中考数学考点大串讲（北师大版）：专题01 丰富的图形的世界必刷压轴30题（解析版）

专题01丰富的图形的世界（压轴30题4种题型）一、生活中的立体图形1．（2023秋·山东泰安·七年级东平县实验中学校考期末）将一张正方形纸片按图①、图②所示的方式依次对折后，再沿图③中的虚线剪裁，最后将图④中的纸片打开铺平，所得到的图案是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题中所给剪纸方法，进行动手操作，答案就会很直观地呈现．【详解】解：严格按照图中的顺序进行操作，展开得到的图形如选项B中所示，故选：B．【点睛】本题考查了剪纸问题，动手能力及空间想象能力，解题的关键是学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现．2．（2023秋·全国·七年级专题练习）物理实验室有高度同为10cm的圆柱形容器A和B（如图），它们的底面半径分别为2cm和4cm，用一水龙头单独向A注水，3分钟后可以注满容器．在实验室课上，某同学将两容器在它们高度的一半用一个细水管连通（连接细管的容积忽略不计），仍用该水龙头向A注水，问6分钟后容器A中水的高度是（

）cm．（注：若圆柱体底面半径为r，高为h，体积为V，则）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】B【分析】3分钟后可以注满容器A，可以算出水的流速，从而可以得出6分钟内水龙头的出水量，然后得出答案．【详解】解：3分钟后可以注满容器A，A容器的体积为．则6分钟的注入水量为，设6分钟后容器A中水的高度是，当时，，注入水量．当时，，注入水量．当时，，注入水量故选：B．【点睛】本题考查了认识立体图形，解题关键是要读懂题目的意思，也考查了同学们的物理知识和分类讨论的思想．3．（2021秋·四川绵阳·七年级统考期中）将一个五棱柱的表面沿着某些棱剪开，展成一个平面图形，至少需要剪开（）条棱．A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【分析】五棱柱有15条棱，观察五棱柱的展开图可知没有剪开的棱的条数是6条，相减即可求出需要剪开的棱的条数．【详解】解：由图形可知：没有剪开的棱的条数是6条，则至少需要剪开的棱的条数是：15﹣6＝9（条）．故至少需要剪开的棱的条数是9条．故选：C．【点睛】本题主要考查了立体图形的展开与折叠，准确分析判断是解题的关键．4．（2023秋·七年级课时练习）把一个长方形绕它的一条边所在的直线旋转一周能得到一个圆柱体，那么把一个长为3cm，宽为2cm的长方形，绕它的一条边所在的直线旋转一周后，所得到的圆柱体的体积是cm3．（结果保留π）【答案】12π或18π/18π或12π【分析】分绕长边旋转和绕宽边旋转两种情况，分别求出对应圆柱的底面半径和高，再根据旋转的体积=底面积×高求解理解【详解】解：若绕长边3cm旋转一周，则所得的圆柱的底面半径为2cm，高为3cm，所以圆柱的体积为π·22×3=12π(cm3)；若绕宽边2cm旋转一周，则所得的圆柱的底面半径为3cm，高为2cm，所以圆柱的体积为π·32×2=18π(cm3)，故答案为：12π或18π．【点睛】本题考查平面图形旋转后所得的立体图形、圆柱体的体积，熟记圆柱的体积公式，利用分类讨论求解是解答的关键．5．（2022秋·七年级单元测试）用橡皮泥做一个棱长为4cm的正方体．如图（1），在顶面中心位置处从上到下打一个边长为1cm的正方体通孔，再在正面中心位置处（按图（2）中的虚线）从前到后打一个边长为1cm的正方体通孔，那么打孔后的橡皮泥的表面积为m2；（注意：图形（3）不用）【答案】118【分析】根据打孔后的表面积＝原正方体的表面积﹣小正方形孔的面积+孔中的四个矩形的面积，打孔后的表面积＝图（1）的表面积﹣4个小正方形孔的面积+新打的孔中的八个小矩形的面积解答即可．【详解】表面积S1＝96﹣2+4×4＝110（cm2）；表面积S2＝S1﹣4+4×1.5×2＝118（cm2）．故答案为118．【点睛】本题考查了立体图形，掌握长方体的表面积计算公式是解决问题的关键．6．（2023·全国·七年级专题练习）如图所示，由直角三角形和正方形拼成的四边形．(1)将这个四边形绕图中虚线旋转一周，可以得到一个立体图形，这能说明的事实是（选择正确的一项序号）①点动成线；②线动成面；③面动成体．(2)求得到的立体图形的体积．（，，r为圆柱和圆锥底面半径，h为圆柱和圆锥的高，结果保留π）【答案】(1)③(2)【分析】（1）由四边形绕图中虚线旋转一周，可以得到一个立体图形可知是面动成体；（2）分别求出圆柱体和圆锥体的体积，作差即可【详解】（1）∵四边形是平面图形，绕图中虚线旋转一周，可以得到一个立体图形∴是面动成体故选③（2）∵∴【点睛】本题考查面动成体，圆柱和圆锥的体积公式，记忆理解公式是解题的关键7．（2023秋·全国·七年级专题练习）综合与实践新年晚会是我们最欢乐的时候，会场上，悬挂着五彩缤纷的小装饰，其中有各种各样的立体图形．下面是常见的一些多面体：操作探究：(1)通过数上面图形中每个多面体的顶点数（）、面数（）和棱数（），填写下表中空缺的部分：多面体顶点数（）面数（）棱数（）四面体4六面体86八面体812十二面体2030通过填表发现：顶点数（）、面数（）和棱数（）之间的数量关系是，这就是伟大的数学家欧拉（L.Euler，1707—1783）证明的这一个关系式．我们把它称为欧拉公式；探究应用：(2)已知一个棱柱只有七个面，则这个棱柱是棱柱；(3)已知一个多面体只有8个顶点，并且过每个顶点都有3条棱，求这个多面体的面数．【答案】(1)表见解析，(2)五(3)6【分析】（1）通过观察，发现棱数顶点数面数；（2）根据棱柱的定义进行解答即可；（3）由（1）得出的规律进行解答即可．【详解】（1）解：填表如下：多面体顶点数（）面数（）棱数（）四面体446六面体8612八面体6812十二面体201230顶点数（）、面数（）和棱数（）之间的数量关系是，故答案为：；（2）解：一个棱柱只有七个面，必有2个底面，有个侧面，这个棱柱是五棱柱，故答案为：五；（3）解：由题意得：棱的总条数为（条），由可得,解得：，故该多面体的面数为6．【点睛】本题考查了多面体与棱柱的认识，点线面体的相关概念，正确看出图形中各量之间的关系是解题的关键．8．（2023秋·全国·七年级专题练习）观察下列多面体，并把下表补充完整.名称三棱柱四棱柱五棱柱六棱柱图形顶点数6棱数9面数5（1）根据表中的规律判断，十二棱柱有___________个面，共有___________个顶点，共有___________条棱；（2）若某个棱柱由30个面构成，则这个棱柱为___________棱柱；（3）若一个棱柱的底面多边形的边数为，则它有___________个侧面，共___________个面，共有___________个顶点，共有___________条棱；（4）观察上表中的结果，请写出，，之间关系式___________．【答案】填表见解析；（1）；（2）；（3）；（4）【分析】由三棱柱的顶点数为：，棱数为：，面数为：；四棱柱的顶点数为：，棱数为：，面数为：；五棱柱的顶点数为：，棱数为：，面数为：；六棱柱的顶点数为：，棱数为：，面数为：，即可填表．根据已知的面、顶点和棱与几棱柱的关系，可知棱柱一定有个面，个顶点和条棱，进而得出（1）（2）和（3）的答案；（4）根据表格可总结出规律得出之间的关系．【详解】解：填表如下：名称三棱柱四棱柱五棱柱六棱柱图形

顶点数

棱数面数（1）十二棱柱有个面，共有个顶点，共有条棱．故答案为：14，24，36；（2）某个棱柱由个面构成，则这个棱柱为棱柱．故答案为：28；（3）若一个棱柱的底面多边形的边数为，则它有个侧面，共有个面，共有个顶点，共有条棱．故答案为：，，，；（4）之间的关系：．故答案为：．【点睛】此题主要考查了几何规律型问题，熟记常见棱柱的特征，进而可以总结一般规律：棱柱有个面，个顶点和条棱是解题关键．二、展开与折叠9．（2023秋·福建龙岩·七年级校考开学考试）有三块相同数字的积木，摆放如下图，相对两个面的数字积最大是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由前两个图形可知，与6相邻的四个面分别为1、2、4、5，因此与6对面的是3；再由第一和第三个图形可得与1相邻的四个面分别是3、4、5、6．据此分析出各相对面的数字，即可获得答案．【详解】解：根据题意，可知1和2相对，4和5相对，3和6相对，所以，相对两个面的数字积最大是．故选：A．【点睛】本题主要考查了正方体相对面上的数字的知识，理解题意，正确分析各相对面上的数字是解题关键．10．（2023秋·湖北恩施·七年级统考期末）一个小立方块六个面分别标有字母，，，，，，从三个不同方向看到的情形如下图所示，则，，对面的字母分别是（

）A．、、 B．、、 C．、、 D．、、【答案】A【分析】根据第1和第3个图可得出字母A的所有相邻面，进而得出字母A的相对面，同理，根据第1和第2个图可知字母E的所有相邻面，进而得出字母E的相对面，由此可解．【详解】解：由第1和第3个图可知：字母A与字母D，E，B，F是相邻面，字母A与字母C是相对面．由第1和第2个图可知：字母E与字母A，D，B，C是相邻面，字母E与字母F是相对面，字母B与字母D是相对面．即，，对面的字母分别是A，B，E，故选A．【点睛】本题考查正方体相对两个面上的文字，熟练掌握正方体的相对面与相邻面是解题的关键．11．（2023春·九年级单元测试）如图所示，图中每个小正方形的大小都相同，有4个涂了阴影，另外8个都标了字母，若从标了字母的8个正方形中抽出一个，能和4个阴影部分一起折成一个无盖的正方体盒子的共有（

）个．A．4个 B．5个 C．6个 D．7个【答案】C【分析】由平面图形的折叠及正方体的展开图解题即可．【详解】解：从标了字母的8个正方形中抽出一个，能和4个阴影部分一起折成一个无盖的正方体盒子的字母有：A、B、C、D、E、G，共有6个，故选：C．【点睛】本题考查了展开图折叠成几何体的知识，解题时勿忘记四棱柱的特征及正方体展开图的各种情形．12．（2023秋·江苏盐城·七年级统考期末）将如图所示的平面展开图按虚线折叠成正方体后，其相对面上两个数之和为8，则．【答案】【分析】根据正方体展开图判断计算即可．【详解】∵∴“1”与“y”是对面，“x”与“3”是对面，∴．∴．故答案为．【点睛】本题考查了正方体展开图中相对面的找法，发挥空间想象能力，熟练掌握正方体的展开图，找出正方体的相对面是解题的关键．13．（2022秋·四川达州·七年级校考期中）有一个正方体，的对面分别是三个字母，如图所示，将这个正方体从现有位置依次翻到第1，2，…，12格，这时顶上的字母是．【答案】【分析】先确定翻到12后与12重合的面上的字母，再根据已知即可知道相对的面上的字母．【详解】解：翻到1时，与1重合；翻到2时，与2重合；翻到3时，与3重合；翻到4时，与4重合；翻到5时，与5重合；翻到6时，与6重合；翻到7时，与7重合；翻到时8，与8重合；翻到9时，与9重合；翻到10时，与10重合；翻到11时，与11重合；翻到12时，与12重合；的对面是，正方体向上一面的字母是；故答案为：．【点睛】此题考查了正方体的特征，熟练掌握正方体的特征及相对两个面上的文字是解答此题的关键．14．（2023秋·全国·七年级专题练习）如图所示，图1为一个棱长为6的正方体，图2为图1的表面展开图（数字和字母写在外表面上，字母也可以表示数），请根据要求回答问题：(1)如果正方体相对面上的两个数字之和相等，则x=___________，y=___________；(2)如果面“2”是左面，面“4”在后面，则上面是___________（填6或10或x或y）；(3)图1中，点M为所在棱的中点，在图2中找到点M的位置，直接写出图2中的面积___________．【答案】(1)12，8(2)y(3)9或45【分析】（1）根据两个面相隔一个面是对面，对面的和是14，列式可得答案；（2）根据临面，对面的关系，可得答案；（3）根据展开图面与面的关系，可得M的位置，根据三角形的面积公式，可得答案．【详解】（1）解：如果长方体相对面上的两个数字之和相等，则，解得，；故答案为：12，8；（2）解：如果面“2”是左面，面“4”在后面，则上面是y．故答案为：y；（3）解：如图：，或，故的面积为9或45，故答案为：9或45．【点睛】本题主要考查了正方体展开图面与面之间的关系，熟悉并熟练掌握展开图面与面之间的关系是解决问题的关键．15．（2023·全国·九年级专题练习）综合与实践问题情景：某综合实践小组进行废物再利用的环保小卫士行动，他们准备用废弃的宣传单制作装垃圾的无盖纸盒．操作探究：(1)若准备制作一个无盖的正方体纸盒，图1中的图形经过折叠能围成无盖正方体纸盒．(2)如图2是小明的设计图，把它折成无盖正方体纸盒后与“小”字相对的字是．(3)如图3，有一张边长为50的正方形废弃宣传单，小华准备将其四角各剪去一个小正方形，折成无盖长方体纸盒．①请你在图3中画出示意图，用实线表示剪切线，虚线表示折痕．②若四角各剪去了一个边长为6的小正方形，这个纸盒的容积．【答案】(1)C(2)环(3)①见解析；②8664【分析】（1）根据正方体的折叠，可得有5个面，依据正方体的展开图可得答案；（2）根据正方体的表面展开图的特征，得出答案；（3）①画出相应的图形即可；②先表示出折叠后的长方体的容积，再把代入求值即可．【详解】（1）∵折叠成一个无盖的正方体纸盒，∴展开图有5个面，再根据正方体的展开图的特征，可得A选项、B选项中图形不符合题意，选项C的图形符合题意，选项D的图形可以折叠出有盖的正方体的纸盒，因此选项D不符合题意．故答案为：C；（2）根据“相间、Z端是对面”可知，“小”字相对的面为“环”，答：折成无盖正方体纸盒后与“小”字相对的面为“环”；故答案为：环；（3）①所画出的图形如图所示：②设折叠后的长方体的高为x，底面是边长为的正方形，其面积为，体积为，当时，（），答：当小正方形边长为6时，纸盒的容积为8664．【点睛】本题考查正方体的表面展开图，列代数式并求值，掌握正方体的表面展开图的特征是解决问题的关键．三、截一个几何体16．（2022秋·陕西宝鸡·七年级校考期中）如图，用平面截一个几何体，该几何体的截面形状是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据截几何体所得截面的形状的判断方法进行判断即可．【详解】解：根据判断，该几何体的截面形状是矩形，故选：B．【点睛】本题考查截一个几何体，熟知判断方法是解题的关键，用一个平面截一个几何体，首先判断平面与围成几何体的面相交的线是直线还是曲线，再判断截面的形状．17．（2019秋·山东德州·七年级统考期末）下列几何体的截面分别是（）A．圆、平行四边形、三角形、圆B．圆、长方形、三角形、圆C．圆、长方形、长方形、三角形D．圆、长方形、三角形、三角形【答案】B【分析】根据平面图形得出截面.【详解】由图可知，下列几何体的截面分别是：圆、长方形、三角形、圆.故答案选B.【点睛】本题考查的知识点是认识平面图形，解题的关键是熟练的掌握平面图形.18．（2022秋·七年级课时练习）如图，所示的正方体竖直截取了一个“角”，被截取的那个“角”的体积是．【答案】15cm3【分析】根据题意可知被截取的一部分为一个直三棱柱，然后确定出底面积为和高，然后求解即可．【详解】解：根据题意可知被截取的一部分为一个直三棱柱，三棱柱的体积=×2×3×5=15（cm3）．【点睛】本题主要考查了直三棱柱体积的计算，判断出被截取的几何体的形状是解题的关键．19．（2023秋·全国·七年级专题练习）一块长方体的木块，从左面和右面分别裁去长为2厘米和5厘米的长方体，成为一个正方体后，表面积减少了84平方厘米，那么原来长方体的体积为．【答案】90立方厘米【分析】设正方体棱长为厘米，根据题意列方程可求得x的值，进而得到原长方体的长、宽、高的值，再计算体积即可.【详解】设正方体棱长为厘米，依题意得，解得，则原长方体的宽为3厘米，高为3厘米，长为厘米，则立方厘米．【点睛】此题主要考查长方体的表面积公式、体积公式的灵活运用，解题的关键是熟记公式．20．（2023秋·全国·七年级专题练习）如图的圆柱体，它的底面半径为2cm，高为6cm(1)该圆柱的截面图有几种？(2)你能截出最大的长方形吗？(3)截得的长方形面积的最大值是多少？【答案】(1)5；(2)能；(3)24．【分析】（1）根据圆柱的几何特点从不同的角度去截取可以得出5种不同的图形；（2）过上下底面圆的直径得到的截面图形为面积最大的长方形；（3）根据长方形的面积公式即可得出答案．【详解】（1）解：如图1所示，可得出以下5种图形；（2）解：如图2，截面最大的长方形，长为6cm，宽是4cm；（3）解：截面长方形的面积最大是：；故截得的长方形面积最大为．【点睛】此题考查了几何体被截能得到的形状，主要根据截面的形状不仅与被截的几何体有关，还与截面的角度和方向有关，得出截面最大的长方形是要经过上下底面圆的直径是解决本题的关键．21．（2023秋·全国·七年级专题练习）一个圆柱的底面半径是，高是，把这个圆柱放在水平桌面上，如图．(1)如果用一个平面沿水平方向去截这个圆柱，所得截面的形状是；(2)如果用一个平面沿竖直方向去截这个圆柱，所得截面的形状是；(3)请你求出在（2）的条件下所截得的最大截面面积．【答案】(1)圆(2)长方形(3)【分析】（1）用水平的平面去截，所得到的截面形状与圆柱体的底面相同，是圆形的；（2）用竖直的平面去截，所得到的截面形状为长方形的；（3）求出当截面最大时，长方形的长和宽，即可求出面积．【详解】（1）解：所得的截面是圆，故答案为：圆．（2）所得的截面是长方形，故答案为：长方形．（3）在（2）的条件下，经过底面圆心的截面，所截得的最大截面面积为：（）．因此，在（2）的条件下所截得的最大截面面积为．【点睛】本题考查认识立体图形和截几何体，掌握立体图形的特征和截面的形状是得出正确答案的关键．四、从三个方向看物体的形状22．（2023秋·全国·七年级专题练习）如图，该立体图形的左视图是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．【详解】解：该立体图形的左视图为D选项．故选：D．【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．23．（2022秋·陕西西安·七年级西安一中校考阶段练习）下列几何体是由4个相同的小正方体搭成的，其中从左面看到的几何体的形状图与其他三个不同的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先画出每个几何体从左面看的形状图,比较选择即可．【详解】∵从左面看的形状图为；∵从左面看的形状图为；∵从左面看的形状图为；∵从左面看的形状图为；故选B．【点睛】本题考查了从不同方向看几何体的形状图，正确画出形状图是解题的关键．24．（2023秋·全国·七年级专题练习）如图，将小立方块①从4个大小相同的小立方块所搭几何体中移走后，所得几何体（）A．俯视图改变，左视图改变B．俯视图不变，左视图改变C．主视图改变，左视图不变D．主视图不变，左视图不变【答案】A【分析】根据从不同的方向得出新几何体的三视图与原几何体的三视图相比，主视图没有发生改变，左视图和俯视图都发生了变化．【详解】解：将小立方块①从4个大小相同的小立方块所搭几何体中移走后，所得几何体的主视图不变，左视图由原来的2列变为1列，俯视图由原来的两层变为一层．故选：A．【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，根据立体图形得出其三视图是解题关键，注意三种视图的观察角度．25．（2022秋·山西太原·七年级统考期中）用若干大小相同的小立方块搭一个几何体，使得从左面和从上面看到的这个几何体的形状图如图所示．请从A，B两题中任选一题作答．我选择___________题．A．搭成该几何体的小立方块最少有个．B．根据所给的两个形状图，要画出从正面看到的形状图，最多能画出种不同的图形．【答案】67【分析】A．根据从左面看和从上面看的图形，在从上面看的图形上相应位置标出摆放的数量即可；B．分别在从上面看到的图形上标出摆放的各种不同的情况即可．【详解】解：A．如图，是符合条件的其中一种摆放方法，共需要6个小立方体，故答案为：6；B．将不同情况的摆放方式，在俯视图上标注出来如下：共有7种不同的摆放方式，故答案为：7．【点睛】本题考查了从不同方向看简单组合体，理解视图的定义，掌握简单组合体的画法及形状是正确解答的前提．26．（2023秋·全国·七年级专题练习）如图是由若干个完全相同的小正方体堆成的几何体．在该几何体的表面（除最底层）喷上黄色的漆，若现在你手头还有一个相同的小正方体添上去，考虑颜色，要使从正面看、从左面看和从上面看到的形状图保持不变，则新添的正方体至少要在个面上着色．【答案】2【分析】分析几何体，找到可以保证几何体从正面看、从左面看和从上面看到的形状图保持不变的正方体放置位置，计算正方体的着色面即可．【详解】解：为保证几何体从正面看、从左面看和从上面看到的形状图保持不变，正方体添加的位置如下图所示，∵小正方体添加后，左面、底面和背面被遮挡且不从右面看，∴至少需要在正面、顶部两个面上着色，故答案为：2．【点睛】本题考查几何体，解题的关键是找出小正方体的添加位置．27．（2022秋·七年级课时练习）用10个棱长是1cm的小正方体摆出一个立体图形，它的主视图如图①所示，且图中任意两个相邻的小正方体至少有一条棱共享，或有一面共享．现有一张3cm×4cm的方格纸（如图②）．将这10个小正方体依主视图摆放在方格纸中的方格内，摆出的几何体表面积最大为cm2【答案】52【分析】将正方体露在外面部分最多时，表面积最大，如图，10个小正方体像俯视图中这样摆放时，几何体的表面积最大．【详解】解：如图，10个小正方体像俯视图中这样摆放时，几何体的表面积最大，最大值＝3×6+2×10+14＝52（cm2），故答案为：52．【点睛】本题考查三视图，几何体的表面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．28．（2022秋·四川广安·七年级统考期末）在平整的地面上，有若干个完全相同的棱长为的小正方体堆成一个几何体，如图所示．(1)这个几何体由______个小正方体组成，请画出这个几何体从不同方向得到的平面图形．(2)如果在这个几何体的表面喷上黄色的漆，则在所有的小正方体中，有______个正方体只有一个面是黄色，有______个正方体只有两个面是黄色，有______个正方体只有三个面是黄色．【答案】(1)10，见解析(2)1，2，3【分析】（1）从左往右三列小正方体的个数依次为：6，2，2，相加即可；由已知条件可知，从正面看有3列，每列小正方数形数目分别为3，1，2；从左边看有3列，每列小正方形数目分别为3，2，1；从上面看有3列，每列小正方数形数目分别为3，2，1．据此可画出图形；（2）只有一个面是黄色的在第一列最底层中间那个；有2个面是黄色的应是第一列最底层最后面那个和第二列最后面那个；只有三个面是黄色的应是第一列第二层最后面的那个，第二列最前面那个，第三列最底层那个．【详解】（1）解：，所以，这个几何体由10个小正方体组成．故答案为：10；