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抢分练112(1)求双曲线C的方程.(2)过点T(6,0)的直线l2与双曲线C交于P,Q两点,直线AP,AQ分别与直线x=6相交于M,N两点,试问:以线段MN为直径的圆是否过定点?若过定点,求出定点的坐标;若不过定点,请说明理由.121212122.(12分)(2023新高考Ⅱ,22)(1)证明:当0<x<1时,x-x2<sinx<x;(2)已知函数f(x)=cosax-ln(1-x2),若x=0是f(x)的极大值点,求a的取值范围.12(1)证明

设h(x)=sin

x-x,x∈[0,1],则h'(x)=cos

x-1≤0对∀x∈[0,1]恒成立,且仅在x=0时有h'(0)=0,所以函数h(x)在[0,1]上单调递减.所以对∀x∈(0,1),有h(x)<h(0)恒成立.又因为h(0)=0,所以sin

x-x<0恒成立.所以sin

x<x,x∈(0,1).设g(x)=sin

x-(x-x2),则g'(x)=cos

x+2x-1.令G(x)=cos

x+2x-1,则G'(x)=-sin

x+2>0对∀x∈[0,1]恒成立,所以g'(x)在x∈[0,1]上单调递增,且因为g'(0)=1+0-1=0,所以对∀x∈[0,1],g'(x)≥0恒成立,且仅在x=0时有g'(0)=0,所以函数y=g(x)在[0,1]上单调递增.所以对∀x∈(0,1),有g(x)>g(0)恒成立.又因为g(0)=0,12所以sin

x+x2-x>0对∀x∈(0,1)恒成立.所以x-x2<sin

x,x∈(0,1).综上可知,x-x2<sin

x<x,x∈(0,1)成立.1212当x∈(-1,0)时,f'(x)<0;当x∈(0,1)时,f'(x)>0.故x=0是函数f(x)的极小值点,不符合题意.12又因为F1(0)=2-a2<0,所以存在t1>0,使得F1(x)在(0,t1)上恒小于0,此时f'(x)<xF1(x)<0.又因为函数f'(x)是奇函数,所以在(-t1,0)内有f'(x)>0.因此函数f(x)在(-t1,0)内单调递增,在(0,t1)内单调递减,所以x=0是函数f(x)的极大值点.12又因为F2(0)=2-a2<0,所以存在t2>0,使得F2(x)在(0,t2)上恒小于0,此时f'(x)<xF2(x)<0.又因为函数f'(x)是奇函数,所以在(-t2,0)内有f'(x)>0.因此函数

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