2023届四川省雅安市高三第一次诊断性考试数学（理）试题

2023届四川省雅安市高三第一次诊断性考试数学(理)试题

一、单选题

1.已知。为eR,i是虚数单位，若a+2i与1+为互为共貌复数，则(〃+历丫=()

A.5-4iB.5+4iC.-3-4/D.-3+4i

【答案】C

【分析】根据共规复数的概念可求得4，方的值，进而根据复数的乘法运算即可求得结果.

\d=\cC

【详解】由已知可得)=_2,所以(〃+切)=(l-2i)-=l-4i+4i2=—3-4i.

故选：C.

2.已知集合4=1k2+》-6<()},fi={x|-l<x<3},则()

A.(—3,3)B.(—2,3)C.(-1,5)D.(—5,3)

【答案】A

【分析】求出集合A,根据并集的运算即可求出结果.

【详解】解/+丫一6<0可得，-3<x<2,所以A={x|-3<x<2},

所以AuB={x|-3<x<2}u^x|-l<x<3|=(x|-3<x<3}.

故选：A.

3.采购经理指数(PMI),是通过对企业采购经理的月度调查结果统计汇总、编制而成的指数，它

涵盖了企业采购、生产、流通等各个环节，包括制造业和非制造业领域，是国际上通用的检测宏观

经济走势的先行指数之一，具有较强的预测、预警作用.制造业PMI高于50%时，反映制造业较上

月扩张；低于50%,则反映制造业较上月收缩.下图为我国2021年1月―2022年6月制造业采购

经理指数(PMI)统计图.

2021年:2022年

根据统计图分析，下列结论最恰当的一项为()

A.2021年第二、三季度的各月制造业在逐月收缩

B.2021年第四季度各月制造业在逐月扩张

C.2022年1月至4月制造业逐月收缩

D.2022年6月PMI重回临界点以上，制造业景气水平呈恢复性扩张

【答案】D

【分析】根据题意，将各个月的制造业指数与50%比较，即可得到答案.

【详解】对于A项，由统计图可以得到，只有9月份的制造业指数低于50%,故A项错误；

对于B项，由统计图可以得到，10月份的制造业指数低于50%,故B项错误；

对于C项，由统计图可以得到，1、2月份的制造业指数高于50%,故C项错误；

对于D项，由统计图可以得到，从4月份的制造业指数呈现上升趋势,且在2022年6月PMI超过50%,

故D项正确.

故选：D.

4.已知函数则/(x)的图象()

A.关于直线x=l对称B.关于点(1,0)对称C.关于直线x=0对称D.关

于原点对称

【答案】A

【分析】求出/(2-x)以及/(-x)的表达式，根据函数的对称性，即可判断各项，得到结果.

【详解】对于A项，由已知可得，/(2-x)=24+宙=4-j+£=2'+£=〃x),

所以f(x)的图象关于直线x=l对称，故A项正确；

对于B项，因为〃2-力=2、+/则/(2—x)~/(x),故B项错误；

对于C项，〃_可=2-，+9=42*+£,则/(—X)可(x),故C错误;

对于D项，因为〃-x)=42+/,则f(x),故D错误.

故选:A.

【点睛】设/(X)的定义域为Q.

对于Vxe，若/(2a-x)=/(x)恒成立，则〃力的图象关于直线对称；

对于Vxe，若〃2a-x)=-/(x)恒成立，则的图象关于点(。,0)对称.

5.党的二十大报告既鼓舞人心，又催人奋进.为学习贯彻党的二十大精神，某宣讲小分队将5名宣

讲员分配到4个社区，每个宣讲员只分配到1个社区，每个社区至少分配1名宣讲员，则不同的分

配方案共有（）

A.480种B.240种C.120种D.60种

【答案】B

【分析】先选出2人为1组有C；种，再将4组人员分配到4个社区有A：,根据分步计数原理，即

可求出结果.

【详解】5名宣讲员分配到4个社区，每个社区至少1人，则分配方式为1,1,1,2,

先选出2人为1组有C；=10种，再将4组人员分配到4个社区有A：=24,

所以不同的分配方案共有10x24=240.

故选：B.

6.函数〃力=与注在区间［-2兀,2可上的图象大致为（）

e+e

【答案】B

【分析】根据函数的奇偶性以及函数值的符号分析判断.

I详解】"二土蹩旦一变j）,

.../（X）为奇函数，图象关于原点对称，c、D错误;

又\•若xe（0,2兀］时-，2x3>0,e，+e*>0,

COSX>0,当当）时，COSX<0,

.,.当xe（0,5）ud，2兀）时,/（%）>（）,当代（右离时，/（x）<0,A错误,B正确;

故选：B.

兀p则sin(2a+胡的值为()

7.已知sina+—

6

7472-4及7

A.RD.

9999

【答案】D

【分析】以a+台7T为整体，利用诱导公式和二倍角的余弦公式运算求解.

0

【详解】vsin

故选：D.

8.如图所示的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中，后人称为“三角垛”.“三角

垛''最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，….如图所示的程序框图，输出的S即为

小球总数，则S=()

【答案】B

【分析】设第〃层小球个数为根据程序框图可知，输出的$=4+“2+〃3+4+为+〃6,求出各个

数即可得到.

【详解】设第〃层小球个数为勺，由题意可知，a„-a„_,=n(n>2).

根据程序框图可知，输出的$=4+%+〃3+%+%+4,

又4=1,a2=3,4=6,,="3+4=1°,4=04+5=15,%=4+6=21,

所以5=1+3+6+10+15+21=56.

故选：B.

9.过抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点尸且倾斜角为锐角的直线4与c交于两点A,B(横坐标分别

为4,X",点A在第一象限)，4为C的准线，过点A与4垂直的直线与4相交于点M.若|AF|=|FM|,

则%=()

XB

A.3B.6C.9D.12

【答案】C

【分析】由已知可求得直线4的斜率为g,则直线4的方程为y=联立直线与抛物线的

方程，可求出X“与，即可解得结果.

【详解】设直线4的斜率为人,倾斜角为。，

由抛物线的定义知，HM=|AF|,又|AF|=|FM|,所以△AKW为等边三角形，且4M//X轴，所以

0=Z.FAM=y,则左=12119=6.

产整。｝则直线人的方程为丫=唐卜-£)，

y2=2px

联立直州的方程与抛物线的方程尸可得12/-20内+3/=0,

解得七=]2，W=£,显然所以XY=2,

2626

3

所以，%=彳一=9.

XB

故选：C.

10.如图，在长方体ABCQ-AAGR中，底面A3CD为正方形，E,F分别为Bg,C。的中点，直

线8E与平面ABBM所成角为45,给出下列结论:

①EFH平面BB、D、D；②EF_LAG;

③异面直线BE与RF所成角为60;④三棱锥8-C斯的体积为长方体体积的看.

其中，所有正确结论的序号是（）

A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④

【答案】D

【分析】取BC中点为G,可证明平面EFG〃平面88Q。，根据面面平行的性质即可判断①；可证

明AG1平面期RO,即可判断②；可证明四边形BERH是平行四边形，即可得到。进而

可得N7/R尸即等于所求角，求出该角即可判断③；以BCE为底,即可求出三棱锥的体积，进而判

断④.

取3c中点为G,连结EG,fG.

对于①，因为E,F,G分别是BC，C28C的中点，所以EG〃B/FG//BD,

因为u平面58QO,EGct平面58QO,所以EG〃平面BBQO,

同理，FG〃平面BBRD.

因为，EGu平面EFG,FGu平面EFG,EGFG=G,所以平面EFG〃平面88QQ,

又Mu平面EFG,所以EF〃平面阳口。，所以①正确；

对于②，由已知可得四边形是正方形，BRLAC,

又平面ABC。，AGu平面ABCQ,所以8月，AG，

因为BQu平面叫DQ,B81U平面BBQ。，BBqBR=B],所以Ag，平面

又EF//平面BBRD,所以故②正确;

对于③，取AD中点为“，连结

UU1UUUUUUUUUUUU1UUUUUUUULUUUlf]11UIK|ULMUUUUUUULU

因为BE=BB「EB「HDt=DDt-DH,=DDy,EBt=~CXB,=-DA=DH,所以BE=HR,

所以BE//HR且BE=HR,

所以四边形BE。”是平行四边形，则〃H//BE,所以异面直线BE与RF所成角即等于直线与

QF所成角NHRF,

因为直线8E与平面AB8/所成角为45,瓦•平面48耳4,所以/£88=45,所以AE=BB-

设AB=2,则=g耳G=l,则*=RH=FH=血,

所以VRHF为等边三角形，所以N”RF=60°,故③正确；

对于④，设长方体体积为V,贝iJV=CL»xBCxCG.

因为CD，平面BCGB1,贝U

VB-CEF=VF-BCE=；xCFXSYBCE='xCFx；BCxCC\=-^xCDxBCxCC,>故④正确.

故①②③④正确.

故选：D.

11.已知椭圆C：a+g=l(a>6>0)的左焦点为耳，离心率为e,直线丫=匕(女*0)与C交于点M,

N,且用以％耳二三，/MFN=120。.当三/取最小值时，椭圆。的离心率为()

38

A.|B.—C.2D.范

2223

【答案】B

【分析】根据直线和椭圆的对称性可得"耳N6为平行四边形，再由NMF、N及向量的数量积可求尸，

再应用基本不等式,取等条件计算即可.

【详解】因为直线》=履(4=0)与C交于点M,N,

设。为MN的中点，由。为匕居的中点，故四边形叫为平行四边形.

则忻M=|g|,由椭圆定义得阿娟+园段=为

设I，叫="此卜〃，因为外所以耳m(-KN)q,又因NMKN=120。

48

所以一加7X

3'3

在△耳例心中，N£ME=60,应用余弦定理

222

|耳玛「=m+n-2mncosZFtMF2=nr+n-mn=(m+n')"-3mn

所以4c2=4/_8,又因为从+c、2=",所以从=2

〃271

222

当且仅当幺=W，即/=4时5/-e?取最小值，此吐c=a-b=4-2=2

8a28

12.设4=0.035,Z?=2.25(e"°’一1),c=41n1.01,则。，b,c的大小关系是()

A.a<b<cB.a<c<bC.b<c<aD.b<a<c

【答案】D

7

【分析】构建〃x)=ln(x+l)-《x,求导，利用导数判断单调性，结合单调性可证c>“，再构建

O

g(x)=e*-e"x-1，求导，利用导数判断单调性，结合单调性可证e。。一］<001/，再证

eoo,-l<O.Ole^<^,即可得

7I7\-lx

【详解】构建〃x)=ln(x+l)-gx,则/'(力=有_§_8(1)，

o

当0<x<；时，则/<x)>0,故在(0,；)上单调递增,

0,1L则/(0.01)>/(0)=0,即Inl.O0l.-07g〉。,

0.01G

8

/.41nl.01>0.035,即c>cj

,2

构建g(x)=e，一e0一l，贝Ug'(x)=e"—e"

当0<x<；时，则g[x)<0,故g(x)在(0,；)上单调递减，

V0.01贝l」g(0.01)<g(0)=0,即€。。1_0.01工-1<0

.1

,•e^'-UO.Ole4'

114

又；则e4<一

9

e°"-l<0.01/〈等，故2.25（e°e-l）<0.035,即

综上所述：b<a<c.

故选：D.

【点睛】关键点点睛：

①若证。>〃，构建f(x)=ln(x+l)-(x,结合导数分析判断；

O

②若证匕<。，构建g(x)=e、-e；x_l，结合导数分析判断，并根据题意适当放缩证明.

二、填空题

x-2y-4<0

13.若x,y满足约束条件<x-y-220,贝ijz=2x-3y的最大值为.

【答案】8

【分析】作出可行域，通过平行>=|卜-])确定z的最大值.

【详解】如图，作出不等式组所表示的平面区域，

联立方程e,=0,解得Jy=o,即C(4,0),

由z=2x-3y,即、=,('一£)表示斜率上=',横截距为|■的直线/,

通过平移可得当直线/过点C时，横截距最大，即z最大，故ZM=2X4-3X0=8.

故答案为：8.

14.已知向量a=(l,3),6=(2,-4),则向量°与向量b的夹角为

【答案】”35

【分析】根据数量积的坐标表示求夹角即可得到.

【详解】由已知可得，a・b=(l,3>(2,T)=lx2+3x(-4)=—10,|«|=#77=V10,

忖=百+(-4)2=2退,

则由“为第忡os(总可得，cos(*=前=篇觊=一岁

所以，向量a与向量b的夹角为学.

4

故答案为：—.

4

15.若函数/(x)=sinax+Gcoss(69>0)的最小正周期为兀，则满足条件'"(x+夕)是偶函数”的。

的一个值为(写出一个满足条件的。即可).

【答案】](答案不唯一，也可以写喑，蔡，符合已+,，左eZ即可)

【分析】化简可得〃x)=2sin"+。又根据周期可得〃x)=2sin(2x+£),即可得到

/(x+S)=2sin(2x+2e+/),根据偶函数可得*=三十^,keZ.

【详解】.f(x)=sin(yx+Gcos(yx=2gsintwx+与costwx)=2sin(<yx+]],

又〃x)的最小正周期为兀，所以@=兀，则。=2,所以/(x)=2sin(2x+R,

co\5)

所以/(x+0)=2sin(2x+20+W).

又因为/(x+S)是偶函数，所以应满足29+5=]+航，kwZ,

所以有9=专+墨kwZ.

故答案为：—.

16.已知。是边长为3的正三角形ABC的中心，点P是平面A8C外一点，P。1平面ABC,二面角

P-AB-C的大小为60。，则三棱锥P-ABC外接球的表面积为.

49

【答案】v71

【分析】根据题意分析可得二面角P-AB-C的平面角为/皿=60。，进而可得相关长度，再结合

球的性质可得MC2=MC>2+OC2,可得球的半径，即可得结果.

【详解】是正三角形48c的中心，则0A=Q3=0C,

PA=PB=PC,

取A8的中点。，连接/科8,则即二面角P-AB-C的平面角为NP£）C=60。，

由正三角形A8C的边长为3,则OC=2OD=5PO=|,

三棱锥尸-A3C为正三棱锥，则三棱锥P-A8C的外接球的球心M在直线P。上，设三棱锥P-ABC

的外接球的半径为R，

VMC2=MO-+OC-,则心仁-/?）+3,解得R=（,

4Q

・・・三棱锥P-ABC外接球的表面积S=4兀/?2=兀.

4

故答案为：;49兀.

4

【点睛】结论点睛：球的相关性质：

①球的截面均为圆面；

②球心与截面圆心的连线垂直于该截面.

三、解答题

17.某企业为改进生产，现某产品及成本相关数据进行统计.现收集了该产品的成本费y（单位:

万元/吨）及同批次产品生产数量x（单位：吨）的20组数据.现分别用两种模型①y="+〃，

②y=@+c,进行拟合，据收集到的数据，计算得到如下值:

X

20.202()20

£(苍一五)-xu-n2E(y-y)U-?)

Xy7f

J=l1=11=1r=l

10665-4504

1120

表中‘产二，7=五》一

勺XX）i=i

£（3）2

2

若用心=1-三--------刻画回归效果，得到模型①、②的心值分别为a2=0.7891,/?2=0.9485.

t（yi-y）2

»=1

⑴利用K「和叫2比较模型①、②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由；

（2）根据（1）中所选择的模型，求）,关于x的回归方程；并求同批次产品生产数量为25（吨）时），

的预报值.

附：对于一组数据（知匕），（巧，4），…，（%，%），其回归直线$=&+Ar的斜率和截距的最小二乘

法估计分别为6=J----------，a=y-Px.

£（占-才

1=1

【答案】（1）选择模型②，理由见解析；

（2）6.

【分析】（1）根据已知42>R；,根据店的意义，即可得出模型②的拟合效果好，选择模型②;

（2）y与f可用线性回归来拟合，有§，=济+1,求出系数2,金，得到回归方程5=100/+2,即可得

到成本费y与同批次产品生产数量X的回归方程为9=吧+2,代入x=25,即可求出结果.

X

【详解】（1）应该选择模型②.

由题意可知，R；>R：,则模型②中样本数据的残差平方和£（丫厂用2比模型①中样本数据的残差

1=1

平方和小，即模型②拟合效果好.

（2）由已知r=1,成本费y与，可用线性回归来拟合，有》=2+s.

X

£20（3》）（一）4

由已知可得，2=\----------=-=100,

2（—）2°。4

1=1

所以£=歹一方=10-100x0.08=2,

则y关于，的线性回归方程为5=100/+2.

成本费y与同批次产品生产数量x的回归方程为？="。+2,

X

当x=25（吨）时，？=翳+2=6（万元/吨）.

所以，同批次产品生产数量为25（吨）时y的预报值为6万元/吨.

18.已知｛%｝为等差数列，且4=1,4=3（4-4）・

（1）求数列｛%｝的通项公式；

⑵若数列间满足：々+2优+2迅+…+2”“吟（〃eN*）,求也｝前〃项和S„.

【答案】（1）%=〃

⑵S，=1-.

【分析】（1）根据等差数列的定义和通项公式运算求解；（2）先根据前"项和与通项之间的关系求

得。=/，可得他,｝为等比数列，利用等比数列的前〃项和公式运算求解•

【详解】（1）设数列｛a,,｝的公差为d,

a（y=3（%一生），贝！jq+5d=6d,即d=q=1,

/.an=1+〃-1=〃,

故数列｛«,,｝的通项公式4,=n.

2

（2）V+2i2+2/?3+...+2"-'

当〃=1时，则仇=g=:；

22

,1,

当〃22时，则4+2b[+2'b3+...+2"bn_]=1^■,

两式相减得2"%“=巴年则〃=：；

综上所述：bn=^.

1

又・・,蒙=4=；，故数列也｝是以首项4=；,公比4=g的等比数列，

T

21-

数列也｝的前〃项和S=I

14

19.己知_ABC的内角4,B,。所对的边分别为小乩。从下列三个条件中选择一个并解答问题:

2cosAcos3cosC

—=^—+——；(2)cosC-V3sinC=-——

beabaca

@cr-c1+—bc=abcosC.

2

(1)求角A的大小;

(2)若c=3,且的面积为3々，求的周长.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】⑴A=；

(2)7+713.

【分析】(1)如选择①，由已知可得2acosA=ccos5+bcosC,根据正弦定理以及两角和的正弦公

式的逆用，即可得出cosA=g,进而求出A；如选择②，由已知可得acosC-GqsinC=0-2c,根

据正弦定理以及两角和的正弦公式，即可得出cosA+GsinA=2,利用辅助角公式可得

sin(A+j]=l,根据角的范围即可求出A；如选择③，由余弦定理可得，a2-c2+-bc=a2+b2~c2,

化简即有历=。2+o2-/,进而求出cosA=g,即可求出A；

(2)根据三角形的面积公式S八北=；历"114即可求出b=4,根据余弦定理即可求出"=屈，进

而即可得到A8C的周长.

*、4E/・、4-2cosAcosBcosCccosB+bcosC

【详解】(1)如选择①，有「一=——+----=--------------,

beabacabc

B|J2<2COSA=ccosB+/?cosC,

由正弦定理可得，2sinAcosA=sinCeosB+sinBcosC=sin(8+C)=sinA,

又sinAwO,所以cosA=；,

因为OvAv兀，所以A=1.

b2

如选择②，由cosC-6sinC=^^可得，tzcosC->/3asinC=b-2c,

a

由正弦定理可得，sinAcosC-75sinAsinC=sinB-2sinC,

XsinB=sin(/4+C)=sinAcosC+cosAsinC,

所以sinCeosA+VJsinAsinC=2sinC，又sinCwO,

所以cosA+GsinA=2,即2x^cosA+^-sinA=2sin(A+g]=2,

122J16；

所以sin(A+[)=l.

因为OVAVTT,所以+所以A+m=g，解得4=：

o6662J

如选择③，ci2-c2+=abcosC.

由余弦定理可得，〃2一t+>桃=曲八护一°?=a~"：

2lab2

整理可得，bc=加+/一02,所以cosA=空三二土:=生=’.

2bc2hc2

因为0cA<兀，所以A=1.

(2)由(1)知，A=j,又c=3,且一AfiC的面积为3白，

所以有SVABC=；bcsinA=；x36x等=36,解得b=4,

由余弦定理可得，«2=&2+c2-2foccosA=42+32-2x4x3x1=13,

所以a=>f\3,

所以」,ABC的周长Z,=a+Hc=7+s/II.

20.如图，四棱锥尸-4?C3的底面是矩形，底面A8C£>,PD=AD=y/3AB.

P

（1）试在棱8c上确定一点M,使得平面平面尸8D,并说明理由.

（2）在第（1）问的条件下，求二面角M-PA-C的余弦值.

【答案】（1）答案见详解；

”、3版

（勺------

35

【分析】(1)当M为棱BC上靠近点8的三等分点时，根据三角形相似，可推出ZA8£>+NMA8=90°,

即进而证明平面尸8£),从而得到面面垂直：

(2)以点。为原点建立空间直角坐标系，求得各点坐标，求出平面的法向量以及平面CPA的

法向量，再根据图形判断二面角为锐角，即可求出结果.

【详解】(1)当M为棱8C上靠近点8的三等分点时，平面小"_L平面92.

AB=AB=n

证明：若”为棱BC上靠近点3的三等分点，AO=gAB,所以的=不=.

一/\LJ

3

A。r

又二二=J3,ND48=ZA8M=90°,所以..ZM8s.ABM.

AB

所以NM4B=NBD4.

y.ZABD+ZBDA=90°,所以ZA8O+NM48=9()",所以AM_L8£).

因为PD_L底面ABC。，AWu平面ABC。，所以PD2AA7.

因为3£>u平面?B£),PDu平面尸B£),BDPD=D,所以AMI平面尸B£).

又AMu平面PAM,所以平面PAM_L平面

由(1),连结AC,以点3为原点，分别以D4,DC,OP所在的直线为轴，如图建立空间直角坐

(2Jj、

标系，设AB=1,贝ijAE>=6,A(退,0,0),P(0,0,G),C(0,l,0),M—,1,0.

uuirfAuuu,...

AM=-¥/,0,AP=(-V3,0,V3),AC=(-V3,l,0).

<)

n}-AM=0玉+%=。

设平面MBA的法向量为吗=(X],y”zJ,贝",即_1J

nAP=0

i+y/3z^—0

令玉=3,则〃i=(3,百,3).

/、AC=0一>/3%+%=0

设平面CPA的法向量为n,=(左,%,Z2),贝I一，即一；

n2-AP-0[一。3占+V3Z2=0

取々=1,则%=(1,6,1).

UIII--------

3+3+33V105

一后Xg35'

显然二面角河-4-。为锐角，所以二面角的余弦值为三叵.

35

21.已知函数〃x)=xe*-a(Jx2+x-l).

⑴若X=-1是/(X)的极小值点，求a的取值范围；

(2)若x20,/(x)>0,求a的取值范围.

【答案】⑴a<L

e

⑵[0，e&].

【分析】⑴求导可得f'(x)=(x+l乂e-a),然后分为“40、。>0进行分类讨论，当4>0时，导

函数有两个解，对两个解的大小关系进行讨论，即可得到〃的取值范围；

(2)当时，可知/'(x)“恒成立，则“X)单调递增，只需〃0)“即可,代入得到时,

由(1)知，当x=lna时，取得极小值，也即为最小值.根据题意，只需满足〃4面="Ina"。，

整理即可得到关于。的不等式，求解即可得到.

【详解】(1)由已知可得，f(x)定义域为R.

/,(x)=eA+xev-a(x+l)=(x+l)(eA-a).

①当440,贝Ue，一a>0恒成立，解/'(x)=0可得x=—1,

解汽x)>。,可得x>-l；解/(力<0,可得x<—l.

显然X=-1是“X)的极小值点，满足条件.

②当4>0时，解/'(x)=0可得占=T,x2=\na.

(i),即0<a<，时，解可得xclna或%>一1；

解r(x)<0,可得lna<x<T.此时％=-1是〃x)的极小值点，满足条件;

(ii)当lna=-l,即。=一时，((司20恒成立，无极值点；

e

(iii)当即a>l时，解/，x)>0,可,得x>lna或x<-l；

解r(X)<0,可得T<x<lna.此时》=-1是〃x)的极大值点，与己知不符.

综上所述，。的取值范围为。<L

e

(2)由(1)知，,f(x)=(x+l)(er-a),

因为x20,所以e**l,

①当“41时，可知/'(x)WO恒成立，则单调递增.

故xNO时，/(x)>/(O)-a>O,所以，OWaWl满足条件.

②当”>1时，可知0<x<lna时，f'(x)<0,〃x)单调递减；x>lna时，制x)>0,〃x)单调递

增.

所以，在区间［0,+8)上，当x=lna时，/(x)取得极小值，也即为最小值.

由于xNO,/(x”0恒成立，

则“X)而n=/(ma)=lna-eS"-"(；ln2a+lna-l)N(),

即有°1114-4(!11?4+111”140,整理可得In2a42,

因为a>l,lna>0,所以有O<lnaV0，解得IcaWe".

综上所述，〃的取值范围为［。得也］.

【点睛】求解不等式在区间上恒成立问题，常常转化为求解函数的最值问题：即借助导函数得到函

数的单调性，研究函数的极值、最值，列出关系式，即可求得参数的范围.

22.在直角坐标系xQy中，直线/的参数方程为卜=6+'cosaa为参数).以坐标原点为极点，x

y=tsina

Q

轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C的极坐标方程为炉=」~/，直线/与曲线C相交于A,

5-3cos2，

B两点,M(V3,0).

(1)求曲线C的直角坐标方程；

(2)若AA/=2M8,求直线/的斜率.

【答案】⑴E+>2=1

4

⑵土学

x=pcosO

【分析】（1）根据极坐标与直角坐标直角的转化y=「sin。，运算求解；（2）联立直线/的参数方

2*>9

p-=x'+y-

程和曲线C的直角坐标方程，根据参数的几何意义结合韦达定理运算求解.

一..2=8_______________8_______________4

-222222

【汗”】（1）•P-5