第02讲函数（9类题型）（原卷版）

第02讲函数（9类题型）课程标准学习目标1.函数的概念；2.函数的表示方法；3.函数的取值范围；1.掌握函数的概念；2.掌握函数的三种表示方法；3、掌握函数自变量的取值范围和函数值的概念；知识点01：函数的概念（难点）一般地，在一个变化过程中.如果有两个变量与，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说是自变量，是的函数.要点诠释：对于函数的定义，应从以下几个方面去理解：（1）函数的实质，揭示了两个变量之间的对应关系；（2）对于自变量的取值，必须要使代数式有实际意义；（3）判断两个变量之间是否有函数关系，要看对于允许取的每一个值，是否都有唯一确定的值与它相对应.（4）两个函数是同一函数至少具备两个条件：①函数关系式相同（或变形后相同）；②自变量的取值范围相同.否则，就不是相同的函数.而其中函数关系式相同与否比较容易注意到，自变量的取值范围有时容易忽视，这点应注意.【即学即练1】1、（2022秋•霍邱县期中）如图，下列各曲线中，y不是x的函数的是（）A． B． C． D．【即学即练2】2、（2022秋•淮北月考）如图平面直角坐标系中的曲线或折线中，能表示y是x的函数的是（）A． B． C． D．知识点02：函数的三种表示方法函数的三种表示方法：列表法、解析式法、图象法．其特点分别是：列表法能具体地反映自变量与函数的数值对应关系，在实际生活中应用非常广泛；解析式法准确地反映了函数与自变量之间的对应规律，根据它可以由自变量的取值求出相应的函数值，反之亦然；图象法直观地反映函数值随自变量的变化而变化的规律．注意：①它们分别从数和形的角度反映了函数的本质；②它们之间可以互相转化．函数的三种表示方法的优缺点解析法：即全面地概括了变量之间的依赖关系，又简单明了，便于对函数进行理论上的分析和研究．但有时函数不能用解析法表示，或很难找到这个函数的解析式．列表法：自变量的值与其对应的函数值一目了然，查找方便．但有很多函数，往往不可能把自变量的所有值与其对应的函数值都列在表中．图像法：非常直观，可以清楚地看出函数的变化情况．但是，在图像中找对应值时往往不够准确，而且有时函数画不出它的图像，还有很多函数不可能得到它的完整图像．【即学即练3】3、（2023春•砀山县期末）某学习探究小组在网上获取了声音在空气中传播的速度与空气温度关系的一些数据，制成如下表格．空气温度（空气温度（℃）﹣20﹣100102030声速（m/s）318324330336342348下列说法错误的是（）A．在这个变化过程中，自变量是空气温度，因变量是声速 B．空气温度越低，声速越慢 C．当温度每升高10°C时，声速增加6m/s D．当空气温度为0°C时，声音5s可以传播1680m【即学即练4】4、一物体从4m高的地方匀速降到地面，若物体每分钟下降m，则物体与地面的距离y（单位：m）与下降时间t（单位：min）之间的函数图象是（）A． B． C． D．知识点03：自变量的取值范围的确定函数的自变量允许取值的范围，叫做这个函数的定义域.要点诠释：考虑自变量的取值必须使解析式有意义。（1）当解析式是整式时，自变量的取值范围是全体实数；（2）当解析式是分式时，自变量的取值范围是使分母不为零的实数；（3）当解析式是二次根式时，自变量的取值范围是使被开方数不小于零的实数；（4）当解析式中含有零指数幂或负整数指数幂时，自变量的取值应使相应的底数不为零；（5）当解析式表示实际问题时，自变量的取值必须使实际问题有意义.【即学即练5】5、（2022秋•瑶海区期中）函数y＝+中，自变量x的取值范围是（）A．x≥2 B．x≥2且x≠9 C．x≠9 D．2≤x＜9【即学即练6】6、（2022秋•涡阳县校级月考）函数中，自变量x的取值范围是（）A．x＜1 B．x＞1 C．x≠1 D．x≠0知识点04：函数值是的函数，如果当＝时＝，那么叫做当自变量为时的函数值.在函数用记号表示时，表示当时的函数值.要点诠释：对于每个确定的自变量值，函数值是唯一的，但反过来，可以不唯一，即一个函数值对应的自变量可以是多个.比如：中，当函数值为4时，自变量的值为±2.【即学即练7】7、（2022秋•霍邱县校级月考）根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x的值为4时，输出的y的值为5．则输入x的值为3时，输出的y的值为（）A．﹣6 B．6 C．﹣3 D．3知识点05：确定函数表达式用来表示函数关系的等式叫做函数解析式，也称为函数关系式．注意：函数解析式是等式．函数解析式中，通常等式的右边的式子中的变量是自变量，等式左边的那个字母表示自变量的函数．③函数的解析式在书写时有顺序性，例如，y＝x+9时表示y是x的函数，若写成x＝﹣y+9就表示x是y的函数．【即学即练8】8、（2022秋•亳州期中）已知一个长方形的周长为50cm，相邻两边分别为xcm，ycm，则它们的关系为是（）A．y＝50﹣x（0＜x＜50） B．y＝50﹣x（0≤x≤50） C．y＝25﹣x（0＜x＜25） D．y＝25﹣x（0≤x≤25）【即学即练9】9、（2022秋•定远县校级月考）某商店销售一批玩具时，其收入y（元）与销售数量x（个）之间有如下关系：销售数量x（个）1234…收入y（元）…则收入y与销售数量x之间的关系式可表示为（）A．y＝x B．y＝8x C．y＝x D．y＝8.3+x知识点06：由函数表达式画函数图象的一般步骤对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.要点诠释：由函数解析式画出图象的一般步骤：列表、描点、连线.列表时，自变量的取值范围应注意兼顾原则，既要使自变量的取值有一定的代表性，又不至于使自变量或对应的函数值太大或太小，以便于描点和全面反映图象情况.【即学即练10】10、设P（x，0）是x轴上的一个动点，它与x轴上表示﹣3的点的距离为y．（1）求y与x之间的函数解析式；（2）画出这个函数的图象．题型01函数的概念1．（2023春·陕西西安·七年级校考阶段练习）骆驼被称为“沙漠之舟”，它的体温随时间的变化而变化．在这一问题中，自变量是（）A．沙漠 B．体温 C．时间 D．骆驼2．（2023秋·安徽滁州·八年级校考阶段练习）下列选项中y不是x的函数的是（）A． B． C．

D．

3．（2023春·上海嘉定·八年级校考开学考试）已知变量和变量，那么的函数？（填“是”或“不是”）4．（2021秋·上海青浦·八年级校考期末）函数的定义域是．5．（2023·上海·八年级假期作业）下列各式中，是否是的函数？为什么？(1)；(2)．题型02函数解析式1．（2022秋·广东深圳·八年级校联考开学考试）一支签字笔的单价为元，小涵同学拿了100元钱去购买了支该型号的签字笔，写出所剩余的钱与间的关系式是(

)A． B． C． D．2．（2023秋·上海杨浦·八年级统考期末）已知某等腰三角形的周长为36，腰长为，底边长为，那么关于的函数关系式及定义域是（

）A．（） B．（）C．（） D．3．（2022春·四川成都·七年级统考期末）某超市为客户提供某种水果同城配送服务，具体方案如下：若客户购买该水果不超过，单价为每千克20元；超过，超出部分的单价则为每千克15元．此外每次配送收取配送费10元．超市为同城某客户配送该水果，客户付款y（元），则y与x（）的关系式为．4．（2023春·北京海淀·八年级北京市十一学校校考阶段练习）一个水瓶中初始有水，每小时漏水，请写出水瓶中剩余水量单位：关于时间单位：的函数关系解析式是，其中自变量的取值范围是．5．（2023春·吉林长春·八年级统考期中）下表反映的是M市用电量x（千瓦时）与应缴电费y（元）之间的关系：用电量（千瓦时）12345……应缴电费（元）……(1)请直接写出应缴电费y与用电量x之间的函数关系式；(2)如果小明家某月缴纳电费元，则用电量是多少？题型03求自变量的取值范围1．（2023秋·湖南长沙·九年级校考阶段练习）函数中自变量的取值范围是（

）A． B． C． D．2．（2023春·河南新乡·八年级校考期中）函数中，自变量的取值范围是（）A． B． C． D．3．（2022春·黑龙江哈尔滨·九年级校考阶段练习）函数的自变量取值范围是．4．（2022春·黑龙江哈尔滨·九年级校考开学考试）函数中，自变量的取值范围是．5．（2023秋·湖北武汉·八年级武汉市卓刀泉中学校考阶段练习）用一根长为46cm的铁丝围成一个等腰三角形，底边长为ycm，腰长为xcm．(1)用含x的式子表示y；(2)求x的取值范围．题型04求自变量的值或函数值1．（2023秋·安徽阜阳·八年级校考阶段练习）定义：函数的零点是指使函数值等于零的自变量的值，则下列函数中零点为2的是（

）A． B． C． D．2．（2022春·河北邯郸·八年级校考期中）某种正方形合金板材的成本y（元）与它的面积成正比，设边长为x厘米．当时，，那么当时，这种正方形合金板材的成本是（

）A．36元 B．72元 C．108元 D．144元3．（2022春·广东茂名·七年级校联考期中）洲际弹道导弹的速度会随着时间的变化而变化，某种型号的洲际弹道导弹的速度与时间的关系是．若导弹发出即将击中目标，则此时该导弹的速度应为．4．（2023春·吉林长春·八年级统考期中）若函数，则当时，函数y的值为．5．（2023春·山东泰安·六年级统考期末）如图，长方形中，，，点为边上一动点．连接，随着点的运动，四边形的面积也发生变化．(1)写出四边形的面积与的长之间的关系式．(2)当从变化到时，的值发生了怎样的变化．(3)当四边形的面积为时，求的长．题型05函数图象识别1．（2021春·湖北武汉·八年级武汉一初慧泉中学校考期末）如图是一个容器的截面图，均匀地向一个容器注水，最后把容器注满，在注水过程中，下面大致能反映水面高度h和时间t之间的变化的函数图象为（）A．

B．

C．

D．

2．（2023秋·山东济南·八年级校考阶段练习）一根蜡烛长，点燃后每小时燃烧，燃烧时剩下的长度为与燃烧时间（小时）的函数关系用图象表示为下图中的（

）A．

B．

C．

D．

3．（2023·山东德州·二模）下列关于两个变量关系的四种表述中，正确的是．（填序号即可）①圆的周长C是半径r的函数；②表达式中，y是x的函数；③如表中，n是m的函数；m123n632④如图中，曲线表示y是x的函数．4．（2023春·北京延庆·八年级统考期末）下面的三个问题中都有两个变量：①往水池中匀速注水，注满后停止，立刻再匀速放出水池中的水，直至放完；水池中水的体积与所用时间；②用一定长度的绳子围成一个矩形，矩形的面积与一边长；③周末时小明和妈妈外出散步，从家匀速走到香苑公园，随即从香苑公园匀速原路返回；小明离家的路程与行走时间；在①②③中，变量与变量之间的函数关系可以利用如图所示的图象表示的是．（填写序号）5．（2023春·河南周口·八年级校考期中）小红星期天从家里出发骑车去舅舅家做客，当她骑了一段路时，想起要买个礼物送给表弟，于是又折回到刚经过的一家商店，买好礼物后又继续骑车去舅舅家．以下是她本次去舅舅家所用的时间与路程的关系式示意图，根据图中提供的信息回答下列问题：(1)小红家到舅舅家的路程是________米，小红在商店停留了________分钟．(2)在整个去舅舅家的途中，哪个时间段小红骑车速度最快？最快的速度是多少？(3)本次去舅舅家的行程中，小红一共行驶了多少米？全程平均速度是多少？题型06从函数的图象获取信息1．（2022秋·广东揭阳·八年级统考期中）、两地相距，甲、乙两人分别从两地出发相向而行，甲先出发，如图所示，，分别表示两人离地的距离与时间之间的关系，则当甲、乙两人相遇时，（

）A． B． C． D．2．（2023春·北京海淀·八年级北京市十一学校校考阶段练习）某天早晨，小明从家骑自行车去上学，途中因自行车发生故障而维修了分钟若小明骑车的速度始终不变，从出发开始计时，小明离家的距离单位：米与时间单位：分钟的对应关系如图所示，则小明骑车的速度是（）A．米分 B．米分 C．米分 D．米分3．（2021秋·内蒙古呼和浩特·八年级统考期中）A、B两地相距20千米，甲、乙两人都从A地去B地，图中射线和分别表示甲、乙两人所走路程s（千米）与时间t（小时）之间的关系．下列说法：①乙晚出发1小时；②乙出发3小时后追上甲；③甲的速度是4千米/小时，乙的速度是6千米/小时；④乙先到达B地．其中正确的是．（填序号）4．（2023春·河北邯郸·八年级校联考期中）某油库有一储油量为吨的储油罐，在开始的一段时间内只开进油管，不开出油管；在随后的一段时间内既开进油管，又开出油管直至储油罐装满油．若储油罐中的储油量（吨）与时间（分）的函数关系如图所示．（1）每分钟的进油量为吨，每分钟的出油量为吨；（2）现将装满油的储油罐只开出油管，不开进油管，则放完全部油所需的时间是分钟．5．（2022春·福建福州·八年级校联考期中）已知某函数图象如图所示，请回答下列问题：(1)自变量的取值范围是____________；(2)函数值的取值范围是____________；(3)当时，随的增大而____________．(4)当时，函数值最大；当时，函数值最小，则____________．题型07用描点法画函数图象1．（2022秋·广东梅州·九年级校考阶段练习）“利用描点法画函数图象，进而探究函数的一些简单性质”是初中阶段研究函数的主要方式，请试着研究函数，其图象位于（）A．第一、二象限 B．第三、四象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限2．（2023春·山东滨州·八年级统考期中）“利用描点法画出函数图像，探究函数的一些简单性质”是初中阶段研究函数的主要方式，请试着探究函数，其图像经过（

）A．第一、二象限 B．第三、四象限C．第一、三象限 D．第二、四象限．3．（2023春·北京朝阳·八年级校考期中）写出一个在函数图象上的点的坐标．4．（2022春·八年级课前预习）描点法画函数图象的一般步骤：第一步：．在自变量取值范围内选定一些值．通过函数关系式求出对应函数值列成表格．第二步：．在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应函数值为纵坐标，描出表中对应各点．第三步：．按照坐标由小到大的顺序把所有点用平滑曲线连结起来．5．（2023春·吉林长春·八年级校考阶段练习）小颍根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究，下面是小颖的探究过程，诗你补充完整.(1)列表：x…01234…y…a0b0c…①，，.②若为该函数图象上不同的两点，则.(2)描点并画出该函数的图象.(3)根据函数图象可得，当时，该函数y的最大值为.题型08动点问题的函数图象1．（2023秋·陕西咸阳·八年级咸阳市实验中学校考阶段练习）张晓同学每天坚持体育锻炼，星期天他从家里步行到公园，做了一会儿健身操，然后沿原路步行回到家，下面能反映整个过程中张晓离家的距离y（米）与时间t（分钟）之间关系的大致图象可能是（

）A． B．C． D．2．（2022秋·四川南充·九年级校考阶段练习）如图，在四边形中，，，，E为的中点，F是的中点，P是一动点，从点A开始沿匀速运动，到达点C即停止，记点P运动的时间为x，四边形的面积为y，y与x关系所反映的图象可能是（）A．

B．

C．

D．

3．（2023春·吉林长春·八年级统考期中）如图1，在长方形中，动点R从点C出发，沿方向运动至点B处停止，在这个变化过程中，变量x表示点R运动的路程，变量y表示阴影部分的面积，图2表示变量y随x的变化情况，则长方形的面积是．4．（2023春·四川内江·八年级校考阶段练习）已知动点P以每秒的速度沿图甲的边框按从的路径移动，相应的的面积与时间t（秒）之间的关系如图乙中的图象所示．其中．则．5．（2023春·河北沧州·八年级校考期中）已知动点P以每秒2cm的速度沿如图甲所示的边框按从的路径移动，相应的的面积S与关于时间t的图象如图乙所示，若，求：(1)长为多少cm？(2)图乙中a为多少？(3)由需__________s，__________；(4)图甲的面积为多少？(5)图乙中b为多少s？题型09函数的三种表示方法1．（2023春·山东泰安·六年级统考期末）在关系式中，下列说法：①是自变量，是因变量；②是变量，它的值与无关；③用关系式表示的不能用图象表示；④与的关系还可以用列表法和图象法表示．其中说法正确的是（

）A．①③ B．①④ C．①②④ D．①③④2．（2023春·广东梅州·七年级统考期中）下表为一个图案中红色和白色瓷砖数量的关系．设r和w分别为红色和白色瓷砖的数量，下列函数表达式可以表示w与r之间的关系的是（）红色瓷砖数量（r）34567白色瓷砖数量（w）68101214A． B． C． D．3．（2022春·江西九江·七年级统考期末）对于关系式，有下列说法：①是自变量，是因变量；②的数值可以任意选择；③是变量，它的值与无关；④与的关系还可以用列表法和图像法表示．其中正确的说法是（填序号）．4．（2023·上海·八年级假期作业）声音在空气中传播的速度y（米/秒）（简称音速）与气温之间的关系如下：气温05101520音速y（米/秒）331334337340343从表中可知音速y随温度x的升高而．在气温为的一天召开运动会，某人看到发令枪的烟秒后，听到了枪声，则由此可知，这个人距发令地点米．5．（2023春·河南平顶山·七年级统考期中）我们可以用三种方式表示变量之间的关系，这三种表示方式各有优缺点，要互为补充才能更好地反映两个变量间的相互关系，下面我们以一辆汽车以的速度在公路上匀速行驶为例，来说明这三种方式．(1)用表格表示：时间123路程306090120150180利用表格我们可以直接看出汽车行驶的路程和时间对应的值：如当汽车行驶的时间为时，行驶的路程为______(2)用关系式表示：设汽车行驶的时间为t，行驶的路程为s．则______．利用关系式，我们可以方便的求出表格中没有给出的任何数值：如当时，所需时间______．(3)用图象表示：为更直观的研究行驶的路程随行驶的时间的变化规律，将它们之间的关系用图象表示为右图，观察图象，并回答下列问题：①当时，_____．②图中点A表示的意义是什么？(4)根据以上的说明过程，请你在表示变量间关系的三种方式中任选一种，说一说这种表示方式的优缺点．A夯实基础1．（2023秋·安徽滁州·八年级校联考阶段练习）小明从A地前往B地，到达后立刻返回，他与A地的距离y（千米）和所用时间x（小时）之间的图象关系如图所示，则小明出发6小时后距A地（

）A．40千米 B．50千米 C．60千米 D．80千米2．（2023春·吉林长春·八年级校考期中）函数的自变量x的取值范围是（

）A． B． C． D．3．（2023春·吉林长春·八年级校考期中）长方形的周长为100，则长方形的长y与宽x之间的函数关系式是．4．（2023秋·全国·八年级专题练习）已知函数，如果，那么．5．（2023春·河北沧州·八年级校考期中）有一水箱，它的容积为，水箱内原有水，现往水箱中注水，已知每分钟注水．(1)写出水箱内水量与注水时间的函数关系．(2)求注水时水箱内的水量？(3)需多长时间把水箱注满？6．（2023春·山东济南·七年级校考期中）如图是某市一天的气温变化图，在这一天中，气温随着时间变化而变化，请观察图象，回答下列问题：(1)在这一天中，（凌晨0时到深夜24时均在内）气温在什么时候达到最高，最高温度是多少摄氏度？(2)什么时间气温达到最低？(3)上午10时，下午20时的气温各为多少摄氏度？(4)如果某旅行团这天想去爬山，登山的气温最好在18℃以上，请问该旅行团适宜登山的时间从几点开始，共有多长时间适宜登山？B能力提升1．（2023秋·安徽阜阳·八年级校考阶段练习）定义：函数的零点是指使函数值等于零的自变量的值，则下列函数中零点为2的是（

）A． B． C． D．2．（2023春·北京海淀·八年级北京市十一学校校考阶段练习）某天早晨，小明从家骑自行车去上学，途中因自行车发生故障而维修了分钟若小明骑车的速度始终不变，从出发开始计时，小明离家的距离单位：米与时间单位：分钟的对应关系如图所示，则小明骑车的速度是（）A．米分 B．米分 C．米分 D．米分3．（2023秋·安徽滁州·八年级校考阶段练习）根据如图所示的程序计算函数y的值，若输入的x的值为和8时，输出的y的值相等，则b的值为．4．（2023春·北京海淀·八年级北京市十一学校校考阶段练习）一个水瓶中初始有水，每小时漏水，请写出水瓶中剩余水量单位：关于时间单位：的函数关系解析式是，其中自变量的取值范围是．5．（2023春·陕西西安·七年级校考阶段练习）甲、乙两地打需付的费y（元）随通话时间t（分）的变化而变化，试根据下表列出的几组数据回答下列问题：通话时间t（分）123456…费y（元）…(1)直接写出费y（元）与通话时间t（分）之间的关系式；(2)若小明通话10分，则需付费多少元？(3)若小明某次通话后，需付费元，则小明通话多少分？6．（2023秋·安徽亳州·八年级校联考阶段练习）已知一长方体无盖的水池的体积为，其底部是边长为正方形，经测得现有水的高度为，现打开进水阀，每小时可注入水．(1)写出水池