专题5.1认识一元一次方程（知识梳理与考点分类讲解）-七年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题5.1认识一元一次方程（知识梳理与考点分类讲解）【知识点1】方程的有关概念1．定义：含有未知数的等式叫做方程.要点提醒：判断一个式子是不是方程，只需看两点：一.是等式；二.是含有未知数．2．方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解.要点提醒：判断一个数（或一组数）是否是某方程的解，只需看两点：①.它（或它们）是方程中未知数的值；②将它（或它们）分别代入方程的左边和右边，若左边等于右边，则它们是方程的解，否则不是．3．解方程：求方程的解的过程叫做解方程.

4．方程的两个特征：（1）.方程是等式；（2）.方程中必须含有字母（或未知数）.【知识点2】一元一次方程的有关概念定义：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程.要点提醒：“元”是指未知数，“次”是指未知数的次数，一元一次方程满足条件：①首先是一个方程;②其次是必须只含有一个未知数;③未知数的指数是1;④分母中不含有未知数．【知识点3】方程的解使用方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解要点提醒：方程的解与解方程的关系（1）方程的解与解方程是两个不同概念，方程的解是一个结果，是一个具体的数值，而解方程是变形的方程；（2）方程的解是通过解方程求得的。【知识点4】等式的性质

1．等式的概念：用符号“=”来表示相等关系的式子叫做等式.

2．等式的性质：

等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等.即：

如果，那么(c为一个数或一个式子).

等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.即：如果，那么；如果，那么.要点提醒：根据等式的两条性质，对等式进行变形，等式两边必须同时进行完全相同的变形；等式性质1中，强调的是整式，如果在等式两边同加的不是整式，那么变形后的等式不一定成立，

(3)等式的性质2中等式两边都除以同一个数时，这个除数不能为零．【考点一】一元一次方程的识别【例1】（2023秋·全国·七年级课堂例题）判断下列各式是不是方程，不是方程的说明理由．（1）； （2）； （3）；（4）； （5）； （6）．【答案】（1）不是方程，见分析；（2）是方程；（3）不是方程，见分析；（4）不是方程，见分析；（5）是方程；（6）不是方程，见分析【分析】（1）~（6）根据方程的定义（含有未知数的等式叫做方程）即可得；（1）解：不是方程，理由是：不含未知数．（2）解：是方程．（3）解：不是方程，理由是：不是等式．（4）解：不是方程，理由是：不是等式．（5）解：是方程．（6）解：不是方程，理由是：不含未知数．【点拨】本题考查了方程，熟记方程的概念是解题关键．【变式1】（2023秋·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨德强学校校考阶段练习）下列四个式子中，是方程的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据含有未知数的等式叫做方程，判断选择即可．解：A.，不是等式，不是方程，不符合题意；B.是方程，符合题意；C.不是等式，不符合题意；D.不含有未知数，不符合题意；故选B．【点拨】本题考查了方程的定义，熟练掌握定义是解题的关键．【变式2】（2023春·上海·六年级专题练习）下列各式是方程的有①3＋（﹣3）﹣1＝8﹣6＋（﹣3）；②＋y＝5；③x2﹣2x＝1；④x2﹣2x＝x﹣y；⑤a＋b＝b＋a（a、b为常数）【答案】②③④【分析】含有未知数的等式是方程，根据定义依次判断．解：①3＋（﹣3）﹣1＝8﹣6＋（﹣3），不含有未知数，不是方程；②＋y＝5，是方程；③x2﹣2x＝1，是方程；④x2﹣2x＝x﹣y，是方程；⑤a＋b＝b＋a（a、b为常数），不含有未知数，不是方程；故答案为：②③④．【点拨】此题考查方程的定义，有理数的加减混合运算，理解方程的定义是解题的关键．【考点二】一元一次方程的参数问题与求值【例2】（2023秋·安徽芜湖·七年级校考期末）若是关于的一元一次方程.（1）求的值；（2）先化简，再求的值.【答案】（1）；（2），【分析】（1）根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是次的整式方程；由此解答即可；（2）根据整式的加减运算法则将原式化简，然后代入求值即可．（1）解：由题意，得，∴，又∵，∴，∴；（2）原式，当时，原式．【点拨】本题考查了一元一次方程的定义，整式的加减－化简求值，熟练掌握相关定义以及运算法则是解本题的关键．【变式1】（2023秋·全国·九年级专题练习）已知a是方程的解，则代数式的值为（

）A．2 B． C．1 D．【答案】A【分析】把代入方程得到关于a的等式，然后整体代入计算即可．解：∵a是方程的一个解，，即∴．故选：A．【点拨】本题主要考查了一元二次方程的解、代数式求值等知识点，理解一元二次方程的解的定义是解答本题的关键．【变式2】（2023秋·黑龙江哈尔滨·七年级校考阶段练习）已知是关于的一元一次方程，则的值为．【答案】【分析】利用一元一次方程的定义求解即可．解：∵是关于的一元一次方程，∴且，∴，故答案为：．【点拨】此题考查了一元一次方程的定义，解题的关键是熟记一元一次方程的定义及一次项系数不能为0．【考点三】方程的解【例3】（2021秋·安徽滁州·七年级校考阶段练习）已知，若，关于x的方程2x+c=1的解为1．求代数式的值．【答案】34.【分析】根据非负数之和为0，则每个非负数都为0，解出a，b的值，然后将x=1代入方程求出c的值，最后将代数式化简，代入数据求值．解：因为，（a+1）2≥0，所以a+1=0，b2=0解得：a=1，b=2因为关于x的方程2x+c=1的解为－1所以2×（1）+c=1，解得c=3因为8abc－2a2b－（4ab2－a2b）=8abc2a2b4ab2+a2b=8abca2b4ab2把a=1，b=2，c=3代入代数式8abca2b4ab2中，得8×（1）×2×3（1）2×24×（1）×22=482（16）=34.【点拨】本题考查非负数的性质，一元一次方程的解，以及代数式化简求值，熟记非负数的性质求出a、b的值是解题的关键．【变式1】（2021春·上海松江·六年级校考阶段练习）是下列哪个方程的解（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】将代入各个选项，逐项验证即可得到答案．解：A、把代入方程中，左边，右边，左边右边，∴不是方程的解；B、把代入方程中，左边，右边，左边右边，∴不是方程的解；C、把代入方程中，左边，右边，左边右边，∴不是方程的解；D、把代入方程中，左边，右边，左边右边，∴是方程的解．【点拨】本题考查一元一次方程的解，理解方程解的定义，将代入各个方程验证是解决问题的关键．【变式2】（2023秋·广东惠州·九年级校考阶段练习）若是方程的解，则代数式的值为．【答案】【分析】先利用一元二次方程的解的定义得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算．解：是方程的解，，即，．故答案为：．【点拨】本题考查了求代数式的值，一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解，整体思想的运用是解题的关键．【考点四】等式的基本性质的变形【例4】（2022秋·江西上饶·七年级统考阶段练习）利用等式的性质，说明由如何变形得到．【分析】先根据等式的性质两边同时乘以2去掉分母，然后等式两边同时加上2即可得到答案．解：等式两边同时乘以4得：，等式两边同时加上2得：，即．【点拨】本题主要考查了等式的性质，熟知等式的性质是解题的关键：等式两边同时加上或减去一个数或式子等式仍然成立；等式两边同时乘以一个数或式子等式两边仍然成立，等式两边同时除以一个不为0的数或式子等式仍然成立．【变式1】（2022秋·山东菏泽·七年级校考阶段练习）下列等式变形不正确的是（）A．如果，那么 B．如果，那么C．如果，那么x＝y D．如果，那么【答案】C【分析】根据等式的性质解答即可．解：A．如果，那么，等式变形正确，不符合题意；B．如果，那么，等式变形正确，不符合题意；C．如果，因为当时不成立，故符合题意；D．如果，那么，等式变形正确，不符合题意．故选：C．【点拨】本题考查了等式的基本性质，正确掌握等式的性质是解题的关键．等式的基本性质1是等式的两边都加上（或减去）同一个整式，所得的结果仍是等式；等式的基本性质2是等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不能为0），所得的结果仍是等式．【变式2】（2022秋·全国·七年级专题练习）在下列各题的横线上填上适当的数或整式，使所得结果仍是等式，并说明根据是等式的哪一条性质以及是怎样变形的．（1）如果，那么，根据；（2）如果，那么，根据；（3）如果，那么，根据；（4）如果，那么，根据．【答案】等式的性质2，两边都乘等式的性质2，两边都乘；6等式的性质2，两边都乘3x等式的性质1，两边都减去3x【分析】（1）~（3）根据等式的性质2：等式的两边同乘（或除以）同一个数（除数不为0）结果仍相等即可得出答案．（4）根据等式的性质1：等式的两边加（或减）同一个数（或式子）结果仍相等，即可得出答案．解：（1）如果，那么，根据等式的性质2，两边都乘；（2）如果，那么，根据等式的性质2，两边都除以；（3）如果，那么，等式的性质2，两边都乘；（4）如果，那么，根据等式的性质1，两边都减去3x．故答案为：，等式的性质2，两边都乘；，等式的性质2，两边都乘；6，等式的性质2，两边都乘；3x，等式的性质1，两边都减去3x．【点拨】本题考查等式的基本性质．熟练掌握等式的基本性质是解题的关键．【考点五】利用等式的基本性质解方程【例5】（2022秋·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）利用等式性质解下列方程：（1） （2） （3）【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）首先在方程两边同加上1，再方程两边同除以，即可求得答案；（2）首先在方程两边同加上5，再方程两边同乘以，即可求得答案；（3）首先方程两边同减去2，再方程两边乘，即可求得答案．（1）解：，，即，，解得；（2）解：，，即，，解得；（3）解：，，，，解得．【点拨】本题考查了等式的基本性质．注意等式性质：1、等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；2、等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母，等式仍成立．【变式1】（2023秋·安徽阜阳·七年级校考专题练习）求未知数的值（1） （2） （3）【答案】（1）；（2）；（3）【分析】（1）先根据比例的基本性质，把原式转化为，再根据等式的性质解出即可；（2）先化简，再根据等式的性质，在方程两边同时减去4，再乘上3来解；（3）先根据比例的基本性质