上海市浦东新区2022-2023学年高一下学期期末数学试题

上海市浦东新区2022-2023学年高一下学期期末数学试题一、填空题1．角2023°是第象限角.2．平面上两点A(2，1)，B(−3，3．已知复数z=1i，i是虚数单位，则z的虚部为4．已知sinα=45，且α∈(π25．若1−i是实系数一元二次方程x2+px+q=0的一个根，则p⋅q=6．已知向量a=(1，2)，b=(2，−2)7．化简sin(2π−x)tan8．设向量a、b满足|a|=2，|b|=39．若θ为锐角，则logsin10．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴.一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为S1，圆面中剩余部分的面积为S2，当S1与S211．已知a=(1，2)，b=(1，1)，且a与12．在平面直角坐标系中，A(0，0)，B(1，2)两点绕定点P按顺时针方向旋转二、单选题13．“θ=2kπ+π4，k∈Z”是“A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件14．下列命题中正确的是（）A．终边重合的两个角相等 B．锐角是第一象限的角C．第二象限的角是钝角 D．小于90°的角都是锐角15．下列说法正确的是（）A．若|a|=|b|，则B．若|a|=|b|，且aC．平面上所有单位向量，其终点在同一个圆上；D．若a//b，则a与16．已知i为虚数单位，下列说法中错误的是（）A．复数z1对应的向量为OZ1，复数z2对应的向量为OB．互为共轭复数的两个复数的模相等，且|C．复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模D．若复数z满足|z−i|=5，则复数z对应的点在以(1，0)三、解答题17．已知sinθ=45，cosφ=−18．已知|a|=4，|b|=8，a与（1）求|a（2）当k为何值时，(a19．某实验室一天的温度（单位：℃）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系：f(t)=10−3cosπ（1）求实验室这一天的最大温差；（2）若要求实验室温度不高于11°C，则在哪段时间实验室需要降温？20．已知△ABC的周长为4(2+1)，且（1）求边长a的值；（2）若S△ABC=3sin21．已知a=(2cosx（1）求函数y=f(x)的最小正周期；（2）求函数y=f(x)的单调减区间；（3）若函数y=f(x+φ)（其中φ∈[0，π]）是R上的偶函数，求

答案解析部分1．【答案】三【知识点】象限角、轴线角【解析】【解答】∵2023°=5×360°+223°，又223°在第三象限，∴2023°在第三象限.

故答案为：三

【分析】由2023°=5×360°+223°即可判断.2．【答案】26【知识点】向量的模；平面向量的坐标运算【解析】【解答】由题意得AB→=−5，1，∴AB→=3．【答案】-1【知识点】虚数单位i及其性质；复数代数形式的乘除运算【解析】【解答】由题意得z=1i=−ii−i=−i，∴z的虚部为−1.4．【答案】24【知识点】二倍角的正切公式；同角三角函数间的基本关系【解析】【解答】又题意得cosα=−35，∴tanα=sinαcosα=−435．【答案】-4【知识点】一元二次方程的解集及其根与系数的关系【解析】【解答】由题意得1+i也是实系数一元二次方程x2+px+q=0的一个根，

∴−p=1+i+1−i=2，q=1+i·1−i=2，

∴p=−2，q=2，6．【答案】arccos【知识点】向量的模；数量积表示两个向量的夹角【解析】【解答】由题意得a→·b→=1，2·2，−2=2−4=−2，a→=1+22=7．【答案】1【知识点】同角三角函数间的基本关系；诱导公式【解析】【解答】sin(2π−x)tan(π+x)cot(−π−x)8．【答案】6【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算【解析】【解答】由题意得a→·b→=a→·b9．【答案】-2【知识点】对数的性质与运算法则；同角三角函数间的基本关系【解析】【解答】∵1+cot2θ=1+cos2θsin2θ=10．【答案】(3−【知识点】扇形的弧长与面积【解析】【解答】设扇形的圆心角为θ，圆的半径为r，则S1=12θr2，S2=πr2−111．【答案】(−【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；数量积表示两个向量的夹角【解析】【解答】因为a=(1，2)，b因为a与a+λb的夹角为锐角，所以a⋅(a+λ所以1+λ+2(2+λ)>0且2(1+λ)≠2+λ，解得λ>−53且λ≠0，所以λ的取值范围为故答案为：(−5

【分析】利用已知条件结合向量的坐标运算和数量积求向量夹角公式，再结合向量共线的坐标表示，进而得出实数λ的取值范围。12．【答案】−【知识点】直线的点斜式方程；两条直线的交点坐标；余弦定理【解析】【解答】由题意的定点P在AA'和BB'的中垂线交点上，画出如下图：

∵AA'中点坐标为2，2，直线AA'斜率为1，∴AA'中垂线方程为y−2=−1x−2，即x+y−4=0，

同理可得BB'中垂线方程为x=3，

联立x+y−4=0x=3，解得定点P3，1，

又BP=B'P=1−32+2−12=5，BB'=4，∴cos13．【答案】A【知识点】正切函数的周期性【解析】【解答】充分性：θ=2kπ+π4，k∈Z，则tanθ=1，充分性成立，

必要性：若tanθ=1，则θ=kπ+π4，k∈Z，14．【答案】B【知识点】象限角、轴线角；终边相同的角【解析】【解答】A、与α终边相同角可以表示为β=α+2kπk∈Z，∴β与α不一定相等，A错误；

B、锐角是取值范围为0，π2的角，是第一象限的角，B正确；

C、第二象限角取值范围为2kπ+π2，2kπ+πk∈Z，锐角是取值范围为π215．【答案】B【知识点】向量的模；零向量；单位向量；共线（平行）向量；相等向量与相反向量【解析】【解答】A、若|a|=|b|，只能得到a与b的长度相等，A错误；

B、若|a|=|b|，且a与b的方向相同，∴a=b，B正确；

C、只有平面上所有单位向量的起点移到同一点时，其终点在同一个圆上，C错误；

D、当a16．【答案】D【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的加减运算；复数的模【解析】【解答】A、∵|z1+z2|=|z1−z2|，∴|OZ1→+OZ2→|=|OZ1→−OZ2→|，

∴OZ1→2+2OZ1→·17．【答案】解：因为sinθ=45且θ∈(因为cosφ=−513且ϕ∈(所以sin(θ−φ)=【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系【解析】【分析】先根据θ∈(π2，π)，φ∈(π18．【答案】（1）解：∵a∴|a+（2）解：由(a+2b解得：k=−7.【知识点】向量的模；平面向量的数量积运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系【解析】【分析】(1)根据向量模长计算公式直接求解；

(2)向量垂直其数量积为0，代入计算即可.19．【答案】（1）解：因为f(又0≤t<24，所以π3≤π当t=2时，sin(π12t+π3于是f(t)故实验室这一天最高温度为12°C，最低温度为8°C，最大温差为4°C（2）解：依题意，当f(由（1）得f(所以10−2sin(π12又0≤t<24，因此7π6<π故在10时至18时实验室需要降温.【知识点】两角和与差的正弦公式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象与性质【解析】【分析】(1)先化简f(t)得f(t)=10−2sin(π12t+20．【答案】（1）解：因为sinB+sinC=又△ABC的周长为4(2+1)，则将b+c=2a代入上式a+2所以边长a=4.（2）解：∵S△ABC=3sinA又（1）知b+c=2∴cos因此所求角A的大小是arccos1【知识点】正弦定理的应用；余弦定理的应用【解析】【分析】(1)利用正弦定理将角化边得到b+c=2a，结合△ABC周长a+b+c=4(2+1)，求出边长a的值；

(2)利用△ABC面积公式求得bc=6，结合(1)和角21．【答案】（1）解：因为a=(2所以f=2==sin故y=