勾股定理的应用八年级数学上册尖子生培优题典2

2021-2022学年八年级数学上册尖子生同步培优题典【浙教版】专题勾股定理的应用〔重难点培优〕姓名：__________________班级：______________得分：_________________考前须知：本试卷总分值100分，试题共24题，选择10道、填空8道、解答6道．答卷前，考生务必用毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题〔本大题共10小题，每题3分，共30分〕在每题所给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的．1．〔2021春•长沙期中〕如图，某自动感应门的正上方A处装着一个感应器，离地AB＝米，当人体进入感应器的感应范围内时，感应门就会自动翻开．一个身高米的学生CD正对门，缓慢走到离门米的地方时〔BC＝米〕，感应门自动翻开，那么人头顶离感应器的距离AD等于〔〕A．米B．米C．米D．米【分析】过点D作DE⊥AB于点E，构造Rt△ADE，利用勾股定理求得AD的长度即可．【解析】如图，过点D作DE⊥AB于点E，∵AB＝米，BE＝CD＝米，ED＝BC＝米，∴AE＝AB﹣BE＝﹣＝〔米〕．在Rt△ADE中，由勾股定理得到：AD=A应选：B．2．〔2021春•东湖区期中〕如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，求水的深度是〔〕尺．A．8B．10C．13D．12【分析】找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理列方程可解答．【解析】设水深x尺，那么芦苇长〔x+1〕尺，由勾股定理得：52+x2＝〔x+1〕2，解得：x＝12，答：水的深度是12尺，应选：D．3．〔2021秋•和平区期末〕如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，那么这个水池的深度是〔〕尺．A．26B．24C．13D．12【分析】先设水池的深度为x尺，那么这根芦苇的长度为〔x+1〕尺，根据勾股定理可得方程x2+52＝〔x+1〕2，再解即可．【解析】设水池的深度为x尺，由题意得：x2+52＝〔x+1〕2，解得：x＝12，答：水深12尺，应选：D．4．〔2021秋•化州市期末〕一根竹竿插到水池中离岸边m远的水底，竹竿高出水面m，假设把竹竿的顶端拉向岸边，那么竿顶刚好接触到岸边，并且和水面一样高，问水池的深度为〔〕A．2mB．cmC．mD．3m【分析】水池的深、竹竿的长、离岸的距离三者构成直角三角形，作出图形，根据勾股定理即可求解．【解析】在直角△ABC中，AC＝cm．AB﹣BC＝m．设水池BC＝xm，那么AB＝〔0.5+x〕m．根据勾股定理得出：∵AC2+BC2＝AB2∴2+x2＝〔x〕2解得：x＝2．应选：A．5．〔2021•巴中〕?九章算术?是我国古代数学的经典著作，书中有一个“折竹抵地〞问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？〞意思是：一根竹子，原来高一丈〔一丈为十尺〕，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部三尺远，问：原处还有多高的竹子？〔〕A．4尺B．尺C．5尺D．尺【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，那么斜边为〔10﹣x〕尺．利用勾股定理解题即可．【解析】设竹子折断处离地面x尺，那么斜边为〔10﹣x〕尺，根据勾股定理得：x2+32＝〔10﹣x〕2解得：x＝．答：原处还有尺高的竹子．应选：B．6．〔2021秋•历城区期中〕古代数学的“折竹抵地〞问题：“今有竹高二十五尺，末折抵地，去本五尺，问折者高几何？〞意思是：现有竹子高25尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为5尺，问折处高几尺？即：如图，AB+AC＝25尺，BC＝5尺，那么AC等于〔〕尺．A．5B．10C．12D．13【分析】竹子折断后刚好构成一直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，那么斜边为〔25﹣x〕尺，利用勾股定理解题即可．【解析】设竹子折断处离地面x尺，那么斜边为〔25﹣x〕尺，根据勾股定理得：x2+52＝〔25﹣x〕2．解得：x＝12，答：折断处离地面的高度为12尺．应选：C．7．〔2021春•南岗区校级期中〕将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的装满水的无盖圆柱形水杯中，设筷子浸没在杯子里面的长度为hcm，那么h的取值范围是〔〕A．h≤15cmB．h≥8cmC．8cm≤h≤17cmD．7cm≤h≤16cm【分析】当筷子的底端在A点时，筷子浸没在杯子里面的长度最长；当筷子的底端在D点时，筷子浸没在杯子里面的长度最短．然后分别利用条件根据勾股定理即可求出h的取值范围．【解析】如图，当筷子的底端在D点时，筷子浸没在杯子里面的长度最短，∴h＝BD＝8〔cm〕；当筷子的底端在A点时，筷子浸没在杯子里面的长度最长，在Rt△ABD中，AD＝15cm，BD＝8cm，∴AB=AD2+所以h的取值范围是：8cm≤h≤17cm．应选：C．8．〔2021春•海珠区校级月考〕如图，一根垂直于地面的旗杆在离地面5m的B处撕裂折断，旗杆顶部落在离旗杆底部12m的A处，那么旗杆折断局部AB的高度是〔〕A．5mB．12mC．13mD．18m【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理即可直接求出AB．【解析】旗杆折断后，落地点与旗杆底部的距离为12m，旗杆离地面5m折断，且旗杆与地面是垂直的，所以折断的旗杆与地面形成了一个直角三角形，在Rt△ABC中，BC＝5m，AC＝12m，根据勾股定理得，AB=BC2+即旗杆折断局部AB的高度是13m，应选：C．9．〔2021春•钦州期末〕如图，甲船以20海里/时的速度从港口O出发向西北方向航行，乙船以15海里/时的速度同时从港口O出发向东北方向航行，那么2小时后，两船相距〔〕A．40海里B．45海里C．50海里D．55海里【分析】根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角．然后根据路程＝速度×时间，得两条船分别走了40，30．再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离．【解析】∵两船行驶的方向是西北方向和东北方向，∴∠BOC＝90°，两小时后，两艘船分别行驶了20×2＝40海里，15×2＝30海里，根据勾股定理得：302应选：C．10．〔2021秋•历城区期末〕如图，为了测算出学校旗杆的高度，小明将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在与旗杆等长的地方打了一个结，然后将绳子底端拉到离旗杆底端5米的地面某处，发现此时绳子底端距离打结处约1米，那么旗杆的高度是〔〕A．12B．13C．15D．24【分析】设旗杆的高度为xm，那么AC＝xm，AB＝〔x+1〕m，BC＝5m，利用勾股定理得到52+x2＝〔x+1〕2，然后解方程求出x即可．【解析】如图，设旗杆的高度为xm，那么AC＝xm，AB＝〔x+1〕m，BC＝5m，在Rt△ABC中，52+x2＝〔x+1〕2，解得x＝12，答：旗杆的高度是12m．应选：A．二、填空题〔本大题共8小题，每题3分，共24分〕请把答案直接填写在横线上11．〔2021春•越秀区校级期中〕如图，公路MN和公路PQ在点P处交会，公路PQ上点A处有学校，点A到公路MN的距离为80m．现有一卡车在公路MN上以5m/s的速度沿PN方向行驶，卡车行驶时周围100m以内都会受到噪音的影响，请你算出该学校受影响的时间为24秒．【分析】设卡车开到C处刚好开始受到影响，行驶到D处时结束，在Rt△ACB中求出CB，继而得出CD，再由卡车的速度可得出所需时间．【解析】设卡车开到C处刚好开始受到影响，行驶到D处时结束了噪声的影响．那么有CA＝DA＝100m，在Rt△ABC中，CB=1002-∴CD＝2CB＝120〔m〕，那么该校受影响的时间为：120÷5＝24〔s〕．答：该学校受影响的时间为24秒，故答案为：24．12．〔2021秋•成华区校级月考〕将一根24cm的筷子，置于底面直径为5cm、高为12cm的圆柱体中，如图，设筷子露出在杯子外面长为hcm，那么h的最小值11cm，h的最大值12cm．【分析】当筷子与杯底垂直时h最大，当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，据此可以得到h的取值范围．【解析】当筷子与杯底垂直时h最大，h最大＝24﹣12＝12〔cm〕．当筷子与杯底及杯高构成直角三角形时h最小，此时，在杯子内局部=122+故h＝24﹣13＝11〔cm〕．故h的取值范围是11≤h≤12．故答案为：11cm；12cm．13．〔2021•宜兴市模拟〕如图是高空秋千的示意图，小明从起始位置点A处绕着点O经过最低点B．最终荡到最高点C处，假设∠AOC＝90°，点A与点B的高度差AD＝1米，水平距离BD＝4米，那么点C与点B的高度差CE为米．【分析】作AF⊥BO于F，CG⊥BO于G，根据AAS可证△AOF≌△OCG，根据全等三角形的性质可得OG＝4米，在Rt△AFO中，根据勾股定理可求AO，可求OB，再根据线段的和差关系和等量关系可求点C与点B的高度差CE．【解析】作AF⊥BO于F，CG⊥BO于G，∵∠AOC＝∠AOF+∠COG＝90°，∠AOF+∠OAF＝90°，∴∠COG＝∠OAF，在△AOF与△OCG中，∠AFO∴△AOF≌△OCG〔AAS〕，∴OG＝AF＝BD＝4米，设AO＝x米，在Rt△AFO中，AF2+OF2＝AO2，即42+〔x﹣1〕2＝x2，解得x＝．那么CE＝GB＝OB﹣OG＝﹣4＝〔米〕．故答案为：．14．〔2021•杭州一模〕如图，小明想要测量学校旗杆AB的高度，他发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，从而测得绳子比旗杆长a米，小明将这根绳子拉直，绳子的末端落在地面的点C处，点C距离旗杆底部b米〔b＞a〕，那么旗杆AB的高度为b2-a22【分析】设旗杆的高为x米，在Rt△ABC中，由AC2＝AB2+BC2，推出〔x+a〕2＝b2+x2，可得x=b【解析】设旗杆的高为x米．在Rt△ABC中，∵AC2＝AB2+BC2，∴〔x+a〕2＝b2+x2，∴x=b故答案为：b215．〔2021秋•新都区期末〕如图，有一直立旗杆，它的上部被风从点A处吹折，旗杆顶点B落地，离杆脚6米，修好后又被风吹折，因新断处点D比上一次高1米，故杆顶E着地点比上次近2米，那么原旗杆的高度为10米．【分析】由题中条件，可设原标杆的高为x，进而再依据勾股定理建立方程组，进而求解即可．【解析】依题意得BC＝6，AD＝1，CE＝6﹣2＝4，AB＝DE+1设原标杆的高为x米，∵∠ACB＝90°，∴由题中条件可得BC2+AC2＝AB2，即AC2+62＝〔x﹣AC〕2，整理，得x2﹣2ACx＝36①，同理，得〔AC+1〕2+42＝〔x﹣AC﹣1〕2，整理，得x2﹣2ACx﹣2x＝16②，由①②解得x＝10，∴原来标杆的高度为10米，故答案为：10．16．〔2021•宿迁〕?九章算术?中一道“引葭赴岸〞问题：“今有池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭长各几何？〞题意是：有一个池塘，其地面是边长为10尺的正方形，一棵芦苇AC生长在它的中央，高出水面局部BC为1尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部C恰好碰到岸边的C'处〔如图〕，水深和芦苇长各多少尺？那么该问题的水深是12尺．【分析】我们可将其转化为数学几何图形，如下图，根据题意，可知EC′的长为10尺，那么C′B＝5尺，设芦苇长AC＝AC′＝x尺，表示出水深AB，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长和水深．【解析】依题意画出图形，设芦苇长AC＝AC′＝x尺，那么水深AB＝〔x﹣1〕尺，∵C′E＝10尺，∴C′B＝5尺，在Rt△AC′B中，52+〔x﹣1〕2＝x2，解得x＝13，即芦苇长13尺，水深为12尺，故答案为：12．17．〔2021秋•仪征市期末〕如图，某斜拉桥的主梁AD垂直于桥面MN于点D，主梁上两根拉索AB、AC长分别为13米、20米，主梁AD的高度为12米，那么固定点B、C之间的距离为21米．【分析】根据勾股定理即可得到结论．【解析】∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，∵AB、AC长分别为13米、20米，AD的高度为12米，∴BD=AB2-∴BC＝BD+DC＝5+16＝21〔米〕，故答案为：21．18．〔2021•盂县一模〕?九章算术?是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃〔读kǔn，门槛的意思〕一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2〔图2为图1的平面示意图〕，推开双门，双门间隙CD的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺〔1尺＝10寸〕，那么AB的长是101寸．【分析】取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，根据勾股定理解答即可得到结论．【解析】取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，如图2所示：由题意得：OA＝OB＝AD＝BC，设OA＝OB＝AD＝BC＝r寸，那么AB＝2r〔寸〕，DE＝10寸，OE=12CD＝∴AE＝〔r﹣1〕寸，在Rt△ADE中，AE2+DE2＝AD2，即〔r﹣1〕2+102＝r2，解得：r＝，∴2r＝101〔寸〕，∴AB＝101寸，故答案为：101．三、解答题〔本大题共6小题，共46分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤〕19．〔2021秋•长春期末〕?城市交通管理条例?规定：小汽车在城市街路上的行驶速度不得超过70千米/时．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A正前方30米的C处，过了2秒后，小汽车行驶至B处，假设小汽车与观测点间的距离AB为50米，请通过计算说明：这辆小汽车是否超速？【分析】求出BC的距离，根据时间求出速度，从而可知道是否超速．【解析】由勾股定理可得：BC=AB40米＝千米，2秒=1÷11800=72所以超速了．20．〔2021秋•荥阳市期中〕郑州市CBD如意湖的两岸有A，B两棵景观树，数学兴趣小组设计实验测量两棵景观树之间的距离，他们在与AB垂直的BC方向上取点C，测得BC＝30米，AC＝50米．求：〔1〕两棵景观树之间的距离；〔2〕点B到直线AC的距离．【分析】〔1〕根据勾股定理解答即可；〔2〕根据三角形面积公式解答即可．【解析】〔1〕因为△ABC是直角三角形，所以由勾股定理，得AC2＝BC2+AB2．因为AC＝50米，BC＝30米，所以AB2＝502﹣302＝1600．因为AB＞0，所以AB＝40米．即A，B两点间的距离是40米．〔2〕过点B作BD⊥AC于点D．因为S△ABC=12AB•BC=12所以AB•BC＝AC•BD．所以BD=AB⋅即点B到直线AC的距离是24米．21．〔2021秋•太原期中〕如图是一块四边形木板，其中AB＝16cm，BC＝24cm，CD＝9cm，AD＝25cm，∠B＝∠C＝90°．李师傅找到BC边的中点P，连接AP，DP，发现△APD是直角三角形，请你通过计算说明理由．【分析】根据勾股定理解答即可．【解析】∵点P为BC中点，∴BP＝CP=12BC＝12〔∵∠B＝90°，在Rt△ABP中，根据勾股定理可得：AB2+BP2＝AP2，162+122＝AP2，解得：AP＝20〔cm〕，同理可得：DP＝15〔cm〕，∵152+202＝252，∴AP2+DP2＝AD2，∴△APD是直角三角形，∠APD＝90°．22．〔2021秋•青羊区校级月考〕如图，有两条公路OM和ON相交成30°角，沿公路OM方向离两条公路的交叉处O点160米的A处有一所希望小学，当拖拉机沿ON方向行驶时，路两旁100米内会受到噪声影响．有一台拖拉机正沿ON方向行驶，速度为5米/秒．〔1〕该小学是否受到噪声的影响，并说明理由．〔2〕假设该小学要受到噪声的影响，那么这台拖拉机沿ON方向行驶时给小学带来噪声影响的时间是多少？【分析】过点A作AC⊥ON于点C，求出AC的长，第一台到B点时开始对学校有噪音影响，第二台到B点时第一台已经影响小学50米，直到第二台到D点噪音才消失．【解析】如下图：过点A作AC⊥ON于点C，∵∠MON＝30°，OA＝160米，∴AC=12OA＝∵80m＜100m，∴该小学会受到噪声影响；〔2〕以A为圆心，半径长为100m画圆与ON交B，D两点，连接AB，AD，在B到D范围内，小学都会