高二数学(选修-人教B版)-排列(2)-教案

教案教学基本信息课题排列2学科数学学段：高中年级高二教材书名:书名：普通高中课程标准实验教科书数学选修2-3（B版）出版社：人民教育出版社出版日期：2007年4月教学目标及教学重点、难点教学目标：加深对排列、排列数的理解，能够综合应用两个基本计数原理和排列模型解决相关计数问题.教学重点、难点：重点：掌握解决排列问题的基本方法难点：方法的选择和应用教学过程(表格描述)教学环节主要教学活动设置意图复习引入排列：从个不同元素中，任取（）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列.排列的特征：（1）被取的n个元素互不相同，取出的m个元素也互不相同 （2）一定的顺序，顺序不同，就是不同的排列排列数：从个不同元素中，任取（）个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出个元素的排列数，用符号表示.（1）排列数公式其中，.（2）当时，个不同元素全部取出的一个排列，叫做个不同元素的一个全排列．（3）的阶乘 利用阶乘，得到排列数公式的另一种形式（4）规定：．复习排列、排列数概念和排列数公式，为后面应用做铺垫例题精讲例1用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中有多少个：偶数比40000大的偶数解：（1）数字0,1,2,3,4,5中有0,2,4三个偶数,分三类： 第一类末位为0.余下数字均不为0，问题转化为“从1,2,3,4,5中任选4个，排成一列”，排列数为. 第二类末位为2，首位非0.分两步完成： 第一步从除2外的4个非0数字中任选一个，填到首位，排列数为； 第二步从除了首位和末位2个数字的剩余4个数字中任选3个，填在中间三个不同的位置，相应的排列数为.由分步乘法原理计数原理，共个. 第三类末位为4.同末位为2，共96个.由分类加法计数原理，共个.（2）数字0,1,2,3,4,5中有0,2,4三个偶数,“比40000大的偶数”即对首位和末位有特殊要求，满足要求的五位数必以4开头或以5开头，末位必为0,2,4之一.因此要完成“用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的比40000大的五位偶数”这件事，需要分成两类：第一类首位为4. 法一以4开头的偶数又分以0结尾与以2结尾两类： 末位为0只需从除4和0以外的4个不同数字中，任取3个，排在第二、三、四个位置，排列数为； 末位为2只需从除4和2以外的4个不同数字中，任取3个，排在第二、三、四个位置，排列数也为.因此，由分类加法计数原理，以4开头的偶数共个.注意到第二、三、四个位置对数字无要求，选定末位数字后，“用0,1,2,3,4,5组成以4为首位，0或2为末位的无重复数字的五位数”，均可抽象为“从除首位和末位2个数字外剩下的4个元素中任取3个，排成一列”，因此可用分步乘法计数原理来处理，更为简洁. 法二分两步完成：第一步从0,2中任选一个，放到末位上，相应的排列数为；第二步从除了首位和末位2个数字的剩余4个数字中任选3个，填在中间三个不同的位置，相应的排列数为.由分步乘法原理计数原理，共个.第二类首位为5.同理,以5开头的偶数，末位可以是0，2,4三者之一,注意到第二、三、四个位置对数字无要求，选定末位数字后，问题均可抽象为“从除首位和末位2个数字外的剩余4个数字中，任选3个排成一列”.因此，这件事可以分两步完成： 第一步从0,2，4中任选一个，放到末位，相应的排列数为； 第二步从除了首位和末位2个数字的剩余4个数字中任选3个，填在中间三个不同的位置，相应的排列数为.由分步乘法原理计数原理，共个. 综上，由分类加法计数原理，比40000大的偶数共有个.提问：若把问题改为“其中比20000大的偶数共有多少个？”怎么计算？法一： 第一类以奇数5开头的偶数.以5开头的偶数，末位可以是0，2,4三者之一,注意到第二、三、四个位置对数字无要求，选定末位数字后，问题均可抽象为“从除首位和末位2个数字外的剩余4个数字中，任选3个排成一列”.因此，这件事可以分两步完成： 第一步从0,2，4中任选一个，放到末位，相应的排列数为； 第二步从除了首位和末位2个数字的剩余4个数字中任选3个，填在中间三个不同的位置，相应的排列数为.由分步乘法原理计数原理，共个.第二类以4为首位.末位可以是0或2,注意到第二、三、四个位置对数字无要求，选定末位数字后，问题均可抽象为“从除首位和末位2个数字外的剩余4个数字中，任选3个排成一列”.因此，这件事可以分两步完成： 第一步从0，2中任选一个，放到末位，相应的排列数为； 第二步从除了首位和末位2个数字的剩余4个数字中任选3个，填在中间三个不同的位置，相应的排列数为.由分步乘法原理计数原理，共个.第三类以3为首位.同第一类，以3为首位的满足要求的五位数也有72个.第四类以2为首位.同第二类，以2为首位的满足要求的五位数也有48个.综上，由分类加法计数原理，比40000大的偶数共有个.非常繁琐，有没有什么简单的办法？要计算“用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的比20000大的五位偶数”共有多少个，我们可以先算出所有由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位偶数有多少，再计算其中小于等于20000的五位偶数有多少？相减可得所求.由（1）已知，满足要求的五位偶数共312个，在本题条件中，小于等于20000的五位偶数首位必为1，可以分两步完成： 第一步从0，2，4中任选一个，放到末位，相应的排列数为； 第二步从除了首位和末位2个数字的剩余4个数字中任选3个，填在中间三个不同的位置，相应的排列数为.由分步乘法原理计数原理，共个.因此，大于20000的无重复数字的五位偶数共个.【可省略】反思第（1）问，求由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位偶数个数，也可以用间接法算.先算由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数的个数，再算其中奇数的个数，相减即可得.要完成“由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数”这件事，可以分两步：第一步从1~5中任选一个，放到首位，相应的排列数为； 第二步从剩余5个数字中任选4个，填在除首位外的四个不同的位置，相应的排列数为.由分步乘法原理计数原理，共个.要完成“由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位奇数”这件事，可以分三步： 第一步从1，3，5中任选一个，放到末位，相应的排列数为； 第二步从剩下的4个非0数字中，任选1个，填在首位，相应的排列数为； 第三步从剩余4个数字中任选3个，填在除首位、末位外的三个不同的位置，相应的排列数为由分步乘法原理计数原理，共个.因此，由数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位偶数共个.例2用0，1，2，3，4，5，6这七个数字可以组成多少个没有重复数字的：（1）四位数；（2）四位奇数；（3）四位偶数；（4）四位数且是5的倍数;解：（1）法一：千位不能为0.分两步完成：第一步先从1，2，3，4，5，6这6个数字中，任取一个排在千位，有种方法；第二步从剩下的6个数字中，任取三个排在剩下三个位置，有种方法.由分步乘法计数原理，可以组成个无重复数字的四位数.法二：从0到6这七个数字中，任取四个数字的排列数为，其中以0作首位的排列数为，因此可以组成个无重复数字的四位数.（2）数字0,1,2,3,4,5,6中有1,3,5三个奇数,且要满足首位不为0.分三步完成：第一步先从1,3,5这3个数字中，任取一个排在个位，有种方法；第二步从剩下除0以外的5个数字中，任取1个排在千位，有种方法；第三步从剩下的5个数字中，任取2个排在百位、十位两个位置，有种方法.由分步乘法计数原理，可以组成个无重复数字的四位奇数.（3）法一：数字0,1,2,3,4,5,6中有0,2,4,6四个偶数,且要满足首位不为0.分个位为0和个位不为0两类.第一类个位为0，从1,2,3,4,5,6这6个数字中任取三个，排到千位、百位和十位，排列数为.第二类个位不为0，分三步完成：第一步先从2,4,6这3个数字中，任取一个排在个位，有种方法；第二步从剩下除0以外的5个数字中，任取1个排在千位，有种方法；第三步从剩下的5个数字中，任取2个排在百位、十位两个位置，有种方法，由分步乘法计数原理，可以组成个四位偶数.因此，由分类加法计数原理，共可以组成个无重复数字的四位偶数.法二：用0，1，2，3，4，5，6这七个数字，由第一问已知可以组成个没有重复数字的四位数，由第二问可知可以组成个无重复数字的四位奇数，因此可以组成个无重复数字的四位偶数.（4）四位数且是5的倍数，则个位只能是0或5，且千位不为0.分个位为0和个位为5两类.第一类个位为0，从1,2,3,4,5,6这6个数字中任取三个，排到千位、百位和十位，排列数为.第二类个位为5，分两步完成：第一步先从1,2,3,4,6这5个数字中，任取一个排在千位，有种方法；第二步从剩下的5个数字中，任取2个排在百位、十位两个位置，有种方法，由分步乘法计数原理，共个.因此，由分类加法计数原理，共可以组成个无重复数字的四位偶数且为5的倍数.例3有6个人排成一排：甲和乙相邻的排法有多少种？甲、乙、丙三人两两不相邻的排法有多少种？甲、乙两个人必须排在一起，且丙、丁两个人不能排在一起的排法有多少种？甲、乙两人必须排在第一个或最后一个位置的排法有多少种？（备选）甲、乙两人都不能排在第一个和最后一个位置的排法有多少种？（备选）解： （1）甲、乙两人相邻，分两步完成：第一步将甲、乙两人捆绑在一起当作一个元素，和剩下的四人共五个元素进行全排列，有种方法；第二步将甲、乙二人进行排列，有种方法.由分步乘法计数原理，共有种方法（2）甲、乙、丙三人两两不相邻，分两步完成：第一步将除了甲、乙、丙以外的三人进行全排列，有种方法；第二步已经排好的三个人形成四个空当，从这四个空当中任取三个，分别插入甲、乙、丙三人，每空至多一人，有种方法.由分步乘法计数原理，共有种方法（3）甲、乙两人相邻，丙、丁两个人不能相邻，分三步完成：第一步将甲、乙两人捆绑在一起当作一个元素，和除丙、丁外的剩下的两人共三个元素进行全排列，有种方法；第二步已经排好的三个元素形成四个空当，从这四个空当中任取两个，分别插入丙、丁二人，每空一人，有种方法第三步将甲、乙二人进行排列，有种方法.由分步乘法计数原理，共有种方法（4）甲、乙两人必须排在第一个或最后一个，分两步完成：第一步将甲、乙两人排列在第一个和最后一个位置，即2个不同元素进行全排列，有种方法；第二步将其余四人排列在剩下的四个位置，有种方法.由分步乘法计数原理，共有种方法（5）甲、乙两人都不能排在第一个和最后一个，分两步完成：第一步将甲、乙两人排列在除第一个和最后一个位置的其余四个位置中，有种方法；第二步将其余四人排列在剩下的四个位置，有种方法.由分步乘法计数原理，共有种方法辨析排列模型复习排列数计算先分类，再分步.有特殊要求的位置（或元素），特殊处理.方法上有直接法和间接法两种.间接法：先不考虑限制条件，求出所有的排列数，再从中减去不符合条件的排列数.间接法应用感受间接法应用相邻问题和不相邻问题的基本解法总结本节课你学到了哪些类型的计数问题和其计算方法？1.先分