复变函数电子版教案

教案课程名称复变函数授课专业及层次2023级电子信息科学与技术本科1班授课内容复数与复数运算学时数3教学目的掌握复数的定义、运算、性质；复数的乘幂与方根的计算重点复数的定义、运算、性质；复数的乘幂与方根的计算难点复数的乘幂与方根的计算；幅角主值的计算自学内容平面点集使用教具多媒体相关学科知识《高等数学》中复数的相关知识教学法启发式教学法讲授内容纲要、要求及时间分配一、本人介绍二、《复变函数与积分变换》课程的特点与学习方法授课内容：第一篇复变函数第一章复数与复变函数第一节复数第二节复数的乘幂与方根第三节平面点集第一节复数一、复数概念1、复数的定义：形式定义：z=x+iy三角表示：指数表达式:2、共轭复数：设z=x+iy那么共轭复数 二、计算1、复数的形式运算设:5分钟5分钟10分钟5分钟 5分钟讲授内容纲要、要求及时间分配〔附页〕2、相关性质交换律、结合律、分配律3、应用例1证明4、共轭复数的运算性质例2证明三、复数的几何表示1、复平面z=x+iy(x,y)2、复数的模及性质3、复数的幅角定义有实轴的正向到向量z之间的夹角称为复数z的幅角，记作Argz4、幅角主值：argz从而例3求和三、复数四那么运算的几何意义1、定理定理1两个复数乘积的模等于它们模的乘积；两个复数乘积的幅角等于它们幅角的和。即：定理2两个复数商的模等于它们模的商；两个复数商的幅角等于被除数与除数的幅角差。5分钟5分钟10分钟5分钟10分钟5分钟10分钟10分钟讲授内容纲要、要求及时间分配〔附页〕2、应用例4求i,-2,1-的三角表达式例5四、扩充复平面复数的球面表示、扩充复平面、复数，第二节复数的乘幂与方根一、复数的乘幂二、复数的方根三、应用第三节平面点集一、区域1、邻域：圆盘：去心圆盘2、相关概念：内点：、开集、边界点、边界、连通的、开区域〔区域〕、闭区域、有界集、无界集二、曲线1、简单曲线、简单闭曲线2、光滑曲线、分段光滑曲线三、单连通区域和多连同区域四、小节：本将主要讲述了，复数的概念及运算法那么，要求会正确计算，并理解相关概念五、作业习题一p251.1.31.410分钟5分钟10分钟10分钟5分钟10分钟5分钟5分钟教案姓名刘照军2023～2023学年第一学期时间2010-9-课程名称复变函数授课专业及层次2023级电子信息科学与技术本科1班授课内容复变函数与初等复变函数学时数3教学目的掌握复数的定义、运算、性质；复数的乘幂与方根的计算重点定义、性质、特别是与对应实函数的比拟难点初等复变函数的形式定义与性质自学内容无使用教具多媒体相关学科知识初等函数、欧拉公式教学法启发式教学法讲授内容纲要、要求及时间分配一、复习提问1、复数、复数的四那么运算、复数的共轭2、复数的模与幅角的定义与性质3、复数的幂与方根4、复数的邻域二、作业讲评CT一授课内容：第四节复变函数1定义：定义:设D是一个给定的复数集，如果有一个法那么f，总有确定的w和它对应，那么称f是定义在D上的复变函数，记作w=f(z)，数集D叫做这个函数的定义域。，适合w=f(z)，称为单值函数。否那么称其为多值函数。2、复变函数的几何解释---映照设那么复变函数w=f(z)代表的是平面上的点集D到W平面上的点集G之间的一种变换，亦即是一种映照例2-1试想映照5分钟5分钟5分钟10分钟讲授内容纲要、要求及时间分配〔附页〕二、反函数与复合函数1、反函数定义：设D是一个给定的复数集，如果有一个法那么f，,总有确定的w和它对应，那么称f是定义在D上的复变函数，记作w=f(z)，反之，，适合w=f(z),那么称z是w的反函数，记为：，G叫做这个函数的定义域。•说明：反函数未必是一一映射2、复合函数定义：第五节初等函数一、指数函数1、定义：2、性质：3、应用例2-2二对数函数1、定义:对数函数是指数函数的反函数既，假设那么，可以推出多值函数单值函数2、性质3、应用例2-3求ln(-1)例2-4计算lni;Lni例2-5计算ln(-3-4i);Ln(-3-4i)三、幂函数1、定义：,其中α为复数常数，z为非零的复数变数2、性质：3、应用5分钟5分钟15分钟10分钟10分钟10分钟10分钟10分钟讲授内容纲要、要求及时间分配〔附页〕例2-6求例2-7求四、三角函数1、正弦函数、余弦函数****定义：性质：2、其他三角函数定义：3、反三角函数定义：五、双曲函数与反双曲函数六、本章总结本章主要介绍了〔一〕复数的定义、性质、运算法那么、几何意义〔二〕复数函数的概念，反函数、复合函数、及初等复数函数的定义、性质。本章重点掌握内容：定义、性质，会推导性质及各种反函数的形式表达式。特别注意：在学习时，要善于与相应的实函数的定义、性质比拟，特别注意不同的地方，能够真正理解，并会证明。七、作业CT一1.5.7..d)15分钟10分钟10分钟5分钟5分钟5分钟教案姓名刘照军2023～2023学年第一学期时间2010-9-课程名称复变函数授课专业及层次2023级电子信息科学与技术本科1班授课内容复变函数的极限、连续性、导数学时数3教学目的掌握复变函数的极限、连续性、导数的判定方法，会计算导数重点复变函数的极限、连续性、导数，连续与可导的判定定理难点连续与可导的判定定理；不连续点与不可导点的判定自学内容无使用教具多媒体相关学科知识与对应实函数的性质比拟教学法启发式教学法讲授内容纲要、要求及时间分配一、复习提问1、复变函数的定义及几何意义2、复变函数的反函数与复合函数4、初等复变函数的定义、性质二、作业讲评CT一授课内容：第一篇复变函数导数第一节复变函数的极限一、复变函数的极限概念定义：设f(z)在的某去心邻域D内有定义，假设当有，那么称常数A为其极限，记为2、应用例3-1例3-23、极限存在的充要条件****定理3-1：极限定义的扩充5分钟5分钟5分钟5分钟5分钟10分钟讲授内容纲要、要求及时间分配〔附页〕例3-3例3-4证明函数。在时极限不存在。二、极限运算法那么定理3-2复变函数的极限对于加、减、乘、除具有封闭性第二节复变函数的连续性一、复变函数的连续性1、定义：假设，那么称函数f(z)在处连续，假设f(z)在区域D内处处连续，那么称函数在区域D内连续。2、复变函数连续的性质1〕定理3：复变函数的连续性对于加、减、乘、除具有封闭性2〕定理4：复变函数的连续性对于复合函数具有封闭性3〕定理5：复平面上有界闭区域R上的连续函数w=f(z)，它的模在R上一定有界3、应用例3-5证明sinz,cosz，在整个复平面上是连续函数。例3-6证明三角函数在定义域内均连续第三节导数定义1、定义：设f(z)在的某邻域D内有定义，假设存在，那么称f(z)在处可导，记为：2、可导复变函数的运算法那么定理6：假设f(z),g(z)在区域D内可导，那么它们的可导性在定义域内对加、减、乘、除封闭定理7：可导性对复合函数封闭定理8：设是两个互为反函数的单值函数，且那么10分钟5分钟10分钟10分钟10分钟10分钟10分钟讲授内容纲要、要求及时间分配〔附页〕二、应用例3-7证明讨论结论：1〕连续函数未必可导2〕可导函数必然连续例3-8计算导数三、函数可导的充要条件****1、定理9：函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在定义域内一点z=x+iy可导的充要条件是：此定理非常重要，必须熟练掌握定理9：函数f(z)=u(r,θ)+iv(r,θ)在定义域内一点r=r(θ)可导的充要条件是：四、高阶导数1、定义：对导函数继续求导数既为高阶导数2、应用;例3-10应用公式求五、小结1、复变函数的极限、连续性、可导性的运算法那么2、复变函数的连续性、可导性的判断法那么六、作业2.1.32.152.3.510分钟15分钟10分钟5分钟5分钟5分钟教案姓名刘照军2023～2023学年第一学期时间2010-9-课程名称复变函数授课专业及层次2023级电子信息科学与技术本科1班授课内容解析函数与调和函数、习题课学时数3教学目的掌握解析函数与调和函数的定义性质及应用重点解析函数与调和函数的定义性质难点解析函数的充要条件，调和函数的求法自学内容使用教具多媒体相关学科知识实二元函数的定义、性质教学法启发式教学法讲授内容纲要、要求及时间分配一、复习提问1、复函数的极限、连续、导数的定义2、复函数的极限、连续、导数存在判定定理3、全微分4、连续、可导、可微的关系二、习题订正授课内容：第一篇复变函数第二章导数第四节解析函数第五节调和函数第四节解析函数1、定义：如果函数f(z)不仅在z处可导，而且在z的某个邻域内任意点可导，那么称f(z)在z处解析，如果函数在区域D内任意点解析，那么称f(z)在区域D内解析。假设f(z)在不解析，那么称该点为f(z)的奇点。说明：函数在区域D内任意点解析与函数在该区域可导不等价2、应用例4-1讨论函数的解析性1〕f(x)=的解析性2〕f(x)=的解析性10分钟5分钟5分钟10分钟讲授内容纲要、要求及时间分配〔附页〕3、初等函数的解析性初等函数的定义立明4、函数解析的充要条件定理4-1函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在其定义域D内解析的充要条件是：u,v在D内可导，且满足柯西—黎曼方程。证明：有函数在D内任意一点可导的充要条件立明5、定理应用例4-2讨论以下函数的解析性1〕f(z)=2x(1-y)+i(x2+y2+2y)2)f(z)=***3)f(z)=zRe(z)=(x+iy)x例4-3证明假设函数f(z)在某区域内任意点均解析且导数为零，那么该函数在此区域上为常数。第五节调和函数一、调和函数定义：设二元实变量函数h(x,y)在区域D内具有连续的二阶偏导数，并且满足拉普拉斯方程：，那么称其为D内的调和函数。2、解析函数与调和函数的关系定理4-2假设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是区域D内的解析函数，那么u(x,y)、v(x,y)均为D内的调和函数。证明：见下一讲3、共轭调和函数定义：设函数u(x,y)、v(x,y)均是D内的调和函数，而且它们的一阶偏导数满足柯西—黎曼方程，那么称v(x,y)为u(x,y)的共轭调和函数。2〕共轭调和函数的性质定理4-3设f(z)=u(x,y)+iv(x,y),那么f(z)在D内解析的充要条件是：在D内v(x,y)是u(x,y)的共轭调和函数。定理4-4：假设实变函数v(x,y)在区域D内是u(x,y)的共轭调和函数，那么f(z)=u+iv在区域D内解析，f(z)=v(x,y)-iu(x,y)在区域D内亦解析。定理4-5设f(z)=u(x,y)+iv(x,y),假设f(z)在D内解析，那么在区域D内，v是u的共轭调和函数，u是-v的共轭调和函数。二、实部或虚部求解析函数表达式1、方法一、利用调和函数的定义2、方法二定理4-6设u(ox)是单连通区域D内的调和函数，(x0,y0)为D内任意取定的点，那么存在由确定的唯一形式的v(x,y),是f(z)=u+iv是D内的解析函数。10分钟10分钟10分钟5分钟5分钟10分钟5分钟5分钟5分钟5分钟10分钟10分钟讲授内容纲要、要求及时间分配〔附页〕3、应用例4-4下面的调和函数，求解析函数f(z)=u+iv1)u=shxsiny2)v=x2-y2+2y例4-51〕调和函数u(x,y)=y3-3x2y,求其共轭调和函数v(x,y)使f(z)=u+iv在相应区域解析。2〕解析函数的虚部v=x2+y2,求其实部三、本章总结本章重点学习了复变函数的连续、可导、解析函数、调和函数的概念，给出了各自的充要条件。要求：会判断函数的连续性、可导性、解析函数或调和函数。它们之间的关系：四、作业2.4.7a.db..cfddi10分钟10分钟5分钟5分钟教案姓名刘照军2023～2023学年第一学期时间2010-10-课程名称复变函数授课专业及层次2023级电子信息科学与技术本科1班授课内容复变函数的积分学时数3学时教学目的掌握积分的定义、性质、柯西定理与柯西积分公式，会求积分重点积分的定义、性质、柯西定理与柯西积分公式难点柯西定理与柯西积分公式的证明与应用自学内容使用教具无相关学科知识实函数的定积分计算、曲线积分的计算教学法启发式教学法讲授内容纲要、要求及时间分配一、复习提问1、解析函数、调和函数、共轭函数的定义2、解析函数的充要条件；3、调和函数的充要条件；4、共轭函数的充要条件5、实部或虚部求解析函数的虚部或实部的两种方法二、习题订正b第三章积分第一节积分的概念、性质、计算柯西定理及其推广柯西积分公式解析函数的导数三、第一节积分的概念、性质、计算1、不定积分原函数的定义：如果在区域D内，可导函数F(z)的导数为f(z)，那么称F(z)在区域D内是f(z)的原函数。不定积分的定义：区域D内f(z)的原函数F(z)+C称为f(z)在D内的不定积分记为：2、定积分定义：其中，f(z)为以z0为起点，z为终点的简单曲线C上的连续函数。10分钟10分钟5分钟5分钟讲授内容纲要、要求及时间分配〔附页〕3、性质：与实函数的定积分性质形式相同例5-1设C是一条可求长的曲线，求例5-2证明例5-3计算例5-4例5-5计算和，积分路径为z=-1到z=1的正向或逆向单位圆周。例5-6***，其中C为以为圆心，r为半径的正向圆周，n为整数。结论：在有时积分与路径选择无关？后续内容将解决该问题四、第二节柯西定理及其推广柯西定理：定理5-1设C是一条简单正向闭曲线，f(z)在以C为边界的有界闭区域D上解析，那么定理5-2设D为外边界C0及内边界C1、C2…Cn围成的有界多连通区域，f(z)在D内及边界线上解析，那么；也可表示为：五、柯西积分公式定理5-3***定理5-4设f(z)在简单正向闭曲线C及其所为区域D内处处解析，z0为D内任意点，那么例5-710分钟10分钟10分钟10分钟10分钟10分钟10分钟10分钟讲授内容纲要、要求及时间分配〔附页〕第四节解析函数的导数定理定理5-5设f(z)在简单正向闭曲线C及其所围区域D内处处解析，z0为D内任意点，那么推论：如果一个函数在某点解析，那么它的各阶导数在该点亦解析，进而有二、本章总结本章重点学习了复变函数的积分，柯西积分定理及其推广，解析函数的积分，积分与函数值的关系。本章内容是后续课程的根底，必须熟练掌握三、作业第三章习题p69bde3.3.13.4.115分钟10分钟10分钟5分钟教案姓名刘照军2023～2023学年第一学期时间2009-10-1课程名称复变函数授课专业及层次2023级电子信息科学与技术本科1班授课内容幂级数与泰勒级数学时数3学时教学目的掌握收敛级数、幂级数与泰勒级数的定义、性质及判断方法重点收敛级数、幂级数与泰勒级数的性质及判断方法难点函数的幂级数与泰勒级数的展开自学内容无使用教具多媒体相关学科知识《高等数学》中关于级数的收敛、函数的泰勒级数与幂级数的展开教学法启发式教学法讲授内容纲要、要求及时间分配一、复习提问1、柯西积分公式2、解析函数的导数二、习题订正1、3.3.1cdg3.3.2****授课内容：第一篇复变函数第四章级数第一节收敛序列和收敛级数幂级数泰勒级数一、收敛序列1、定义：定义6-1：对于复数序列{zn},假设充要条件：例6-1以下各数列是否收敛，假设收敛求其极限5分钟15分钟10分钟10分钟讲授内容纲要、要求及时间分配〔附页〕2、收敛数项级数定义：充要条件定理6-3例6-2判断以下级数是否绝对收敛，是否收敛？函数项级数定义：二、幂级数1、定义：收敛半径5分钟5分钟10分钟5分钟5分钟5分钟10分钟10分钟讲授内容纲要、要求及时间分配〔附页〕幂级数和函数的性质三、泰勒级数1、泰勒级数2、应用5分钟5分钟10分钟15分钟讲授内容纲要、要求及时间分配〔附页〕四、小结本讲主要研究了级数、幂级数的定义、性质、收敛判定定理、收敛半径、函数的泰勒展式与麦克劳林级数五、作业b)4.3.2****10分钟5分钟5分钟教案姓名刘照军2023～2023学年第一学期时间2010-10-25课程名称复变函数授课专业及层次2023级电子信息科学与技术专业本科1班授课内容罗朗级数、习题课学时数3教学目的掌握罗朗级数的定义，会将特殊的函数展为级数重点罗朗级数的定义及函数展为级数难点化一般函数为特殊函数，进而求出级数自学内容无使用教具多媒体相关学科知识特殊函数的级数展式教学法启发式、习题课讲授内容纲要、要求及时间分配一、复习提问1、收敛级数的定义及判定方法2、幂级数的定义及判定方法、收敛半径确实定3、函数展为泰勒级数的方法、常见函数展为泰勒级数收敛半径确实定二、习题订正CT授课内容第四章级数第四节罗朗级数一、罗朗级数1、定义：形如的级数称为罗朗级数，其中是复常数，称为罗朗级数的系数。2、罗朗级数的收敛假设在z处收敛，在z亦处收敛，那么称罗朗级数在z处收敛。15分钟15分钟5分钟15分钟讲授内容纲要、要求及时间分配〔附页〕3、收敛区间二、解析函数的罗朗展开式1、定理7-12、应用例7-1例7-2****例7-3例7-4例7-5例7-6结论：罗朗级数的求法主要是将一般函数化为特殊函数，确定系数及收敛半径。三、本章总结1、收敛序列2、收敛级数3、幂级数4、幂级数的收敛判定5、收敛半径与收敛圆盘6、幂级数的和函数的性质7、泰勒级数8、特殊函数的泰勒级数9、罗朗级数10、化一般函数为罗朗级数四、作业b4.4.4ac4.4.5ac10分钟20分钟10分钟10分钟10分钟10分钟10分钟15分钟5分钟教案姓名刘照军2023～2023学年第一学期时间2010-11-课程名称复变函数授课专业及层次2023级电子信息科学与技术专业本科1班授课内容解析函数的孤立奇点、留数学时数3教学目的掌握奇点定义、分类、性质、会计算留数重点奇点定义、分类、判别方法、性质、留数的定义与计算难点奇点的类型判定，留数的计算与应用自学内容无使用教具多媒体相关学科知识方程的零点阶的判定教学法启发式讲授内容纲要、要求及时间分配一、复习提问1、罗朗级数的定义2、特殊函数的罗朗级数3、化一般函数为罗朗级数二、习题订正b4.4.4ac4.4.5ac授课内容第五章留数第一节解析函数的孤立奇点第二节留数的一般理论一、留数的定义与计算二、留数定理第一节解析函数的孤立奇点一、孤立奇点的定义及分类1定义：设函数f(z)在z0的去心邻域D:内解析，但在z0处不解析，那么称z0为f(z)的孤立奇点2、孤立奇点的分类：设函数f(z)在z0的去心邻域D内解析，但在z0处不解析：f(z)在z0的罗朗展式中有〔1〕当n=-1,-2,…时，cn=0,那么称z0是f(z)的可去奇点〔2〕假设仅有有限个负整数n,使那么称z0是f(z)的极点。假设对于正整数m，有，n<-m时，cn=0，那么称z0是f(z)的m阶极点。〔3〕假设有无限多个n<0，那么称z0是f(z)的本性奇点。5分钟10分钟5分钟10分钟讲授内容纲要、要求及时间分配〔附页〕定理8-1设函数f(z)在z0的去心邻域D:内解析，但在处不解析，那么为f(z)的可去奇点、极点、本性奇点的充要条件是：不存在也不为推论〔极点的阶的求法〕：假设z0为f(z)的极点、那么是m阶极点的充要条件是二、零点与极点的关系1、定义〔零点〕假设f(z)在z0的邻域内解析，且f(z0)=0,那么z0为f(z)的零点定理8-2不恒为零的解析函数f(z)以z0为m阶零点的充要条件是：f(z)=(z-z0)mp(z),其中p(z)在z0处解析，且p(z0)0推论：f(z)在z0处解析,那么z0为m阶零点的充要条件是：f(n)(z0)=0,(n=0,1,2,…m-1f(m)(z0)02、应用例8-1考察1〕f(z)=z-sinz2)f(z)=sinz-1的零点3、零点与极点的关系：定理8-3z0为f(z)的m阶极点的充要条件是z0为的m阶零点。例8-2、考察f(z)=的孤立奇点，并指出类型。三、解析函数在无穷远点的性质1、定义：无穷远点的孤立奇点：假设f(z)在无穷远点的某一去心邻域D:内解析，那么称无穷远点为f(z)的孤立奇点。2、变换：3、判定定理定理8-4设函数f(z)在区域D:解析，那么为f(z)的可去奇点、极点、本性奇点的充要条件是：10分钟5分钟5分钟10分钟5分钟10分钟5分钟10分钟讲授内容纲要、要求及时间分配〔附页〕不存在也不为例8-3判定以下函数在处奇点的类型第二节留数的一般理论一、留数的定义与计算1、定义：设函数f(z)在z0的去心邻域D:内解析，z0为f(z)的孤立奇点，作圆，称为函数在孤立起点处的留数，记为，积分按C德正向。显然：2、留数的计算1〕当z0是可去奇点时，Res(f,z0)=02)当z0是本性奇点时，Res(f,z0)=c-13)当z0是极点时，〔1〕当z0是f(z)的一阶极点时，Res(f,z0)=特别的Res(f,z0)=〔2〕当z0是f(z)的m阶(m>1)极点时，Res(f,z0)=3、应用：例8-4求以下函数的留数二、留数定理***定理8-5设D是复平面上的有界闭区域，假设函数f(z)在D内除有限个孤立奇点z1,z2,z3…zn外处处解析，且在D的边界上亦解析，那么有三、小结本讲主要讲述了奇点的判定，留数的计算，及留数的应用，特别是计算实函数的定积分及广义积分问题应深刻理解。四、作业：bklefg10分钟10分钟10分钟10分钟10分钟5分钟5分钟教案姓名刘照军2023～2023学年第一学期时间2010-11-08课程名称复变函数授课专业及层次2023级电子信息科学与技术专业本科1班授课内容留数对定积分的应用、习题课学时数3教学目的掌握留数与积分的关系，会计算复几分及实广义积分重点留数的计算与应用难点留数与奇点关系、积分的计算自学内容无使用教具多媒体相关学科知识定积分、广义积分教学法讲授法讲授内容纲要、要求及时间分配一、复习提问1、孤立奇点在定点处的定义与分类2、孤立奇点在定点处的类型判定3、极点的阶确实定？4、极点与零点的关系？5、极点与零点的阶的关系？6、孤立奇点在无穷远处的定义与分类****7、留数的定义与计算****8、留数定理二、习题订正求以下各函数在其孤立奇点的留数？授课内容第五章留数第二节留数的一般理论第三节留数对定积分计算的应用一、留数在复积分中的应用例9-115分钟15分钟20分钟讲授内容纲要、要求及时间分配〔附页〕结论：计算包含有孤立奇点的定积分时：在积分区域内1〕确定孤立奇点，并判断类型2〕分别求出孤立奇点的留数3〕利用留数定理计算定积分二、无穷远点的留数1、定义：定理9-1设函数f(z)在扩充的复平面上除有限个孤立奇点z1,z2,z3…zn，外处处解析，那么有2、应用例9-2三、留数对定积分计算的应用例9-3例9-4计算积分例9-5计算积分例9-6计算积分四、本章小结本章主要讲述了奇点的判定，留数的计算，及留数的应用，特别是计算实函数的定积分及广义积分问题应深刻理解。五、作业：5.2.7dfh10分钟15分钟15分钟10分钟10分钟10分钟10分钟10分钟5分钟5分钟教案姓名刘照军2023～2023学年第一学期时间2010-11-15课程名称复变函数授课专业及层次2023级电子信息科学与技术专业本科1班授课内容保形映照、分式线形函数的映照学时数3教学目的掌握保形映照的概念、分式线性函数的定义、性质及应用重点保形映照的概念、分式线性函数的定义、性质难点分式线性函数的性质、应用自学内容无使用教具多媒体相关学科知识导数性质、分式函数的变形教学法启发式讲授内容纲要、要求及时间分配一、复习提问1、奇点的定义、分类、判定方法。2、留数的定义与求法。3、留数定理与应用。二、习题订正授课内容第六章保形映照第一节导数的几何意义及保形映照的概念第二节分式线性函数及其映照性质第三节分式线性函数的应用第一节导数的几何意义及保形映照的概念一、导数的几何意义1、曲线的切向量2、导数的几何意义即解析函数w=f(z)()作映照时，曲线间的夹角的大小及方向保持不变，此性质称为映照的保角性导数模的含义：二、保形映照的概念1、定义：称解析函数w=f(z)()所确定的映照为保形映照，也称为共形映照或保角映照。5分钟10分钟5分钟5分钟5分钟讲授内容纲要、要求及时间分配〔附页〕2、特点：把z平面上的一个区域变换为w平面上的一个区域时，在实施变换的每一点上具有保角性三、分式线性函数****1、定义2、讨论：在扩充复平面上，分式线性函数可视为以下四种简单函数复合而成。四、分式线性函数的性质定理10-1：在扩充复平面上，分式线性函数把圆映照成圆说明：1)当圆C的内部有极点时，将圆C的内部映照成圆的外部。2)当圆C的内部无极点时，将圆C的内部映照成圆的内部。定理10-2对于扩充Z平面上任意三个不同的点Z1，Z2，Z3,以及扩充W平面上任意三个不同的点W1，W2，W3，存在唯一的分式线性函数，把Z1，Z2，Z3分别映照成W1，W2，W3定理10-3扩充z平面上任何一个圆，可以用一个分式线性函数映照成扩充w平面上任何一个圆定理10-4两点z1及z2是关于圆C对称的充要条件是通过z1及z2的任何圆与圆C正交。其中对称点是指：5分钟5分钟10分钟10分钟10分钟10分钟5分钟讲授内容纲要、要求及时间分配〔附页〕定理10-5分式线性函数把z平面上圆C映照成w平面上的圆C/,那么它把关于圆C的对称点映照成w平面上关于圆C/的对称点。五、分式线性函数的应用例10-1分别把1，i,-1映照成-1i1例10-2假设分式线性函数的映照结果是圆，那么映照前z平面上的图形是什么？例10-3求证把上半平面映照为上半平面得分式线性映照一定可以表示为：例10-4试求把上半平面保形映照成圆盘的分式线性函数？例10-5试求把上半平面保形映照成单位圆的分式线性函数，使例10-6试求把圆盘保形映照成圆盘的分式线性函数？例10-7试求把圆盘保形映照成圆盘的分式线性函数，使例10-8试求把上半平面保形映照成圆的分式线性函数，使六、小结本讲主要讲述了保形映照的定义，分式线性函数的定义、性质、应用，对分式线性函数的性质必须熟练掌握、会利用分式线性函数求满足要求得分式线性变换。对例题的解法和构造思想必须牢记。七、作业6.2.16.2.26.b5分钟5分钟5分钟5分钟5分钟5分钟5分钟10分钟5分钟10分钟5分钟教案姓名刘照军2023～2023学年第一学期时间2010-11-22节次课程名称复变函数授课专业及层次2023级电子信息科学与技术专业本科1班授课内容指数函数与幂函数确定的映照学时数3教学目的掌握指数函数与幂函数的保形映照的性质，会用其作图形变换重点指数函数与幂函数的保形映照的性质及应用难点保形映照的图形变换及综合应用自学内容无使用教具多媒体相关学科知识无教学法启发式讲授内容纲要、要求及时间分配一、复习提问1、导数的几何意义2、导数模的含义3、保形映照的概念4、分式线性函数5、分式线性函数的变形6、分式线函数的性质二、习题订正CT6.2.1a6.3.1c授课内容第六章保兴映照第四节指数函数与幂函数所决定的映照一、指数函数w=ez所确定的映照1、在时2、一般地映照是将扩充z平面上的带形区域映照成扩充W平面的角形区域3、应用例11-1求将带形区域0<Im(z)<保形映照为单位圆***例11-2求把区域且保形映照为上半平面Im(W)>015分钟15分钟15分钟5分钟15分钟讲授内容纲要、要求及时间分配〔附页〕4、对数函数w=lnz的映照性质将角形区域映照为带形区域二、幂函数w=zn的映照〔角形区域到角形区域〕1、幂函数w=zn(n>1的正整数)的映照2、幂函数w=(n>1的正整数)的映照4、应用例15-7求把变换为单位圆的映照。例11-4求把上半单位圆保形映照为上半平面的函数例11-5求把具有割痕：z=t+it()的扩充z平面映射成上半平面Im(w)>0的一个映照。三、本章总结1、保形映照的性质：保角性，伸缩性，保边界性2、分式线性函数的映照性质保圆性，保对称点性，三点映照唯一性3、指数函数的映照性质将带形区域映照为角形区域4、对数函数的映照性质将角形区域映照为带形区域5、幂函数的映照性质将角形区域映照为角形区域，其角发生相应变化6、几个典型的分式线性变换1〕将上半平面映照为上半平面2〕将上半平面映照为单位圆3〕将单位圆映照为单位圆为实数7、解题技巧在处理边界有圆周、圆弧、直线、直线段所围的区域的共形映射问题时，分式线性变换起着十分重要的作用。这样的区域映射成上半平面的一般方法是：5分钟10分钟5分钟5分钟10分钟20分钟10分钟讲授内容纲要、要求及时间分配〔附页〕利用分式变换的性质，先将其中的一个交点映射成无穷远点，另一交点映射为原点，于是相应的区域也就映射成角形域，其次再利用幂函数的映射特点将角形域映射成所需要的上半平面。假设只有一个交点，那么先将此交点映射成无穷远点，这时相应的区域就映射成带形域，再利用指数函数的特点将带形区域映射成上半平面。四、典型例题例11-6将1〕且映照成上半平面2〕且映照成上半平面五、作业6.15分钟5分钟教案姓名刘照军2023～2023学年第一学期时间2010-11-课程名称复变函数授课专业及层次2023级电子信息科学与技术专业本科1班授课内容傅里叶积分与傅里叶变换学时数3教学目的掌握傅里叶变换的定义与的性质，会计算傅里叶积分重点傅里叶变换的定义与的性质难点傅里叶变换的性质及应用自学内容无使用教具多媒体相关学科知识函数的定义与性质教学法启发式讲授内容纲要、要求及时间分配授课内容第二篇积分变换傅里叶变换第一节傅里叶积分第二节傅里叶变换一、傅里叶积分1、定义：例12-1求傅里叶积分例12-2求三角脉冲函数的傅里叶积分10分钟讲授内容纲要、要求及时间分配2、傅里叶积分的物理意义—频谱傅里叶积分定理：假设函数f(t)在上满足以下条件：1〕f(t)在任意有限区间上连续或只有有限个第一类间断点2〕f(t)在任意有限区间上至多只有有限个极值点3〕f(t)绝对可积那么积分一定存在。且当t为f(t)的连续点时，傅里叶积分公式且当t为f(t)的间断点时，傅里叶积分公式上式f(t)换为：例12-3求指数衰减函数的频谱函数，并作出振幅频谱的图形例12-4求矩形单脉冲函数的傅里叶积分及傅里叶积分公式二、傅里叶变换1、定义：20分钟20分钟讲授内容纲要、要求及时间分配例12-5求钟形脉冲函数的傅氏变换三、傅里叶变换的性质〔此局部非常重要〕1、线性变换例12-6求函数的傅氏逆变换****2、位移性质例12-7证明:3、微分性质例12-84、积分性质5、对称性与相似性15分钟15分钟10分钟10分钟15分钟讲授内容纲要、要求及时间分配6、卷积与卷积定理〔1〕定义〔2〕卷积定理四、功率定理与自相关定理〔不要求掌握〕1、功率定理：2、自相关定理1〕自相关函数2〕自相关定理五、小结：1、傅里叶变换与傅里叶逆变换的定义与性质2、傅里叶变换与傅里叶逆变换的计算六、作业bbbd20分钟10分钟5分钟教案姓名刘照军2023～2023学年第一学期时间2010-12-06课程名称复变函数授课专业及层次2023级电子信息科学与技术专业本科1班授课内容函数、离散傅里叶变换与沃尔什变换学时数3教学目的理解δ函数的定义、性质、会利用性质计算或证明，了解离散变换重点函数的定义难点δ函数的性质及应用自学内容无使用教具多媒体相关学科知识傅里叶变换、广义积分、定积分教学法启发式讲授内容纲要、要求及时间分配一、复习提问1、傅里叶变换与逆变换2、傅里叶变换的性质二、习题订正CT二-1b.bd授课内容第二篇积分变换第一章傅里叶变换第三节δ函数一、δ函数的定义1、导入2、定义15分钟15分钟10分钟讲授内容纲要、要求及时间分配〔附页〕3、δ函数的数学思想对函数在自变量某值的非常狭小的“领域〞内取得非常大的函数值中的“领域〞不做精确细节的苛求，注重的是δ函数的积分值。二、δ函数的性质1、筛选性质对任意的连续函数f(t),有例13-32、δ函数是偶函数例13-4证明3、相似性质设a为非零实常数，那么结论：如果将t的尺度扩大a倍，那么冲击脉冲的冲击强度将应地缩小倍。4、δ函数是单位阶跃函数的导数三、δ函数的傅里叶变换1、公式10分钟10分钟10分钟10分钟5分钟10分钟讲授内容纲要、要求及时间分配〔附页〕2、应用例13-5证明例13-6求余弦函数f(x)=cosx的傅氏变换例13-7证明单位阶跃函数u(t)在时的傅氏变换为第四节离散傅里叶变换与离散沃尔什变换一、离散傅里叶变换1、有限傅里叶变换2、离散傅里叶变换及逆变换的定义3、离散傅里叶变换的性质〔1〕线性性质〔2〕反转性质〔3〕位移性质〔4〕卷积及卷积定理〔5〕乘积定理〔6〕瑞利定理二、快速傅里叶变换*****配合例题讲解具体的操作方法。三、离散沃尔什变换1、离散沃尔什变换的定义：2、离散沃尔什变换的性质：四、本章总结本章主要学习了傅氏变换及其逆变换，重点是掌握傅氏变换及其逆变换的定义、性质、会利用定义及性质计算或证明问题。δ函数的定义及性质不做重点掌握。本章要特别注意例题的学习。！五、作业5分钟10分钟10分钟15分钟5分钟5分钟5分钟教案姓名刘照军2023～2023学年第一学期时间2010-12-20节次课程名称复变函数授课专业及层次2023级电子信息科学与技术专业本科1班授课内容拉普拉斯变换及其逆变换、性质学时数3教学目的掌握拉普拉斯变换及逆变换的定义及计算方法，会利用留数求逆变换。重点拉普拉斯变换及逆变换的定义及计算难点拉普拉斯变换及逆变换的计算方法，成立条件，利用留数求逆变换。自学内容无使用教具多媒体相关学科知识函数的定义与性质、复变函数的积分教学法启发式讲授内容纲要、要求及时间分配一、复习提问1、傅里叶变换与逆变换2、傅里叶变换的性质3、函数的定义4、函数的性质授课内容第二篇积分变换第二章拉普拉斯变换第一节拉普拉斯变换的概念第二节拉普拉斯逆变换一、预备知识1、函数的定义2、函数的性质二、拉普拉斯积分1、拉普拉斯积分定义10分钟10分钟5分钟讲授内容纲要、要求及时间分配〔附页〕2、应用例15-1求单位阶跃函数的拉普拉斯积分例15-2求指数函数的拉普拉斯积分例15-3求正弦函数f(t)=sinkt(k为任意复数)的拉普拉斯积分3、拉普拉斯积分存在定理定理15-1例15-4求幂函数〔常数m>-1〕的拉普拉斯积分〔不要求掌握〕三、拉普拉斯变换及其逆变换1、定义：例15-5求函数f(t)=chkt的拉普拉斯变换〔其中k为任意复数〕例15-6求函数的拉氏变换定理15-2假设f(t)满足拉普拉斯积分存在定理的条件，F(s)=L[f(t)],那么，在f(t)的连续点处有反演公式15分钟10分钟10分钟5分钟讲授内容纲要、要求及时间分配〔附页〕定理15-3〔此定理非常重要，必须熟练掌握〕2、应用例15-7****求***例15-8求函数拉氏逆变换第三节拉普拉斯变换的性质一、线性性质1、根本性质2、应用例16-1求的拉氏变换。例16-2求函数的拉氏逆变换二、微分性质1、根本性质2、应用例16-3求函数f(t)=sinkt的拉氏变换***例16-4求函数****例16-5求函数5分钟10分钟10分钟10分钟讲授内容纲要、要求及时间分配〔附页〕三、积分性质1、根本性质例16-6求函数的拉氏变换四、延迟性质1、根本性质2、应用例16-6求函数例16-7求全波整流函数五、位移性质1、根本性质2、应用****例16-8求函数例16-9求函数六、卷积与卷积定理1、定义：10分钟10分钟10分钟10分钟讲授内容纲要、要求及时间分配〔附页〕3、应用例16-10求函数七、初值定理与终值定理初值定理：假设的拉式变换存在，那么终值定理：假设的拉式变换存在，且sF(s)的一切奇点都在左半平面(Re(s)<0),那么八、总结：本讲主要论述了拉普拉斯积分、拉普拉斯变换及逆