新教材2023年秋高中数学课时分层作业11数学归纳法新人教A版选择性必修第二册

课时分层作业(十一)数学归纳法一、选择题1．用数学归纳法证明1＋12＋13＋…＋12n-1<n(n∈N*，A．1＋12B．1＋12＋1C．1＋12＋1D．1＋12＋13＋2．用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…＋12n-1－12n＝1n+1＋1n+2＋…＋A．12k+2C．12k+1－123．一个与正整数n有关的命题，当n＝2时命题成立，且由n＝k时命题成立可以推得n＝k＋2时命题也成立，则()A．该命题对于n>2的自然数n都成立B．该命题对于所有的正偶数都成立C．该命题何时成立与k取值无关D．以上答案都不对4．利用数学归纳法证明1＋12＋13＋14＋…＋12n-1<n(n≥2，n∈N*)的过程中，由n＝k变到n＝A．1项 B．k项C．2k-1项 D．2k项5．(多选)对于不等式n2+n≤n＋1(n∈N①当n＝1时，12+1≤1②假设n＝k(k∈N*)时，不等式成立，即k2+k<k＋1，则n＝k＋1时，k+12+k+1＝k2+∴当n＝k＋1时，不等式成立，关于上述证明过程的说法正确的是()A．证明过程全都正确B．当n＝1时的验证正确C．归纳假设正确D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确二、填空题6．已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…＋1n-1－1n＝21n+2+7．用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1时的情况，只需展开________．8．已知f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n(n∈N*)，用数学归纳法证明f(2n)>n2时，f(2k+1)－f(2k三、解答题9．已知正项数列{an}中，a1＝1，an＋1＝1＋an1+an(n∈N*)．用数学归纳法证明：an<an＋1(n10．(多选)用数学归纳法证明不等式1n+1＋1n+2＋1n+3＋…A．使不等式成立的第一个自然数n0＝1B．使不等式成立的第一个自然数n0＝2C．n＝k推导n＝k＋1时，不等式的左边增加的式子是1D．n＝k推导n＝k＋1时，不等式的左边增加的式子是111．利用数学归纳法证明等式：1·n＋2·(n－1)＋3·(n－2)＋…＋n·1＝16n(n＋1)(n＋2)(n∈N*)，当n＝k时，左边的和1·k＋2·(k－1)＋3·(k－2)＋…＋k·1，记作Sk，则当n＝k＋1时左边的和，记作Sk＋1，则Sk＋1－Sk＝(A．1＋2＋3＋…＋kB．1＋2＋3＋…＋(k－1)C．1＋2＋3＋…＋(k＋1)D．1＋2＋3＋…＋(k－2)12．用数学归纳法证明“当n∈N*时，求证：1＋2＋22＋23＋…＋25n-1是31的倍数”时，当n＝1时，原式为________，从n＝k到n＝k＋1时需增添的项是________．13．记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋________．14．(1)用数学归纳法证明：1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝n+3n+42(n∈(2)用数学归纳法证明：1＋12＋13＋…＋1n<2n(n∈N15．是否存在a，b，c使等式1n2＋2n2＋3n2＋…＋nn2课时分层作业(十一)1．B[因为n∈N*，n>1，故第一步应验证n＝2的情况，即1＋12＋13<2．故选B2．C[因为当n＝k时，左端＝1－12＋13－14＋…＋12k-1－12k，当n＝k＋1时，左端＝1－12＋13－14＋…＋12k-13．B[由n＝k时命题成立可以推出n＝k＋2时命题也成立，且n＝2时命题成立，故对所有的正偶数都成立．]4．D[用数学归纳法证明不等式1＋12＋13＋14＋…＋12n-1<n(n≥2假设n＝k时不等式成立，左边＝1＋12＋13＋…＋12k-1，则当n＝k＋1时，左边＝1＋12＋13＋…＋12∴由n＝k递推到n＝k＋1时不等式左边增加了：12k＋12k+共(2k+1－1)－2k＋1＝2k项，故选D．]5．BCD[n＝1的验证及归纳假设都正确，但从n＝k到n＝k＋1的推理中没有使用归纳假设，而通过不等式的放缩法直接证明，不符合数学归纳法的证题要求．故选BCD．]6．n＝k＋2时等式成立[由于n为正偶数，已知假设n＝k(k≥2)为偶数，则下一个偶数为n＝k＋2．故答案为n＝k＋2时等式成立．]7．(k＋3)3[假设当n＝k时，原式能被9整除，即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除；当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3．为了能用上面的归纳假设，只需将(k＋3)3展开，让其出现k3即可．故答案为(k＋3)3．]8．12k+1＋12k+2＋…＋12k+1[因为假设n＝k时，f(2k)＝1＋12＋f(2k+1)＝1＋12＋13＋…＋12k＋12所以f(2k+1)－f(2k)＝1＋12＋13＋…＋12k＋12k+1＋…＋12k+1＝12k+1＋12k9．证明：①当n＝1时，a2＝1＋a11+a1＝32，a1<a②假设n＝k(k∈N*)时，ak<ak＋1成立，则当n＝k＋1时，ak＋2－ak＋1＝1＋ak+11+ak+1－ak＋1＝1＋ak+11所以，当n＝k＋1时，不等式成立．综上所述，不等式an<an＋1(n∈N*)成立．10．BC[n＝1时，11+1＞1324不成立，n＝2时，12+1＋12+2＞1324成立，所以A错误，B正确；当n当n＝k＋1时，左边的代数式为1k+2＋1k+3＋…＋12k+2，故用n＝k＋1时左边的代数式减去n＝k时左边的代数式的结果，即12k+1－1211．C[依题意，Sk＝1·k＋2·(k－1)＋3·(k－2)＋…＋k·1，则Sk＋1＝1·(k＋1)＋2·k＋3·(k－1)＋4·(k－2)＋…＋k·2＋(k＋1)·1，∴Sk＋1－Sk＝1·[(k＋1)－k]＋2·[k－(k－1)]＋3·[(k－1)－(k－2)]＋4·[(k－2)－(k－3)]＋…＋k·(2－1)＋(k＋1)·1＝1＋2＋3＋…＋k＋(k＋1)．]12．1＋2＋22＋23＋2425k＋25k+1＋25k+2＋25k+3＋25k+4[当n＝1时，原式应加到25×1-1＝24，所以原式为1＋2＋22＋23＋24，从n＝k到n＝k＋1时需添25k＋25k+1＋…＋25(k+1)-1．]13．π[由凸k边形变为凸k＋1边形时，增加了一个三角形图形，故f(k＋1)＝f(k)＋π．]14．证明：(1)①当n＝1时，左边＝1＋2＋3＋4＝10，右边＝1+3×1②假设n＝k(k∈N*)时等式成立，即1＋2＋3＋…＋(k＋3)＝k+3那么当n＝k＋1时，1＋2＋3＋…＋(k＋3)＋(k＋4)＝k+3k+42＋(k＋即当n＝k＋1时，等式成立．综上，1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝n+3n+42(n∈(2)①当n＝1时，左边＝1，右边＝2，左边<右边，故当n＝1时不等式成立．②假设当n＝k(k∈N*)时不等式成立，即1＋12＋13＋…＋1k那么当n＝k＋1时，左边＝1＋12＋13＋…＋1k＋1k+1因为4k2＋4k<4k2＋4k＋1，所以2k2+k<2k＋所以2k＋1k+1＝2k+1k+1k+故当n＝k＋1时，不等式也成立．综上，由①②可知1＋12＋13＋…＋1n15．解：取n＝1，2，3可得a+b+c=解得：a＝13，b＝12，c＝下面用数学归纳法证明1n2＋2n2＋3n2＋…＋即证12＋22＋…＋n2＝16n(n＋1)(2n＋1)①n＝1时，左边＝1，右边＝1，∴等式成立；②假设n＝k时等式成立，即12＋22＋…＋k2＝16k(k＋1)(2k＋1