广西“贵百河”2023-2024学年高二上学期12月新高考月考测试数学试题

2022级“贵百河”12月高二年级新高考月考测试数学（考试时间：120分钟满分：150分）注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单选题：共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合，则（）A． B． C． D．2．已知复数满足，则复数的虚部为（）A． B． C． D．23．双曲线的渐近线方程是（）A． B． C． D．4．如图，已知三棱锥中，点分别为的中点，且，则（）A． B． C． D．5．在棱长为的正方体中，向量与向量所成的角为（）A． B． C． D．6．已知命题方程表示焦点在轴上的椭圆，则使命题成立的充分不必要条件可以是（）A． B． C． D．7．国家速滑馆又称“冰丝带”，是北京2022年冬奥会的标志性场馆，拥有亚洲最大的全冰面设计，但整个系统的碳排放接近于零，做到了真正的智慧场馆、绿色场馆，并且为了倡导绿色可循环的理念，场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统，已知过滤过程中废水的污染物数量与时间的关系（为最初污染物数量）．如果前3个小时消除了的污染物，那么污染物消除至最初的还要（）A．2.6小时 B．3小时 C．4小时 D．6小时8．若曲线上存在点，使到平面内两点距离之差的绝对值为8，则称曲线为“好曲线”，以下曲线不是“好曲线”的是（）A． B． C． D．二、多选题：共4小题，每小题5分，共20分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分．9．对于抛物线，下列描述正确的是（）A．开口向上，焦点为 B．焦点到准线的距离为4C．开口向上，焦点为 D．准线方程为10．已知函数，则（）A．函数的最小正周期为B．将函数的图象向右平移个单位后的图象关于轴对称C．函数的一个对称中心为D．函数在区间上单调递减11．为了考查某校各班参加课外书法小组的人数，从全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的人数作为样本数据．已知样本平均数为7，样本方差为4，则样本数据中的最大值可以为（）A．9 B．10 C．11 D．1212．已知，则（）A． B． C． D．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若两条直线与互相垂直，则的值为______．14．圆心为，且过点的圆的方程是______．15．已知椭圆的左、右焦点分别为，过作轴的垂线，交椭圆于点，若直线的斜率为，则椭圆的离心率为______．16．已知函数定义域为，对任意的，当时，有是自然对数的底）．若，则实数的取值范围是______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本题10分）如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面为的中点，为与的交点．（1）证明：平面；（2）求三棱锥的体积．18．（本题12分）已知的内角所对的边分别为，且满足．（1）求角的大小；（2）若，求的面积．19．（本题12分）已知直线．（1）求证：直线与圆恒有公共点；（2）若直线与圆心为的圆相交于两点，且为直角三角形，求的值．20．（本题12分）甲、乙两人玩一个摸球猜猜的游戏，规则如下：一个袋子中有4个大小和质地完全相同的小球，其中2个红球，2个白球，甲采取不放回方式从中依次随机地取出2个球，然后让乙猜．若乙猜出的结果与摸出的2个球特征相符，则乙获胜，否则甲获胜，一轮游戏结束，然后进行下一轮（每轮游戏都由甲摸球）．乙所要猜的方案从以下两种猜法中选择一种：猜法一：猜“第二次取出的球是红球”；猜法二：猜“两次取出球的颜色不同”．请回答：（1）如果你是乙，为了尽可能获胜，你将选择哪种猜法，并说明理由：（2）假定每轮游戏结果相互独立，规定有人首先获胜两次则为游戏获胜方，且整个游戏停止．若乙按照（1）中的选择猜法进行游戏，求乙获得游戏胜利的概率．21．（本题12分）如图，已知点，圆，点在圆上运动，的垂直平分线交于点．（1）求动点的轨迹的方程；（2）直线与曲线交于两点，且中点为，求直线的方程及的面积．22．（本题12分）如图，在三棱锥中，是正三角形，是的中点．（1）证明：；（2）若二面角为，求直线与平面所成角的正弦值．2022级“贵百河”12月高二年级新高考月考测试数学参考答案一、单选题：1．B2．D3．C4．D5．C6．A7．B8．A二、多选题：9．AB10．AD11．BC12．AC三、填空题：13．414．15．16．16．解：因为函数定义域为，且对任意的，当时，有，所以对任意的，当时，有，令，即为，所以函数是上的减函数，由，得，且，则，所以，因此由函数是上的减函数得，解得，则实数的取值范围是．故答案为：．四、解答题：17．（10分）解：（1）证明：四边形为正方形，为与的交点，是的中点，又是的中点，，又平面平面，平面．（2）平面是的中点，到平面的距离，四边形是正方形，，三棱锥的体积．18．（12分）解：（1）因为可得：，由余弦定理可得，，又，所以；（2）由可得，由余弦定理知：，，解得，．19．（12分）解：（1）因为圆的圆心为，半径为，所以圆心到直线的距离．又因为，所以，即．所以直线与圆相交或相切，即恒有公共点．（2）由圆得，圆心，半径为2．因为与圆相交于两点，且是直角三角形，所以．所以圆心到直线的距离，解得．20．（12分）解：（1）用表示两个红球，用1，2表示两个白球，甲不放回取两球的所有结果：，共12个不同结果，它们等可能，令事件为“第二次取出的是红球”，则事件所含结果有：，共6个，令事件为“两次取出球的颜色不同”，则事件所含结果有：，共8个，于是得，显然，，为了尽可能获胜，应该选择猜法二．（2）由（1）知，乙选择猜法二，每一轮乙获胜的概率为，游戏结束时，乙获胜的事件是乙在第一二轮胜的事件，第一轮负另外两轮胜的事件，第二轮负另外两轮胜的事件的和，它们互斥，于是得，所以乙获得游戏胜利的概率是．21．（12分）解：（1）圆的圆心，半径，由的垂直平分线交于点，得，则，因此的轨迹是以为焦点，长轴长为4的椭圆，则，半焦距，短半轴长，所以点的轨迹的方程为：．（2）设曲线上的点，即有，两式相减得，而中点为，即，于是，即直线的斜率为，直线的方程为，即，显然点在椭圆内，即直线与椭圆必相交于两点，符合题意，所以直线的方程为；由消去得：，则，，，点到直线的距离，所以的面积．22．（12分）解（1）取的中点，连接，因为是正三角形，所以，因为是的中点，所以，因为