数字图象处理第三章课件

图像变换图象变换可以看成是一幅图象经过一个系统生成的结果：f(x,y)→h(x,y)→g(x,y)。如果系统h(x,y)满足一定的条件：齐次性、可加性和时不变性，就成为了线性时不变系统（LTI）。一般而言，都将图像处理系统看成为线性时不变(位置不变)系统。于是，可将图像变换看成是图象经过一线性位置不变系统的结果。所有线性系统理论都可以拿来使用。

图像变换是将图像从空域变换到其它域，如频域。图像变换需满足某些条件。图像处理——通过某种方法将数字图像中的像素进行改变，以达到预期效果。通常，图像处理在以下三个域中进行：空域处理：利用某种方法直接对数字图像中的象素进行修改。频域处理：将空域图像经过傅立叶变换，使其成为“频域图象”，而后对其各个频率成分进行处理；处理完成后，将“频域图像”图像经过傅立叶反变换为空域图像。其它域处理：空域图象经过某种变换，使其成为“对应域图像”，而后进行相应处理；处理完成后，将“对应域图像”图像经过对应反变换为空域图像。图像处理的手段图象为什么要变换利用变换的某些性质，可以大大简化或加速图象处理过程空域图象经过变换后形成“对应域图象”，从中会看到在空域图象中不易看到的某些“东西”。变换后形成“对应域图象”，会呈现某些性态，利用这些性态可完成图象处理中某个应用领域的应用。应选择什么样的变换才能满足各种要求是下面要讨论的主要问题之一。变换选择的原则1)变换必须是可逆的。2)变换不能损失信息。3)变换必须是有好处的。4)变换算法必须是不复杂的。

G(i,j)=If(x,y)→f(x,y)=I-1G(i,j)虽然满足1、2、4条件，但不满足第三条。一维变换1、正交函数集合的正交性和完备性设：一维连续实值函数集合un(t)={u0(t),u1(t),u2(t)…}，若此集合中的函数满足时，称集合un(t)为正交函数集合。当C=1时，称集合un(t)为归一化正交函数集合。从几何的观点来看正交性——相互垂直若f(x)是定义在t0和t0+T区间的实值信号，可以用展开式表示为：对任何平方可积的分段连续信号f(x)，对任意小的ε＞0，存在充分大的N和有限项展开式使得一维变换一维变换则称函数un(x)集合是完备的。如果能够找到一组正交且完备的函数集合，则任何平方可积的分段连续信号f(x)都可由这个函数集合的加权和表示。这N个函数构成了N维正交基。任何一个满足条件的函数都可以由一个函数簇的加权和来逼近2、离散情况对上述一维连续实值正交函数集合un(t)进行等间隔采样，可以看作是下列向量的集合：若它们彼此正交，则向量的元素应满足下式：当C=1时，称归一化正交，每一向量为单位向量，彼此垂直。这n个矢量构成了n维空间的n维正交基。矢量的点积自点积＝常数互点积＝0用满足上式的n维正交基矢量组成矩阵

一定满足：该矩阵称为正交矩阵。3、一维正交变换利用上述矩阵对任一数据向量f进行运算为：

g=Af例若要恢复f，则以上过程称为正交变换。正变换：将任意一个矢量分解成为一个由该矢量投影在给定正交基上的分量组成的矢量。反变换：将任意一个由给定正交基上的分量组成的矢量合成为空间矢量。4、酉变换若A为复数方阵，正交的条件为：其中A*为A的复数共轭矩阵，满足这个条件的矩阵为酉矩阵。对于任意向量f用酉矩阵的变换和恢复称为酉变换。将aij写成a(k,n)，有：正交函数数字化后完备性的体现形式——任何一个矢量可以分解成正交投影的线性组合。二维变换

与一维的思想一样，设：二维连续实值函数集合Au,v(x,y)={a0,0(x,y),a0,1(x,y),a0,2(x,y),…a0,v(x,y),a1,0(x,y),a1,1(x,y),a1,2(x,y),…a1,v(x,y)………au,0(x,y),au,1(x,y),au,2(x,y),…au,v(x,y)}若此集合中的函数(U×V个)满足时，称集合Au,v(x,y)为正交函数集合。当C=1时，称集合Au,v(x,y)为归一化正交函数集合。对正交函数集合的理解如果对正交函数集合auv(x,y)在某个给定区域内等间隔采样，则每个aij(x,y)就是一个矩阵，其元素值既和x、y有关，又和i、j有关。则这u×v个矩阵构成了u×v维空间的u×v维的正交基。124350n在对应点上定义了un(t)对每一个un(t)在t方向上采样v124350u1234在对应交叉点上定义了au,v(x,y)对每一个au,v(x,y)在x,y方向上采样u=0,1,…,m-1v=0,1,…,n-1结论:如果能够找到一组正交且完备的函数集合au,v(x,y)，则任何平方可积分段连续的二维函数f(x,y)——图像，都可由这个函数集合的加权和表示。如果f(x,y)以离散形式(m×n矩阵)表示——数字图像，该数字图像f(x,y)可分解为在m×n维正交空间内，在m×n维正交基au,v(x,y)上的投影。同一维情况类似，有：正变换：将任意一个数字图像分解成为一个由该图像投影在给定正交基上的分量组成的图像。反变换：将任意一个由给定正交基上的分量组成的图像合成为空域图像。1、二维变换将上式写成则：有下式(设f(x,y)为一N×N维矩阵)正变换核(逆基图像)反变换核(基图像)空域图像点如果矩阵为正交复数矩阵且是对称的au,v(x,y)二维变换的理解F(u,v)中的任何一个像素为原图像所有像素的加权和。F(0,0)为f(x,y)在u×v维正交基a0,0(x,y)分量上的投影。F(u,v)f(x,y)a0,0(x,y)F(0,0)对应点积之和F(u,v)f(x,y)a*u,v(x,y)－基图像加权和＝∑2、变换核的可分离性上述f(x,y)、F(u,v)的计算所需的乘法和加法的次数是与N×M有关的数。如果u×v维空间的正交基ai,j(x,y)可以写成：——一个二维完备正交基＝两个一维完备正交基之积其中{au(x),u=0,1,…,N-1},{bv(y),v=0,1,…,N-1}为一维完备正交基向量的集合。用矩阵表示：A={a(u,x)}，B={b(v,y)}

通常选择A=B，如果A、B是复数矩阵则它们为酉阵：

AA*T=ATA*=IBB*T=BTB*=IA-1=A*TB-1=B*T则称该正交基——变换核是可分离的。例如设：二维连续实值函数集合，U＝V＝N

Au,v(x,y)={a0,0(x,y),a0,1(x,y),a0,2(x,y),…a0,v(x,y),a1,0(x,y),a1,1(x,y),a1,2(x,y),…a1,v(x,y)…au,0(x,y),au,1(x,y),au,2(x,y),…au,v(x,y)}对集合内的每个函数沿x，y方向进行等间隔采样，采样点数为N×N，于是集合中的每一个函数都成为一个N×N的矩阵。可分离变换核举例(采样网格为行、列数相等)于是对于一个图像的变换可以写成矩阵中的任何一项都可写成可分离形式。例当A=B且为方阵为酉阵时，二维酉变换的正变换表示为用矩阵表示：

F＝AfAT反变换表示为用矩阵表示：

f＝A*TFA*类似的，对于M×N的二维函数f(x,y)对一幅图像的变换可以先对其列进行变换，然后在对行进行变换；反之亦然。行变换列变换问题Y=X/Z变换log(Y)=log(X)-log(Z)复杂的分析普通笔算除法简化的分析查表和相减问题的解逆变换查反对数表1、傅立叶变换分析的基本概念变换分析：变换分析的基本目的之一是使问题的分析求解得到简化。傅立叶变换分析的直观说明把一个信号的分解为许多不同频率的信号之和。自然光光谱三棱镜傅立叶变换uF(u)傅立叶变换分析的图形表示通常把分解后的各个频率的振幅和频率用一张图表示出来(对周期信号而言)。傅立叶变换：把一个自变量定义于-∞到+∞的函数变换为频率定义于-∞到+∞的函数。频率幅值1-ff2f-2f设f(x)为连续可积函数，其傅立叶变换定义为：从F(u)恢复f(x)称为傅立叶反变换，定义为：实函数的傅立叶变换，其结果多为复数，表示为：F(u)=R(u)+jI(u)=|F(u)|exp[jΦ(u)]幅度谱：相位谱：2、一维连续傅立叶变换傅立叶提供的正交函数族2、二维傅立叶变换二维傅立叶变换由一维傅立叶变换推广而来：逆变换：幅度谱：相位谱：功率谱：F(u,v)=R(u,v)+jI(u,v)=|F(u,v)|exp[jΦ(u,v)]3、二维离散傅立叶变换对于二维傅立叶变换，其离散形式为：逆变换为：幅谱(频谱)、相位谱、功率谱：谱图像二维傅立叶变换实例图由反变换公式可知基图像为若图像为4×4，则基图像为0123WWWWWWWWWWWWWWWW★B0W★B0W★B0W★B0W★★★★BBBB0000WWWWBBBBWWWWBBBBWWWW0000BBBB★★★★WWWW0★0★WBWB★0★0BWBWBWBWBWBWBWBWBWBWW★BWWW★BBWW★★BWW0W★W★W0W0W★W★W0WB0W★0W★BW★B0★B0WW0B★★W0BB★W00B★W0B★W0B★W0B★W0B★W★0★0WBWB0★0★BWBWWBWBBWBWWBWBBWBWW★W0★W0WW0W★0W★W★W0W0W★W★W0W0W★WWWWW★B0WBWBW0B★WWWWW★B0WBWBW0B★W

v→0123y→01230123012301230123012301230123二维傅里叶基图像★=-jW=1B=-10=jux↓↓4、二维离散傅立叶变换的性质1)、线性性质：2)、比例性质：3)、可分离性：表示离散函数的傅里叶变换，即卷积的定义对于两个函数和，其卷积定义为式中*表示卷积运算，在matlab中为C=