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首都重点大学附中2023-2024学年第一学期12月适应性练习高二数学一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分。)1.若直线l的倾斜角满足,且,则其斜率k满足()A. B. C.或 D.或2.圆的圆心到直线的距离为()A.2 B. C.1 D.3.已知两条直线:和:,下列不正确的是()A.“”是“”的充要条件B.当时,两条直线间的距离为C.当斜率存在时,两条直线不可能垂直D.直线横截距为14.若抛物线上一点到其准线的距离为4,则抛物线的标准方程为()A. B. C. D.5.椭圆的两焦点为,,以为边作正三角形,若椭圆恰好平分正三角形的另两条边,则椭圆的离心率为()A. B. C. D.6.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线,曲线C:就是其中之一(如图).给出下列三个结论:①曲线C恰好经过6个整点(即横、纵坐标均为整数的点);②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过;③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.其中,所有正确结论的序号是()A.① B.② C.①② D.①②③7.已知圆与x轴的交点分别为A,B,点P是直线l:上的任意一点,椭圆C以A,B为焦点且过点P,则椭圆C的离心率e的取值范围为()A. B. C. D.8.法国数学家、化学家和物理学家加斯帕尔·蒙日被称为“画法几何之父”,他创立的画法几何学推动了空间解析几何的发展,被广泛应用于工程制图当中.过椭圆C:外的一点作椭圆的两条切线,若两条切线互相垂直,则该点的轨迹是以椭圆的中心为圆心、以为半径的圆,这个圆叫做椭圆的蒙日圆.若椭圆C:的蒙日圆为E:,过圆E上的动点M作椭圆C的两条切线,分别与圆E交于P,Q两点,直线PQ与椭圆C交于A,B两点,则下列结论不正确的是()A.椭圆C的离心率为B.M到C的右焦点的距离的最大值为C.若动点N在C上,记直线AN,BN的斜率分别为,,则D.面积的最大值为二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分)9.已知双曲线C:的焦距为,则双曲线C的渐近线方程为______.10.1970年4月我国成功发射了第一颗人造地球卫星“东方红一号”,这颗卫星的运行轨道是以地心(地球的中心)为一个焦点的椭圆.已知卫星的近地点(离地面最近的点)距地面的高度约为439km,远地点(离地面最远的点)距地面的高度约为2384km,且地心、近地点、远地点三点在同一直线上,地球半径约为6371km,则卫星运行轨道上任意两点间的距离的最大值为______km.11.已知,分别是双曲线的左、右焦点,AB是过点的一条弦(A,B均在双曲线的左支上),若的周长为30,则______.12.直线l过点且与椭圆相交于A,B两点,若点M为弦AB的中点,则直线l的斜率为______.13.点在运动过程中,满足关系式,记满足此条件的点M的轨迹为C,直线与C交于D,E,已知,则周长的最大值为______.14.设定点,抛物线C:的焦点为F,点P为抛物线上的动点.若的最小值为5,则实数a的值为______.三、解答题(本大题共4小题,共50分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。)15.(本小题12.0分)已知直线l的方程为.(Ⅰ)求直线l过的定点P的坐标;(Ⅱ)直线l与x轴正半轴和轴正半轴分别交于点A,B,当面积最小时,求直线l的方程.16.(本小题12.0分)已知圆C:和直线l相切于点.(Ⅰ)求圆C的标准方程及直线l的一般式方程;(Ⅱ)已知直线m经过点P,并且被圆C截得的弦长为,求直线m的方程.17.(本小题12分)平面直角坐标系xOy中,动点P到点的距离比它到直线l:的距离大.(Ⅰ)求动点P的轨迹C的方程;(Ⅱ)过点T的直线l与动点P的轨迹C交于A,B两点,求证:为定值.18.(本小题14分)如图,已知椭圆E:的一个
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