专题11 一元一次方程特殊解的三种考法（解析版）（北师大版）

专题11一元一次方程特殊解的三种考法类型一、整数解问题例1．已知k为非负整数，且关于x的方程的解为正整数，则k的所有可能取值的和为（

）A．12 B．13 C．14 D．【答案】C【分析】方程整理后，根据方程的解为正整数确定出k的值即可．【详解】解：，方程去分母得：方程去括号得：，移项合并得：，解得：，由x为正整数，k为非负整数，得到，4，3，2，0，∴，故C正确．故选：C．【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，关键是掌握解方程的基本步骤．例2．关于x的方程的解为整数，则符合条件的正整数m的值之和为（）A．19 B．18 C．8 D．4【答案】A【分析】先将方程化简为，根据方程的解为整数，得到关于m的方程，进而得出答案．【详解】去分母得：，去括号、移项、合并同类项得：，方程的解为整数，或，解得，或3或或15，符合条件的正整数m的值之和为：，故选：A．【点睛】本题考查含参数的一元一次方程，解题的关键是得到关于参数的方程．【变式训练1】已知关于x的方程有非负整数解，则整数a的所有可能的取值的和为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根据解方程的一般步骤解方程，再根据非负数的定义将的值算出，最后相加即可得出答案．【详解】解：去分母，得，去括号，得，移项、合并同类项，得，将系数化为1，得，是非负整数解，∴取，或，时，的解都是非负整数，则，故选D．【点睛】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握解方程的一般步骤是解题的关键．【变式训练2】已知关于的方程有整数解，则正整数的值为（

）A． B．或C．或或 D．或或或【答案】A【分析】先解关于x的方程得到，然后根据整数的整除性求解．【详解】解：整理得，∴，∵x为整数，m为正整数，∴，故选：A．【点睛】本题考查了一元一次方程的解及解法，掌握解一元一次方程的解法是解题的关键．【变式训练3】若关于x的方程的解是整数，且k是正整数，则k的值是（

）A．1或3 B．3或5 C．2或3 D．1或6【答案】A【分析】先解方程，再依据解是整数求解即可．【详解】去分母得，去括号得：移项合并同类项得：，系数化1得：，∵关于x的方程的解是整数，∴或，∴或或或∵k是正整数，∴或，故选：A．【点睛】本题考查一元一次方程的解法，先解方程再利用整数解求值是解题的关键．类型二、含绝对值的方程例1．如果|x|＝4，那么x＝，如果|x－2|＝8，那么x＝.【答案】±4－6或10【详解】如果|x|＝4，那么x＝±4；如果|x－2|＝8，那么x-2=±8，所以x=10或x=-6，故答案为±4，－6或10.例2．若，，则．【答案】3【分析】分两种情况：；．依次解出即可解答．【详解】当时，，，解得：，当是时，，，此时方程无解，综上，．故答案为：3.【点睛】本题考查解绝对值方程，注意：要分类讨论．【变式训练1】方程的解为．【答案】或【分析】由绝对值的性质可得出，从而可分类讨论：①当时和②当时，再根据方程有意义可得出x的取值范围，最后再次根据绝对值的性质解方程即可．【详解】解：∵∴，∴；分类讨论：①当时，∵方程有意义，∴，解得：，∴，∴解得，，舍去；②当时，∵方程有意义，∴，解得：，∴，即或，解得：或．故答案为：或．【点睛】本题考查绝对值的性质，解一元一次方程．根据绝对值的性质去绝对值是解题关键．【变式训练2】若｜x2｜2x6，则x=；【答案】4【分析】分x≤2和x>2两种情况求解方程即可．【详解】解：当x≤2，即x-2≤0时，方程｜x2｜2x6变形为：-(x-2)=2x-6去括号整理得，-3x=-8解得，（不符合题意，舍去）当x>2，即x-2>0时，方程｜x2｜2x6变形为：x-2=2x-6移项合并得，x=4．故答案为：4．【点睛】此题主要考查了绝对值方程的解法，正确去绝对值符号是解答此题的关键．【变式训练3】解方程：．【答案】时，；时【分析】令，，得，，根据这两个数进行分段，去绝对值符号求值.【详解】解：①当时，，，不存在；②当时，，；③当时，，，的解是时，；时．【点睛】本题主要考查了含绝对值符号的一元一次方程的解法，解题的方法是令每个绝对值部分为0，将的值分段去绝对值解方程．类型三、整体思想求方程的解例．已知关于x的一元一次方程的解为，那么关于x的一元一次方程的解为（

）A．2013 B．－2013 C．2023 D．－2023【答案】B【分析】观察两个一元一次方程可得即可求解．【详解】解：由题意得：∴，∵的解为，∴，解得：，故选：B．【点睛】本题考查了一元一次方程的解，正确找出两个式子之间的关系是解题关键．【变式训练1】已知关于的一元一次方程的解是，则关于的一元一次方程的解为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据一元一次方程的解的定义，可得，关于的方程化简为，解方程即可．【详解】解：∵关于的一元一次方程的解是，即的解是，∴∴，∴，即解得：，故选：C．【点睛】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，掌握一元一次方程的解的定义是解题的关键．【变式训练2】定义：如果两个一元一次方程的解的和为1，我们就称这两个方程为“集团方程”，例如：方程和为“集团方程”．(1)若关于x的方程与方程是“集团方程”，求m的值；(2)若“集团方程”的两个解的差为6，其中一个较大的解为n，求n的值；(3)若关于x的一元一次方程和是“集团方程”，求关于y的一元一次方程的解．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）先表示两个方程的解，再求值．（2）根据条件建立关于n的方程，再求值．（3）先求k，再解方程．【详解】（1）解：∵，∴．∵，∴．∵关于x的方程与方程是“集团方程”，∴，∴；（2）∵“集团方程”的两个解和为1，∴另一个方程的解是，∵两个解的差是6，且n为较大的解，∴，∴．（3）∵，∴．∵关于x的一元一次方程和是“集团方程”，∴关于x的一元一次方程的解为：．∵关于y的一元一次方程可化为：，令，∴．【点睛】本题考查一元一次方程的解，利用“集团方程”的定义找到方程解的关系是求解本题的关键．课后训练1．若关于的方程有正整数解，则整数的值为（

）A．或或或 B．或 C． D．【答案】B【分析】解一元一次方程，可得出原方程的解为，结合原方程有正整数解且为整数，即可得出的值．【详解】解：∵方程有解，∴，，，．又原方程有正整数解，且为整数，或．故选：B．【点睛】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握一元一次方程的解法是解题的关键．2．如果关于x的方程无解，那么m的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】只有当的系数为0时关于x的方程无解，据此求解即可．【详解】∵关于x的方程无解，∴，解得，故选：A．【点睛】本题考查了解一元一次方程，理解一元一次方程无解的定义是解题关键．3．已知为常数，且关于的方程，无论为何值，方程的根总为，则的值分别为（）A． B．C． D．【答案】D【分析】先根据原方程推出，再由无论为何值，方程的根总为进行求解即可．【详解】解：∵∴，∴，∴，∵无论为何值，方程的根总为，∴，∴，故选D．【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，正确推出是解题的关键．4．已知关于x的方程有非负整数解，则负整数a的所有可能的取值的和为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根据解方程的一般步骤解方程，再根据非负数的定义将的值算出，最后相加即可得出答案．【详解】解：，去分母，得，去括号，得，移项、合并同类项，得，将系数化为1，得，∵是非负整数解，∴取，∴或，时，的解都是非负整数，则，故选：D．【点睛】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握解方程的一般步骤是解题的关键．5．若与的解相同，则的值为．【答案】【分析】求出第一个方程的解，再代入第二个方程并求解即可得出的值．【详解】解：方程，解得：，∵与的解相同，∴，解得：．故答案为：．【点睛】本题考查同解方程，同解方程即为方程的解相同的方程．掌握同解方程的定义是解题的关键．6．已知关于x的方程有整数解，则整数k的值为【答案】3或【分析】把k当做已知量表示出方程的解，再根据方程的解为整数的条件即可得出k值．【详解】解：解关于x的方程可得，又∵方程的解为正整数，且k为整数，∴为或即可，即k的值为3，，或．所以符合整数k的值为：3或．【点睛】本题主要考查了解一元一次方程，根据解得的条件确定k的可能取值解答本题的关键．7．关于x的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为．【答案】2023【分析】将关于的一元一次方程变形，然后根据一元一次方程解的定义得到，进而可得的值．【详解】解：将关于的一元一次方程变形为，∵关于x的一元一次方程的解为，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了解一元一次方程，一元一次方程的解，熟练掌握整体思想的应用是解题的关键．8．已知关于的方程有解，那么的取值范围是．【答案】/【分析】分别讨论当时，当时，当时，方程的解的情况，然后找到符合题意的的情况进行求解即可．【详解】解：①当时，原方程化为，，；②当时，原方程化为，即，此时方程的解为范围内的全体实数，；③当时，原方程化为，综上，方程有解．故答案为：．【点睛】本题主要考查了绝对值方程，解题的关键在于能够根据题意讨论x的取值范围进行去绝对值进行求解．9．关于x的方程无解，那么m、n满足的条件是．【答案】且【分析】根据方程无解的条件即可解答．【详解】解：∵，当，∴，当，时，即；此时方程有无数个解；当，即时，此时，方程无解；综上：关于x的方程无解，且．故答案为：且．【点睛】本题考查了一元整式方程的无解问题，根据方程无解得出关于m，n的值是解题关键．10．已知关于x的方程是一元一次方程．求：(1)m的值．(2)先化简，再求值：【答案】(1)(2)，【分析】（1）一元一次方程中，一次项指数为1，系数不为0，由此可解；（2）先去括号，合并同类项，再将m的值代入求解．【详解】（1）解：关于x的方程是一元一次方程，，，，，；（2）解：，当时，原式．【点睛】本题考查一元一次方程的定义，整式的化简求值，解题的关键是根据一元一次方程中一次项指数为1求出m的值．11．讨论方程的解的情况．【答案】当，原方程无解；当时，，或；当时，，或，或，或；当时，，或，或；当时，，或【分析】分，，，四种情况解析：当时，原方程无