2023-2024学年北京东城区十一中高二（上）期中数学试题及答案

2023北京十一中高二（上）期中数学一、选择题（共12小题；共48分）1.直线x0=的倾斜角为（）A.0°B.90°C.180°D.不存在2.已知空间向量mn=(,，且m//n，则实数==（）1313−3A.B.与直线B.C.D.6ax+2y−1=02x−3y−1=0a垂直，则的值为3.直线4A.3−−C.2D.334.点A(23)关于点B(－1,0)的对称点A′的坐标是()13A.(56)5.已知椭圆B.(4,3)C.(3，－D.(,−)22x22y2+=1的一个焦点为20)，则这个椭圆的方程是（）a2x2y2x2y2+=1++=1=1A.B.D.4232y2x2y2C.x2+=1262(−)，(−−)两点，直线lA3,4B1l2l，那么与1l26.已知直线经过的倾斜角为1A.垂直B.平行C.重合D.相交但不垂直(−)7.圆x12+y22的圆心到直线=x+y+1=0的距离为（）2A.2B.2C.1D.28.圆1:xA.内含2+y2+2x=0，圆C2:x2+y+4y=0，则两圆的位置关系是（2）B.相交C.外切D.外离9.平面→轴与平面所成的角的大小为（y的一个法向量为=n3,0)，则−）5A.B.C.D.6346(−)10.已知圆C:x32+(−)=1和两点A(−,0)，B(,0)(m0)y4，若圆C上存在点P，使得2APB=90，则m的最大值为A.7B.6C.5D.4)的直线l与椭圆相交于两个不同的点x2P，过点(M已知椭圆M:+y2=1的上、下顶点为,B4C,D（CPD在线段的取值范围为（）134134(6)−6−D.A.B.C.x2+y2=+|x|y就是其中之一（如图）.给出下12.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线C：列三个结论：①曲线C恰好经过6②曲线C上任意一点到原点的距离都不超过2；③曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3.其中，所有正确结论的序号是A.①B.②C.①②D.①②③二、填空题（共6小题；共30分）y=xAB=______．x2+y2−2x6y0相交A、两点，则−=13.直线l：与圆Bx2y214.已知双曲线C:−=1，则双曲线C的焦距为________．22x2y2F,F+=1的左、右焦点，点P在此椭圆上，则椭圆离心率为_________，15.已知点分别是椭圆219△PF1F的周长为_________.2CC的中点.则点1到平面ABN的距离为116.如图，在正三棱柱中，各棱长均为4，N是___________.()，(−)两点的两条平行直线，当、间的距离最大时，直线的方llAB1l1l2l117.已知、是分别经过12程为______．()，此时圆上一点的位置在118.如图，在平面直角坐标系中，一单位圆的圆心的初始位置在P()，圆在轴上沿正向滚动当圆滚动到圆心位于()时，的坐标为x.P_________.三、解答题（共5小题：共72分）,B,C4a,b,cb=c=cosA=.19.在中，内角所对的边分别为．已知5a（1）求的值；（2）求sinB的值及的面积．20.已知直线l:x−y+1=0和圆C:x2+y−2x+4y−4=0．2（1）判断直线l与圆C的位置关系；若相交，求直线l被圆C截得的弦长；（2）求过点(−)且与圆C相切的直线方程．21.如图，在四棱锥P−中，PA⊥底面ABCD，ADAB⊥，AB，=2，==AB=1，点E为棱的中点.（1）证明：BEPD；⊥（2）若F为棱上一点，满足BF⊥AC，求平面与平面ABD所成角的余弦值.x2y222+=ab0)的离心率为22.已知椭圆C：，短轴长为2.a2b2（1）求椭圆C的方程；（2）设O为坐标原点，F为椭圆C的右焦点，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为(0).求证：=.()=Fak1k)(=23.对于三维向量ak=(x,y,zx,y,zN,k，定义F变换：“”a，其中，kkkkkkk1=x−y,y=y−z,z=zk−ka=xyza=x+y+z．记，．kkk1kkk1kkkkkkkk)（1）若a0=2，求a2及a；2N*，使a=0；（2）证明：对于任意a0，经过若干次F变换后，必存在KKa=p,2,qqp,a=2024()()mam最小，求的最小值．m（3）已知，将再经过次F变换后，a111参考答案一、选择题（共12小题；共48分）1.【答案】B【分析】根据直线与坐标轴垂直可得倾斜角.【详解】因为直线x=0与轴垂直，所以直线x=0的倾斜角为90°.故选：Bx2.【答案】A【分析】由m//n，得到m=tn，列出方程组，即可求解.【详解】由题意，空间向量mn=(,，=3=−t1=t13=t(−,−因为m//n，可得m=tn，即，可得，解得=−.故选：A3.【答案】D【详解】【分析】分析：利用两条直线垂直的充要条件，建立方程，即可求出a的值．详解：∵直线ax+2y1=0与直线2﹣3y﹣1=0∴2a+2×3）=0解得a故选D．点睛：本题考查直线的一般式方程与直线的垂直关系的应用，考查计算能力，属于基础题．4.【答案】B【分析】利用中点公式即可求出.A(x,y)【详解】设点2+x1==−x42则解得3+yy=30=2故选B【点睛】求解点关于点对称问题，主要应用的知识点是中点公式，但在代入数值是容易出错，必修要对号入座.5.【答案】Da2=b+c2即可求解.2【分析】根据x22y2+=1的一个焦点为20，c=2，【详解】椭圆a2x则椭圆的焦点在轴上，且因为b=2，2所以a2=b2+c2=2+4=6，x2y2+=1.所以椭圆的方程是62故选：D6.【答案】A【分析】ll2根据两点求出直线的斜率，根据倾斜角求出直线的斜率；可知斜率乘积为1，从而得到垂直关系.14+1−3+8(−)，(−−)两点lA3,41Bl直线的斜率：1==1【详解】直线经过11直线l直线lk=tan135=−1的斜率：2的倾斜角为13522kk=−11⊥l212本题正确选项：A【点睛】本题考查直线位置关系的判定，关键是利用两点连线斜率公式和倾斜角求出两条直线的斜率，根据斜率关系求得位置关系.7.【答案】B【分析】由圆的方程得出圆心坐标，利用点到直线的距离公式得出答案.(−)2+y2x+y+1=0d的距离=2的圆心坐标为0)【详解】圆x1|1+0+1|==20)则圆心到直线12+2故选：B【点睛】本题主要考查了点到直线的距离公式的应用，属于中档题.8.【答案】B【分析】求得两圆的圆心与半径，结合圆与圆的位置关系的判定方法，即可求解.【详解】由题意，圆1:x2+y2+2x=0，圆C2:x2+y+4y=0，2C(−0),C2)r=r=2可得，且，1212CC=52−152+1r2−rC2r+r，21则，可得，即121所以两圆相交.故选：B.9.【答案】B【分析】轴上的单位向量j=0)，则轴与平面所成的角的大小，由公式sin|cosj,n|可求解.yy取y【详解】解：设轴与平面所成的角的大小为，y轴上的单位向量j=0)，在平面的一个法向量为n3,，=−33sin|cosj,n==，142=．3故选：B．【点睛】本题考查用向量方法求线面的夹角，属于基础题.10.【答案】B【详解】由题意知，点P在以原点（0，0）为圆心，以m为半径的圆上，又因为点P在已知圆上，所以只要两圆有交点即可，所以m−1=5，故选B.考点：本小题主要考查两圆的位置关系，考查数形结合思想，考查分析问题与解决问题的能力.【答案】D【分析】由题意画出图形，分直线的斜率不存在和存在两种情况求解，当直线斜率不存在时，求得=1，当直线斜率存在时，设出直线方程，和椭圆方程联立，由判别式大于0求得合根与系数的关系写出数量积，由k得范围求得的范围．k的范围，再结【详解】当直线斜率不存在时，直线方程为x=0，C，D(0,，此时=1；当直线斜率存在时，设斜率为y=+2()(),Cx,y,Dx,y2k(k0)，设112则直线方程为，y=+22+4k2)x2+16+12=0，联立x，得+y=1243=k)2−+4k2)=64k2−4802k，得．416k1+4k121+4kx+x=−,xx=12，1222121+4k16k1+4k−k1+4k22)yy=(+2)(+2)=k2xx+2k(x+x)+4=k2+2k(−)+4=2．121212122121+4k4−4k1+4k216−4k1+4k21+4k2−17171+4k=+=+==−=−1+xx1y2．12222+2214k34171+4k174k2，1+4k204，，2则1，4综上，的取值范围是[13．)4故选：D．12.【答案】C【分析】将所给方程进行等价变形确定x的范围可得整点坐标和个数，结合均值不等式可得曲线上的点到坐标原点距离的最值和范围，利用图形的对称性和整点的坐标可确定图形面积的范围.2|x|23x23x243x2+y2=1+xyy2−xy=1−x2−=1−,1−【详解】由得,,y,44+2y=1+xyx所以可为的整数有0,-1,1,从而曲线C:x2恰好经过(0,1),(0,-1),(1,0),(1,1),1,0),(-1,1)六个整点,结论①正确.x2+y2x2+y2=1+xy得,x2y2+,解得x2+y2所以曲线C上任意一点到原点的距离都不2由2超过2.结论②正确.A−1,B1,0,C,D0,1如图所示,()()()(),13ABCDS=+=,很明显“心形”区域的面积大于2S1111四边形的面积即“心形”区22域的面积大于3,说法③错误.故选C.【点睛】本题考查曲线与方程､曲线的几何性质，基本不等式及其应用属于难题,注重基础知识基本运算能力及分析问题解决问题的能力考查,渗透“美育思想”.二、填空题（共6小题；共30分）13.【答案】42,B【分析】根据给定条件，联立方程求出点的坐标，再利用两点间距离公式计算作答.y=xx=0x=4(0,0),B(4,4)，不妨令，【详解】由−2x−6y=0解得y=0或x2+y2y=4=42+42=42.所以故答案为：4214.【答案】4【分析】根据双曲线的标准方程求出，ba，即可得解.cx2y2−=1，可得a2=2，b=2，【详解】由双曲线方程222c2=a2+b2=4，c=2，故焦距为4.故答案为：4.415.【答案】①.##.5【分析】利用椭圆的定义与性质计算即可.25−945【详解】由已知可得e==，25△PF1F+PF+FF=225+225−9=18.1212的周长为24故答案为：；516.【答案】3【分析】构建空间直角坐标系，写出相关点坐标，并求出面ABN的一个法向量、1N，利用点面距离的向量求法求1到平面ABN的距离.【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则()，，(C4,0)，()C0,4,4.A0,0B23,2,0)1由N是1的中点，则().N0,4,2n3x+2y=0)，则设平面ABN的一个法向量为n=(x,y,z，n4y+2z=0CN2=(−)，1令z2，即=n=−,1,2，而314433设点1到平面ABN的距离为，则dd=2=3.2n故答案为：3x+2y−3=017.【答案】lllkkl1【分析】先判断出当⊥AB时、间的距离最大，求出，进而求出，即可求出直线的方程.1121ll2【详解】设两平行直线、的距离为.1()，(−)点的两条平行直线，AB1因为、是分别经过l1l2dl所以,当且仅当⊥AB时取等号.11+11−012因为直线AB的斜率为k==2，所以与直线ABlk=−垂直的直线的斜事为1，AB11ly−1=−(x−x+2y−3=0，即.所以的方程为12x+2y−3=0故答案为：(−)2sin2,1cos2−18.【答案】P(2+cos,1+sin)，然后求代入计算，即可得到结果.【分析】根据题意，由圆O的方程可得【详解】A(0)，连接OP，设滚动后的圆的圆心为O，切点为xB)过O做与轴正方向平行的射线，交圆O于，设BOP=，因为圆O的方程为(−)2+(−)y1=1，2x2故设P(2+cos,1+sin)，又单位圆的圆心的初始位置在()，圆滚动到圆心位于()，2,133cos=cosπ−2=−sin2，=π−2所以=，可得，则APP22232sin=sinπ−2=−cos2(−)P2sin2,1cos2.−，所以故答案为：(2−sin2,1−cos2)三、解答题（共5小题：共72分）19.【答案】（1）a=13313（2），913）由余弦定理求解，（2）由正弦定理与三角形面积公式求解．【小问14因为b=c=A=，由余弦定理知：54a2=b2+c2−bcA=25+36−256=13=13.，则a5【小问243cosA=A为三角形内角，则sinA=1−cosA=2由又且，5535ab=bsinA313.，所以sinB=5==sinAsinBa1313113S=bcsinA=56=9.22520.【答案】（1）相交，截得的弦长为2.（2）x=4或4x3y130.+−=）利用点到直线的距离公式以及直线与圆的位置关系求解；（2）利用直线与圆相切与点到直线的距离公式的关系求解.【小问14+16+16由圆C:x2+y2−2x+4y−4=0可得，圆心C2),半径r=−=3，21+2+1圆心C2)到直线l:x−y+1=0的距离为d=所以直线l与圆C相交，=22r，2直线l被圆C截得的弦长为2r2【小问2.若过点(−)的直线斜率不出在，则方程为，x=4此时圆心C2)4−1=3=r，满足题意；到直线x=4的距离为若过点(−)且与圆C相切的直线斜率存在，y+1=k(x−−y−4k−1=0，则设切线方程为，即4−y−4k−1=0k=−则圆心到直线的距离为，解得，，k23413−x−y+=04x+3y−13=0，即所以切线方程为33综上，过点(−)且与圆C21.【答案】（1）证明见解析10x=4或4x+3y−13=0.相切的直线方程为（2）10）以A为坐标原点，AB为轴，xAD为y轴，AZz为轴建立空间直角坐标系，运用空间向量即可得证，（2）先根据题意求出F点坐标，运用空间向量即可求出面面夹角的余弦值.【小问1如图所示，以A为坐标原点，AB为轴，xAD为y轴，z为轴建立空间直角坐标系，因为===2,AB=1,点E为棱的中点，所以(),()()()()B1,0,0C2,0D2,0P2E,,,,BE=(),PD=(0,2,2),因为所以PD=0,即BE⊥PD，所以BEPD.⊥【小问2BC=2,0)，CP=(−−2)，AC=(2,0)由（1）可得∵上一点，设CF==−−CP(2,2,2)(0)由F为棱，=+=(−−)()BFBCCF12,22,201，故由BF⊥AC=(−)+(−)=BFAC2122220，，得3=解得，4113=−,,即，222设平面的法向量为n=(a,b,c)，a=0n1，得13由−a+b+c=0nF222令c1，则n=()，=i=0,1)，(取平面ABD的法向量设平面FAB与平面ABD的平面角为，由图可知为锐角，10cos==所以，in1010故平面FAB与平面ABD的余弦值为．x2+y2=122.【答案】（1）（2）证明见解析2a,b,c）根据离心率以及短轴长，结合的关系即可求解，（2）联立直线与椭圆方程，由两点斜率公式，结合韦达定理即可化简求解.【小问12c=2ab=2，解得b=a=2，由题意可知：a2−b2=c2x2+y=12所以椭圆方程为2【小问2由于()，F1,0当直线无斜率时，此时直线方程为x=1，此时,Bx=关于轴对称，显然满足，y=kx−)，(当直线有些率时，可设直线方程为2x+y=12()x12k+22−4k2x+2k2−2=02联立直线与椭圆方程，ykx1=(−)4k+22k−22设()()，则，Ax,y,Bx,yx+x=,xx=2121122121+2k212k1x−222−k=k=，,21(2)+(12)−−(−)(x2)+−(−)(1−2)2−(+)+4k11−y22−12y2k12k121xk1x2kAM+kAN=+===2，(x−)(x−)1(x−)(x−)1(x−)(x−)122222222224k+22k2−2将12+=,12=代入可得12k21+2k222k2−24k+2k−k+4k221x2−kx1+x2)+4k1+2k212k2k(k2)22−−12k3+4k(12+k2)=0，(kAM+kAN===(x−)(x−)1(x−)(x−)1+2k(x−2)(x−2)1222222212所以=，综上可知：=a=a=223.【答案】（1）22（2）证明见解析3505）根据定义找出a1=()，a2=0,1)，从而得到a2a，；2（2）利用反证法，假设对kN,k10，然后导出矛盾，命题得证；a