所以是排列问题.(3)由于每2人相互问候只需要握一次手，与顺序无关，所以是组合问题.(4)选出的4本书分给4个人，需要排序，所以是排列问题.(5)因为乘法满足交换律，与顺序无关，所以是组合问题.【思考】你能类比排列数，给组合数下个定义吗？【预设】组合数的定义：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号QUOTE表示.【思考】“组合数”与“一个组合”的区别是什么？【预设】一个组合是指从n个不同元素中取出m个元素合成一组，它不是一个数；组合数是指从n个不同元素中取出m个元素的所有组合的个数，它是一个数.例如从a,b,c中任取3个的所有组合为ab,bc,ac，其中每一个都叫做一个组合，共有3个，所以组合数为3，即.通过问题探究，让学生了解排列与组合的关系.并能类比排列，通过观察、归纳，对组合问题的特征有更深入的了解，为描述组合定义做好准备.通过具体实例，归纳出组合的定义，能用数学眼光观察数学问题，用数学语言描述数学问题，培养学生的抽象概括能力。通过辨析排列与组合问题，加深学生对组合定义的理解，引导学生明确是否有顺序对结果的影响，进一步强化排列与组合的本质特征.推导公式【探究】组合与排列有相互联系，我们能否利用这种联系，通过排列数来求出组合数呢？【探究】我们可以先研究，从a,b,c,d这4个元素中取3个元素的排列数与组合数的关系.【预设】从a,b,c,d这4个元素中取出3个元素的组合数有4个，排列数有24个，要建立排列与组合的对应关系，可以把排列按照元素相同的标准进行分组，于是所有排列按照元素相同可以分为4组。我们观察发现，每一个组都有6个排列，于是排列数可以由46=24得到.所以求排列数，可以分两步完成，第1步，求从4个元素中取出3个元素的组合数，第2步，将每一个组合中的3个不同元素作全排列，各有个排列数，再根据分步乘法计数原理，得到.我们把上述解释推广到一般的情形，就可以得到排列数与组合数的关系.求排列数，可以分两步完成，第1步，从这n个不同的元素中取出m个元素，共有种不同的取法，第2步，将取出的m个元素作全排列，共有种不同的排法，根据分步乘法计数原理，得到.我们将导出来，就可以得到组合数公式。或规定:.【探究】计算【预设】我们发现，相同两个组合数的特点是下标相同，上标之和等于下标，于是我们猜想.我们可以用组合数公式证明.组合数还有哪些性质呢？同学们可以看一下教材中的阅读材料.引导学生关注，由特殊到一般，通过具体问题寻找一般问题的解题方法，这是研究数学问题的基本思路，也是我们今后学习中常使用的研究方法猜想是创造性思维活动的重要组成部分，通过实例引导学生观察、发现、猜想，主动提出问题．知识应用【例1】(1)平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有多少条？(2)平面内有10个点，以其中每2个点为端点的有向线段共有多少条？【预设】解：(1)以平面内10个点中每2个点为端点的线段的条数，就是从10个不同的元素中取出2个元素的组合数，即线段条数为.(2)由于有向线段的两个端点中一个是起点、另一个是终点，以平面内10个点中每2个点为端点的有向线段的条数，就是从10个不同的元素中取出2个元素的排列数，即有向线段条数为.【例2】一位教练的足球队共有17名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛，按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人.问:(1)这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上场方案?(2)如果在选出11名上场队员时，还要确定其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事情?【预设】解:(1)由于上场学员没有角色差异，所以可以形成的学员上场方案种数为.(2)完成这件事，可以分两步，第1步，从17名学员中选出11人，组成上场小组，共有种选法，第2步，从选出的11人中选出1名守门员，共有种选法，所以教练员做这件事情的方式种数为.对于问题2，我们还可以这样分步，第1步，从17名学员中选出1名守门员，共有种选法，第2步，从剩余16名学员中选出10人，组成上场小组，共有种选法，所以教练员做这件事情的方式种数为.【例3】在100件产品中，有98件合格品，2件次品，从这100件产品中任意抽出3件，(1)有多少种不同的抽法？(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种？(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种？【预设】解：(1)所求的不同抽法的种数，就是从100件产品中取出3件的组合数，所以不同的抽法种数为.(2)抽出的3件中恰好有1件是次品，另外2件就是合格品，所以完成这件事需要分两步，第1步，从2件次品中抽出1件次品，有种方法，第2步，从98件合格品中抽出2件合格品，有种方法，所以抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法种数为.

(3)解法1：从100件产品抽出的3件中至少有1件是次品，包括有1件次品和有2件次品两种情况．所以抽出的3件中至少有一件是次品的抽法种数为.解法2：抽出的3件产品中至少有1件是次品的抽法的种数，也就是从100件中抽出3件的抽法种数减去3件中都是合格品的抽法的种数，即.例题反思：1.在解决计数问题时，首先要认真审题弄清楚做什么事；2.怎样做才能完成所要做的事，即采取分步还是分类，通常可以按元素性质进行分类，按事情发生的连续过程分步，保证每步独立，达到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏；3.确定每一步或每一类是排列问题还是组合问题，元素总数是多少以及取出的元素是多少；4.对于正面情况较复杂的问题，可以采用间接法，即用无限制条件的总数，减去其反面情况的总数.通过知识应用，巩固组合知识，并进一步体会分步与分类两个计数原理的运用.提升数学抽象、逻辑推理、数学运算等核心素养.归纳总结【总结】请同学们总结一下1.本节课你学到了哪些知识？2.你是如何获得这些知识的？3.你有什么学习体会？【预设】1.本节课我们学习了组合、组合数以及组合数公式，并能够解决一些简单的组合问题.2.我们通过类比排列，通过具体实例，观察归纳出组合与组合数的概念，通过组合与排列之间的联系，推导出组合数公式.3.在学习过程中，我们要关注新旧知识间的