江苏省盐城市响水中学2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题（含答案）

江苏省响水中学2023~2024学年度秋学期高二年级期中考试数学试题考生注意：1、试卷分第I卷和第II卷，共4页。2、满分150分，考试试卷120分钟。第I卷选择题（60分）一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.椭圆的焦点坐标为（）A. B. C. D.2.已知直线：，：.若，则的值为（）A. B. C.1 D.1或3.在中国古代诗词中，有一道“八子分绵”的名题：“九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人分十七，要作第八数来言”.题意是把996斤绵分给8个儿子做盘缠.按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多分17斤绵.则年龄最小的儿子分到的绵是（）A.65斤 B.82斤 C.184斤 D.201斤4.已知双曲线的焦点在轴上，渐近线方程为，则的离心率为（）A. B.2 C. D.5.已知函数的导函数为，且，则（）A. B. C. D.6.过点引直线与圆相交于，两点，为坐标原点，当面积取最大值时，直线的斜率为（）A. B. C. D.7.若正项数列中，，，则的值是（）A. B.C. D.8.已知实数，满足，则的取值范围是（）A. B. C. D.二、多项选择题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.）9.已知曲线：，则下列结论正确的是（）A.若，则是圆，其半径为B.若，，则是两条直线C.若，则是椭圆D.若，则是椭圆，其焦点在轴上10.设数列的前项和为，关于数列，下列命题中正确的是（）A.若，则既是等差数列又是等比数列B.若（，为常数），则是等差数列C.若，则是等比数列D.若是等比数列，则，，也成等比数列11.已知抛物线：的焦点为，为上一动点，点，则（）A.当时，B.当时，在点处的切线方程为C.的最小值为3D.的最大值为12.为提高学生学习数学的热情，某校积极筹建数学兴趣小组，小组成员仿照教材中等差数列和等比数列的概念，提出“等积数列”的概念：从第二项起，每一项与前一项之积为同一个常数（不为0）.已知数列是一个“等积数列”，，，其前项和为，则下列说法正确的是（）A. B.C. D.第II卷非选择题（90分）三、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13.曲线在处的切线方程为______.14.已知，分别是椭圆：的左、右两个焦点，若椭圆上存在四个不同的点，使得的面积为，则正实数的取值范围为______.15.如图，将数列中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成数表，已知表中的第一列、、、…构成一个公比为2的等比数列，从第2行起，每一行都是一个公差为的等差数列，若，，则______.16.已知圆：，圆：交于，两点，在第二象限，则______；若过点的弦交两圆于，，且，则直线的斜率是______.四、解答题：（本题共6小题，共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在平面直角坐标系中，设直线：.（1）求证：直线经过第一象限；（2）当原点到直线的距离最大时，求直线的方程.18.已知数列满足：，，设.（1）求证：是等比数列；（2）求数列的通项公式；（3）求数列的前项和.19.在平面直角坐标系中，点，直线：，设的半径为1，圆心在直线上.（1）若圆心也在直线上，过点作的切线，求切线的方程；（2）若上存在点，使得，求圆心的横坐标的取值范围.20.已知椭圆：，点、分别是椭圆的左焦点、左顶点，过点的直线（不与轴重合）交椭圆于，两点.（1）求椭圆的标准方程；（2）若，求的面积；（3）是否存在直线，使得点在以线段为直径的圆上，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.21.已知数列的前项和为，满足.（1）求数列的通项公式；（2）记，是数列的前项和，若对任意的，不等式都成立，求实数的取值范围.22.已知抛物线：上有一动点，，过点作抛物线的切线交轴于点.（1）判断线段的垂直平分线是否过定点？若过，求出定点坐标；若不过，请说明理由；（2）过点作的垂线交抛物线于另一点，若切线的斜率为，设的面积为，求的最小值.响水中学2023~2024学年度秋学期高二年级期中考试数学参考答案1.B2.A3.C4.A5.D6.C7.C8.D9.BD 10.BC 11.ACD 12.ACD13. 14. 15.4 16.；17.【详解】（1）方程可化为，由解得所以直线过定点，因为在第一象限，所以直线经过第一象限.（2）由题意可得，当时，原点到直线的距离最大，因为，所以直线的方程为，即.18.【详解】（1）由，，可得，因为，即，所以数列是首项为1，公比为4的等比数列.（2）由（1）可得：，即，所以.（3）由（2）可知：，则，可得，上面两式相减可得：，所以.19.【详解】（1）由题设，知圆心是直线和的交点，联立方程，解得，即两直线的交点坐标为，所以点的坐标为，圆的方程为，当过点的切线的斜率不存在时，切线方程为，不满足条件；当过点的切线的斜率存在时，设切线方程为，即，由题意得，解得，所以切线方程为或；综上所述：所求切线方程为或.（2）因为圆心在直线上，所以设点的坐标为，圆的方程为，设点，因为，所以，化简得，即，所以点在以点为圆心，2为半径的圆上.由题意，点在圆上，所以圆与圆有公共点，则，即，解得，所以圆心的横坐标的取值范围为.20.【详解】（1）由左焦点、左顶点可知：，，则，所以椭圆的标准方程为.（2）因为，，则过，的直线的方程为：，即，解方程组，解得或，所以的面积.（3）若点在以线段为直径的圆上，等价于，即，设，则，因为，，则，令，解得：或，又因为，则不存在点，使得，所以不存在直线，点在以线段为直径的圆上.21.【详解】（1）因为数列的前项和满足，当时，，两式相减得：，即，当时，，解得：，可知数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以.（2）由（1）可知：，所以，对任意的，不等式都成立，即，化简得：，设，因为，所以单调递减，则，所以，则，所以实数的取值范围是.22【详解】（1）依题意可知切线的斜率存在，且斜率大于0.