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文档简介
2023年上海市中考数学试卷
一、选择题(本大题共6小题,共24.0分。在每小题列出的选项中,选出符合题目的一项)
1.下列运算正确的是()
3252
A.a,+M=“3B.M=a6Q(a)=aD.Va=a
2.在分式方程1+名=5中,设笠^=丫,可得到关于y的整式方程为()
A.V+5y+5=0B.y2—5y+5=0C.y2+5y+1=0D.y2—5y+1=0
3.下列函数中,函数值y随x的增大而减小的是()
A.y=6xB.y=—6xC.y=(D.y=-(
4.如图所示,为了调查不同时间段的车流量,某学校的兴趣小组统计了不同时间段的车流
量,如图是各时间段的小车与公车的车流量,则下列说法正确的是()
A.小车的车流量与公车的车流量稳定
B.小车的车流量的平均数较大
C.小车与公车车流量在同一时间段达到最小值
D.小车与公车车流量的变化趋势相同
5.在四边形力BCD中,AD//BC,48=CD.下列说法能使四边形4BCD为矩形的是()
A.ABHCDB.AD=BCC.NA=乙BD.Z-A=zD
6.已知在梯形4BCD中,连接力C,BD,且4c1BD,设力B=a,CD=b.下列两个说法:①"=
¥,(a+b);(2)AD=a2+b2<则下列说法正确的是()
A.①正确②错误B.①错误②正确C.①②均正确D.①②均错误
二、填空题(本大题共12小题,共48.0分)
7.分解因式:n2-9=.
8.化简:/-一兰的结果为__.
1-x1-x
9.已知关于x的方程Vx-14=2,则%=.
10.函数/(x)=力的定义域为.
11.已知关于x的一元二次方程a/+6x+l=0没有实数根,那么a的取值范围是.
12.在不透明的盒子中装有一个黑球,两个白球,三个红球,四个绿球,这十个球除颜色外
完全相同.那么从中随机摸出一个球是绿球的概率为.
13.如果一个正多边形的中心角是20。,那么这个正多边形的边数为.
14.一个二次函数y=ax2+bx+c的顶点在y轴正半轴上,且其对称轴左侧的部分是上升的,
那么这个二次函数的解析式可以是.
15.如图,在△4BC中,点、D,E在边4B,AC上,24。=BD,CE〃BC,连接DE,设向量同=a.
AC=b>那么用落b表示DE=.
16.垃圾分类(Refusesorting),是指按照垃圾的不同成分、属性、利用价值以及对环境的
影响,并根据不同处置方式的要求,分成属性不同的若干种类.某市试点区域的垃圾收集情
况如扇形统计图所示,已知可回收垃圾共收集60吨,且全市人口约为试点区域人口的10倍,
那么估计全市可收集的干垃圾总量为.
17.如图,在△ABC中,ZC=35°,将△ABC绕着点4旋转以0。<a<180。),旋转后的点B
落在BC上,点B的对应点为。,连接AD,AD是4B4C的角平分线,则戊=.
18.在AABC中,AB=7,BC=3,zC=90。,点。在边4c上,点E在C4延长线上,且CD=DE,
如果OB过点4,OE过点。,若OB与OE有公共点,那么OE半径r的取值范围是.
三、解答题(本大题共7小题,共78.0分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
19.(本小题10.0分)
计算:弼+熹一0厂2+|门一3|.
20.(本小题10.0分)
(>x4-6
解不等式组:/3x<一+5.
21.(本小题10.0分)
如图,在。。中,弦4B的长为8,点C在B。延长线上,且COSN4BC="OC=^OB.
(1)求。。的半径;
(2)求4BAC的正切值.
22.(本小题10.0分)
“中国石化”推出促销活动,一张加油卡的面值是1000元,打九折出售.使用这张加油卡加
油,每一升油,油的单价降低0.30元.假设这张加油卡的面值能够一次性全部用完.
(1)他实际花了多少钱购买会员卡?
(2)减价后每升油的单价为y元/升,原价为x元/升,求y关于x的函数解析式(不用写出定义域
).
(3)油的原价是7.30元/升,求优惠后油的单价比原价便宜多少元?
23.(本小题12.0分)
如图,在梯形力BCD中力D//BC,点F,E分别在线段BC,AC上,且4凡4c=/.ADE,AC=AD.
(1)求证:DE=AF-.
(2)若N4BC=aDE,求证:AF2=BF-CE.
24.(本小题12.0分)
在平面直角坐标系xOy中,已知直线y=1x+6与x轴交于点4,y轴交于点B,点C在线段48上,
以点C为顶点的抛物线M:y=Q/+加;+c经过点8.
yA
(1)求点A,B的坐标;
(2)求b,c的值;
(3)平移抛物线M至N,点C,B分别平移至点P,D,连接CD,且CC〃x轴,如果点「在方轴上,
且新抛物线过点8,求抛物线N的函数解析式.
25.(本小题14.0分)
如图(1)所示,已知在△力BC中,AB=4C,。在边4B上,点尸为边OB中点,以。为圆心,BO为
半径的圆分别交CB,4c于点D,E,连接EF交。。于点G.
(1)如果OG=DG,求证:四边形CEGD为平行四边形;
(2)如图(2)所示,连接OE,如果484c=90。,乙OFE=KDOE,AO=4,求边。B的长;
(3)连接BG,如果AOBG是以0B为腰的等腰三角形,且4。=。凡求需的值.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】
【分析】
利用同底数基的除法,嘉的乘方,合并同类项,二次根式的化简,对各项进行运算即可.
本题主要考查同底数塞的除法,暴的乘方,合并同类项,二次根式的化简,解答的关键是对相应
的运算法则的掌握.
【解答】
解:4、as4-a2=a3,故A符合题意;
B、a3+a3=2a3,故B不符合题意;
C、(。3)2=。6,故c不符合题意;
。、<X=|a|,故。不符合题意;
故选A.
2.【答案】D
【解析】
【分析】
如果与l=y,那么名=:原方程变为:y+i-5=0,方程两边乘最简公分母y,可以把分
式方程转化为整式方程.
本题考查了用换元法使分式方程简便,掌握换元后再在方程两边乘最简公分母可以把分式方程转
化为整式方程是关键.
【解答】
解:设竽=y,则击得,
原方程变为y+;-5=0,
方程两边都乘y得y2+1-5y=0.
即y2-5y+1=0.
故选D
3.【答案】B
【解析】
【分析】
根据一次函数和反比例函数的性质,逐项分析即可得到答案.
本题主要考查了一次函数、反比例函数的性质,熟练掌握函数的性质是解题的关键.
【解答】
解:4、y=6x,k=6>0,y随x的增大而增大,不符合题意;
8、y=-6x,k=-6<0,y随x的增大而减小,符合题意;
C、y=*fc=6>0,在每个象限内,y随x的增大而减小,不符合题意;
。、y=-^,k=-6<0,在每个象限内,y随x的增大而增大,不符合题意;
故选B.
4.【答案】B
【解析】
【分析】
根据折线统计图逐项判断即可得.
本题考查了折线统计图,读懂折线统计图是解题关键.
【解答】
解:力、小车的车流量不稳定,公车的车流量较为稳定,则此项错误,不符合题意;
8、小车的车流量的平均数较大,则此项正确,符合题意;
C、小车车流量达到最小值的时间段早于公车车流量,则此项错误,不符合题意;
。、小车车流量的变化趋势是先增加、再减小、又增加;公车车流量的变化趋势是先增加、再减
小,则此项错误,不符合题意;
故选B.
5.【答案】C
【解析】
【分析】
结合平行四边形的判定和性质及矩形的判定逐一分析即可.
本题主要考查平行线的性质,平行四边形的判定和性质及矩形的判定等知识,熟练掌握以上知识
并灵活运用是解题的关键.
【解答】
解:A:-AB//CD,AD//BC,AB=CD
.••四边形4BCD为平行四边形而非矩形,故A不符合题意;
B「:AD=BC,AD//BC,AB=CD
四边形4BC0为平行四边形而非矩形,故B不符合题意;
C:vAD//BC
•••NA+=180°
vZ.A=乙B
Z.A==90"
•:AB=CD,AD//BC
:.“=ND=90°,
.•・四边形ABC。为矩形,故C符合题意;
D:-:AD//BC
Z.A+Z.B=180°
•••/.A-Z.D
Z.D+Z.B=180°
••・四边形ABCD不一定是矩形,故。不符合题意;
故选C.
6.【答案】D
【解析】
【分析】
根据已知及结论,作出图形,进而可知当梯形ZBCD为等腰梯形,即4C=BC,AB〃C。时,
①4C=1^(a+b);②AD=黄。2+炉,其余情况得不出这样的结论,从而得到答案.
本题考查梯形中求线段长,涉及梯形性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定性质、
勾股定理、等腰直角三角形的判定与性质等知识,熟练掌握相关几何判定与性质是解决问题的关
键.
【解答】
解:过B作BE〃CA,交DC延长线于E,如图所示:
AB
若梯形ABC。为等腰梯形即AD=BC,,AB〃C。时,
.,・四边形ACEB是平行四边形,
CE=AB-,AC=BE,
-AB//DC9
•••Z-DAB=4CBA,
vAB=AB,
/.△DABCBA(SAS)
・・・AC=BD,即BD=BE,
又•・•ACJ.8D,
・•・BE1BD,
在RtZkBDE中,BD=BE,AB=a,CD=b,则DE=DC+CE=b+a,
.-.AC=BE=-^=^DE=^(a+b),此时①正确;
过B作BF1DE于F,如图所示:
在Rt△中,BD=BE,AB=a,CD=b,DE=b+a,
在RMBDE中,BD=BE,
BF1DE
.・.BF=FE=DE=g(a+b),FC=FE-CE=1(a+ft)—a=^(6-a),
BC=VBF2+FC2=J(竽尸+(殍尸=a2+炉,此时②正确;
而题中,梯形4BCD是否为等腰梯形,并未确定;梯形力BCD是4B〃CC还是4D〃BC,并未确定,
••.无法保证①②正确,
故选D.
7.【答案】(n—3)(n+3)
【解析】
【分析】
利用平方差公式进行因式分解即可.
本题考查因式分解,熟练掌握平方差公式是解题的关键.
【解答】
解:n2—9=(n—3)(n+3),
故答案为0-3)(n+3).
8.【答案】2
【解析】
【分析】
根据同分母分式的减法计算法则解答即可.
本题考查了同分母分式减法计算,熟练掌握运算法则是解题关键.
【解答】
解:乙一卢=守=竽辿=2;
1-x1-x1-x1-x
故答案为2.
9.【答案】18
【解析】
【分析】
根据二次根式的性质,等式两边平方,解方程即可.
本题主要考查二次根式与方程的综合,掌握含二次根式的方程的解法是解题的关键.
【解答】
解:根据题意得,%-14>0,即XN14,
V%—14=2,
等式两边分别平方,x-14=4
解得:x=18,18>14,符合题意,
故答案为18.
10.【答案】x*23
【解析】
【分析】
根据分式有意义的条件可进行求解.
本题主要考查函数及分式有意义的条件,熟练掌握函数的概念及分式有意义的条件是解题的关键.
【解答】
解:由/'(乃二力可知:x-230,
・•・xH23;
故答案为x片23.
11.【答案】a>9
【解析】
【分析】
根据一元二次方程根的判别式可进行求解.
本题主要考查一元二次方程根的判别式,熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键.
【解答】
解:•••关于x的一元二次方程a-+6x+1=0没有实数根,
.・.A=b2-4ac=36—4aV0,
解得:a>9;
故答案为a>9.
12.【答案】|
【解析】
【分析】
根据简单事件的概率公式计算即可得.
本题考查了求概率,熟练掌握概率公式是解题关键.
【解答】
解:因为在不透明的盒子中,总共有10个球,其中有四个绿球,并且这十个球除颜色外,完全相
同,所以从中随机摸出一个球是绿球的概率为p=2=l,
故答案为|.
13.【答案】18
【解析】
【分析】
根据正边形的中心角的度数为360。进行计算即可得到答案.
本题考查的是正多边形内角和中心角的知识,掌握中心角的计算公式是解题的关键.
【解答】
解:根据正n边形的中心角的度数为360。+n,
则n=360+20=18,
故这个正多边形的边数为18,
故答案为18.
14.【答案】y=-x2+1(答案不唯一)
【解析】
【分析】
根据二次函数y=。/+必+。的顶点在、轴正半轴上,且其对称轴左侧的部分是上升的,可确
定
a<0,对称轴%=-;=0,c>0,从而确定答案.
2a
本题考查二次函数的性质,能根据增减性和二次函数图象与y轴的交点确定系数的正负是解题的
关键.
【解答】
解:••,二次函数y=ax2+b%+c的对称轴左侧的部分是上升的,
••・抛物线开口向下,即aV0,
•・•二次函数y=ax2+bx+c的顶点在y轴正半轴上,
,—名=0,即b=0,c>0,
2a
二二次函数的解析式可以是y=-%2+1(答案不唯一).
15.(答案】gb-g五
【解析】
【分析】
先根据向量的减法可得方=石-五,再根据相似三角形的判定可得△力DEs/iABC,根据相似三
角形的性质可得DE=gBC,由此即可得.
本题考查了向量的运算、相似三角形的判定与性质,熟练掌握向量的运算是解题关键.
【解答】
解:•.•向量荏=出=b^
■.BC=AC-AB=b-a>
•••2AD=BD,
.AD1
AB3
•・,DE//BC,
*'•△ADEIs.ABC,
.竺_竺_工
^~BC~AB=39
:.DE=揶1,
:.DE=^BC=^b-^a,
故答案为!另一g五.
16.【答案】1500吨
【解析】
【分析】
由题意易得试点区域的垃圾收集总量为300吨,然后问题可求解.
本题主要考查扇形统计图,熟练掌握扇形统计图是解题的关键.
【解答】
解:试点区域可回收垃圾占比:1-50%-29%-1%=20%,
试点区域可回收垃圾总量:60+20%=300(吨)
市可收集的干垃圾总量为300x50%x10=1500(吨);
故答案为1500吨.
17.【答案】(工豹。
【解析】
【分析】
如图,AB=AD,4BAD=a,根据角平分线的定义可得"2。=4BAD=a,根据三角形的外角
性质可得=35°+a,即得NB=AADB=35。+a,然后根据三角形的内角和定理求解即可.
本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质以及三角形的内角和等知识,熟
练掌握相关图形的性质是解题的关键.
【解答】
解:如图,
根据题意可得:AB=AD,/.BAD=a,
•••AC是484c的角平分线,
/.CAD—/.BAD—a,
vZ.ADB=NC+Z.CAD=35°+a,AB=AD,
■■乙B=Z.ADB=35°+a,
则在△ABC中,•••NC+4CAB+/B=180。,
.••35°+2a+35°+a=180°,
解得:a=(^)。;
故答案为(岑)°
18.【答案】<r<2AHL0
【解析】
【分析】
先画出图形,连接BE,利用勾股定理可得BE=利9+4产,AC=2CU,从而可得LIU<rS
2NT10.再根据与OE有公共点可得一个关于r的不等式组,然后利用二次函数的性质求解即
可得.
本题考查了勾股定理、圆与圆的位置关系、二次函数与不等式,根据圆与圆的位置关系正确建立
不等式组是解题关键.
【解答】
解:由题意画出图形如下:连接BE,
•・•。8过点4,且4B=7,
.•.08的半径为7,
••,OE过点D,它的半径为r,且C0=0E,
:・CE=CD+DE=2r,
vBC=3,Z-C=90°,
BE=VBC2+CE2=V9+4r2,AC=VAB2-BC2=2-7-10>
在边AC上,点E在。1延长线上,
.(CD<4c即[r<2<T0
“ICE>AC"(2r>2中’
•••V10<r<2V10,
♦•,08与09有公共点,
V9+4r2W7+T•①
AB-rWBEWAB+r,
,7—r<79+4r2(2)
不等式①可化为3r2-14r-40<0,
解方程3r2-I4r-40=0得:r=一2或r=y,
画出函数y=3r2-14r-40的大致图象如下:
由函数图象可知,当yWO时,-2WrW与,
即不等式①的解集为一2<r<^,
同理可得:不等式②的解集为r>2或r<-y,
则不等式组的解集为2<r<y,
又•:<10<r<2<l0-
半径r的取值范围是C由<r<2V10,
故答案为CU<r<2<l0.
19.【答案】解:原式=2+口-2-9+3--石
【解析】根据立方根、负整数指数累及二次根式的运算可进行求解.
本题主要考查立方根、负整数指数惠及二次根式的运算,熟练掌握立方根、负整数指数累及二次
根式的运算是解题的关键.
(3%>%+6①
20.【答案】解:1「小
(-%<-x+5@
解不等式①得:x>3,
解不等式②得:%<y,
则不等式组的解集为3<%<孚
【解析】先分别求出两个不等式的解集,再找出它们的公共部分即为不等式组的解集.
本题考查了解一元一次不等式组,熟练掌握不等式组的解法是解题关键.
21.【答案】解:(1)如图,延长BC,交。。于点D,连接力D,
由圆周角定理得:^BAD=90°,
•••弦4B的长为8,且cos乙4BC=.
.AB_8_4
••^,
BDBD5
解得80=10,
.•.O。的半径为=5.
(2)如图,过点C作CE148于点E,
力,——、
••・。。的半径为5,
・•・0B=5,
VOC=\oB,
3IS
:.BC=^0B=y,
4
vcosZJlBC=
解得BE=6,
•••AE=AB-BE=2,CE=VBC2-BE2=
NB4C的正切值为黑=I
AE4
【解析】(1)延长BC,交。。于点D,连接AD,先根据圆周角定理可得4BAD=90。,再解直角三
角形可得BC=10,由此即可得;
(2)过点C作CE_L4B于点E,先解直角三角形可得BE=6,从而可得4E=2,利用勾股定理可得
CE=l,则根据正切的定义求解即可.
本题考查了圆周角定理、解直角三角形、勾股定理等知识点,熟练掌握解直角三角形的方法是解
题关键.
22.【答案】解:(1)由题意知,1000x0.9=900(元),
答:实际花了900元购买会员卡;
(2)由题意知,y=0.9(%-0.30),整理得y=0.9%-0.27,
y关于x的函数解析式为y=0.9x-0.27;
(3)当x=7.30,则y=6.30,
•••7.30-6.30=1.00,
优惠后油的单价比原价便宜1.00元.
【解析】(1)根据1000X0.9,计算求解即可;
(2)由题意知,y=0.9。-0.30),整理求解即可;
(3)当x=7.30,则y=6.30,根据优惠后油的单价比原价便宜(x-y)元,计算求解即可.
本题考查了有理数乘法应用,一次函数解析式,一次函数的应用.解题的关键在于理解题意,正确
的列出算式和一次函数解析式.
23.【答案】(1)证明:---AD//BC,
:.Z-DAE=乙ACF,
Z.DAE=/.ACF
在△OAE和中,\AD=CA
Z-ADE=/-CAF
DAE三△4CF(4S4),
••・DE=AF•
(2)证明:•・•△n4Emz\4C9,
・•・Z-AFC=Z.DEA,
・・・180°-/.AFC=180°-乙DEA,即N/FB=乙CED,
在SBF和ACDE中,{琮上;温
・•・△ABF〜ACDE,
tAF_BF
''CE='DEf
由(1)己证:OE=AF,
tAF_BF
***~CE=AF9
・・・AF2=BF・CE・
【解析】(1)先根据平行线的性质可得乙ZME=^4CF,再根据三角形的全等的判定可得△ZMEw
△ACF,
然后根据全等的三角形的性质即可得证;
(2)先根据全等三角形的性质可得N4FC=乙。瓦4,从而可得Z4FB=4CED,再根据相似三角形的
判
定可得△ABFfCDE,然后根据相似三角形的性质即可得证.
本题考查了三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质,熟练掌握相似三角形的判定与
性质是解题关键.
24.【答案】解:(1),直线y=4-6与北轴交于点A,y轴交于点8,
.••当%=0时,得y=6,
・・・B(0,6),
当y=0时,+6=0,解得%=—8,
所以4(一8,0),
3
4-
则可设抛物线的解析式为:y=a(x—m)2+-m4-6,
♦.•抛物线M经过点B,
将B(0,6)代入得:cun2+;m+6=6,
vm。0,
3
am=—4
即TH=一工
・•・将?n=-专代入'=a(x-7n7++6,
整理得:y=ax2+|x+6,
所以b=|,c=6;
(3)如图:
•••CZ)//x轴,点P在%轴上,
•••设P(p,0),C(m4m+6),
4
•••点C,B分别平移至点P,D,
二点B,点C向下平移的距离相同,
33
•*»-771+6=6—(彳??2+6),
解得:m=-4,
由(2)知?72=——9
—I?
.•・抛物线N的函数解析式为:y=^(x-p)2,
将B(0,6)代入可得:p=±4/^,
••・抛物线N的函数解析式为:y=裁%-40或y=(%+4V-2)2.
【解析】(1)根据题意,分别将%=0,、=0代入直线丫=,%+6即可求得;
(2)设C(7n,,zn+6),得到抛物线的顶点式为y=Q(%-加尸++6,将B(0,6)代入可求得m=
3
4Q'
进而可得到抛物线解析式为y=ax2+|x+6,即可求得b,c;
(3)根据题意,设P(p,0),C(m,lm+6),根据平移的性质可得点B,点C向下平移的距离相同,即
可求得m=—4,。=得,然后得到抛物线N解析式为:好[0―p)2,将8(0,6)代入可得「=
±4「,即可得到答案.
本题考查了求一次函数与坐标轴的交点坐标,求抛物线的解析式,平移的性质,二次函数的图象
和性质等,解题的关键是根据的平移性质求出m和a的值.
25.【答案】(1)证明:♦.TC=4B
・••乙ABC=Z.C
vOD=OB
:.Z.ODB=Z.ABC,
・•・zC=Z-ODB
・•.OD//AC,
・・・/是08的中点,OG=DG,
・・・”是AOBD的中位线,
/.FG//FC,BPGE//CD,
・•・四边形CEGD是平行四边形;
(2)解:・・・40FE=4D0E,AO=4,点/边0B中点,
设NOFE=乙DOE=a,OF=FB=a,则0E=OB=2a
由⑴可得0D〃4c
••・Z.AEO—乙DOE—a,
・•・Z-OFE=Z-AEO=a,
又•・,Z.A=Z.A
•••△AEO^LAFE,
AE_AO
'''AF=AE
即AE?=AO-AF,
V44=90°,
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