2024届一轮复习人教A版 双曲线的几何性质 作业

2024届一轮复习人教A版双曲线的几何性质作业一、选择题1.（2023·广东湛江高三期末）已知双曲线的一条渐近线与双曲线的—条渐近线垂直，则双曲线的离心率为（）A． B． C．或 D．或【答案】C【解析】双曲线的渐进线方程为，故双曲线的渐近线方程为.设双曲线的方程为.当时，双曲线的方程为，则，解得：；当时，双曲线的方程为，则，解得：；故选C2．（2023·宁夏银川一中高三月考）若双曲线的一条渐近线被曲线所截得的弦长为2．则双曲线C的离心率为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】双曲线的渐近线方程为，由对称性，不妨取，即．又曲线化为，则其圆心的坐标为，半径为．由题得，圆心到直线的距离，又由点到直线的距离公式．可得．解得，所以．故选B．3．（2023·重庆八中月考）设双曲线的左顶点为，右焦点为，若圆与直线交于坐标原点及另一点，且，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．3【答案】B【解析】如图所示，，设直线上点，，则，即，得，将代入圆，得，即，故.故选：B.4．（2023·湖南师大附中高三月考）已知是椭圆与双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且，线段的垂直平分线过，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为（）A． B．3 C．6 D．【答案】C【解析】设椭圆长轴，双曲线实轴，由题意可知：，又，，两式相减，可得：，，．，，当且仅当时取等号，的最小值为6.5．（多选题）（2023·江苏南通月考）已知双曲线过点且渐近线为，则下列结论正确的是（）A．的方程为 B．的离心率为C．曲线经过的一个焦点 D．直线与有两个公共点【答案】AC【解析】对于选项A：由已知，可得，从而设所求双曲线方程为，又由双曲线过点，从而，即，从而选项A正确；对于选项B：由双曲线方程可知，，，从而离心率为，所以B选项错误；对于选项C：双曲线的右焦点坐标为，满足，从而选项C正确；对于选项D：联立，整理，得，由，知直线与双曲线只有一个交点，选项D错误.故选AC6.（多选题）（2023·湖北恩施高中高三月考）已知双曲线C：与直线交于A，B两点，点为C上任意一点，且直线，的斜率分别为，，且，则下列结论正确的是（）A．双曲线的渐近线方程为 B．双曲线的渐近线方程为C．双曲线的离心率为 D．双曲线的离心率为【答案】AC【解析】设点，，∴.又∵，两式相减得，∴.又∵，∴，∴，∴双曲线的渐近线方程为，故选项A正确；又∵，∴，故选项C正确，故选：AC.二、填空题7．（2023·湖南师大附中月考）过双曲线的下焦点作轴的垂线，交双曲线于两点，若以为直径的圆恰好过其上焦点,则双曲线的离心率为__________．【答案】【解析】过双曲线的下焦点作轴的垂线，交双曲线于，两点，则，以为直径的圆恰好过其上焦点，可得：，∴，可得，解得，舍去.8.（2023·云南师大附中高三月考）设双曲线的右焦点为F，过F作C的一条渐近线的垂线垂足为A，且，O为坐标原点，则C的离心率为_________．【答案】【解析】由题意可得，渐近线方程为，∴，，故．9．（2023·湖北沙区·沙市中学期末）椭圆与双曲线共焦点，，它们的交点为，且.若椭圆的离心率为，则双曲线的离心率为_________．【答案】【解析】不妨设P为第一象限的点，在椭圆中：①,在双曲线中:②,联立①②解得,,在中由余弦定理得：即即，，椭圆的离心率，双曲线的离心率.10．（2023·河北石家庄一中高三月考）设，分别是双曲线的左､右焦点，若双曲线右支上存在一点，使，为坐标原点，且，则该双曲线的离心率为__________.【答案】【解析】取的中点，则∵，∴，∴，∵是的中位线，∴，.由双曲线的定义得，∵，∴，.中，由勾股定理得，∴，∴.三、解答题11.（2023·全国高三课时练）已知双曲线(a>0，b>0)的右准线l2与一条渐近线l交于点P，F是双曲线的右焦点．(1)求证：PF⊥l；(2)若PF＝3，且双曲线的离心率e＝，求该双曲线的方程．【解析】(1)证明：右准线为l2：x＝，由对称性不妨设渐近线l为y＝x，则P，又F(c,0)，∴kPF＝＝－.又∵kl＝，∴kPF·kl＝－·＝－1.∴PF⊥l.(2)∵PF的长即F(c,0)到l：bx－ay＝0的距离，∴，∴b＝3.又e＝＝，∴＝.∴a＝4.故双曲线方程为－＝1.12.（2023·全国高三课时练）已知椭圆与双曲线的离心率互为倒数，且直线经过椭圆的右顶点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）设不过原点O的直线与椭圆C交于M，N两点，且，求面积的取值范围．【解析】（1）∵双曲线的离心率为，∴椭圆的离心率．又∵直线经过椭圆的右顶点，令，则∴右顶点的坐标为，即，∴椭圆C的标准方