2023年高考数学第28讲 深化认识

第28讲深化认识，用函数观点处理等差数列问题

一、知识聚焦

把等差数列的通项公式a,=q+（〃-1）4改写为q=血+（%—。），并且与y="+人相对

照,可以明显地看出通项公式所具备的一次函数特性,其图像是直线y=成+（4-4）上一

些孤立的点,这条直线的斜率为。（可由册=卬+（加—1）4，=4+（〃—l）d

m-n

两式相减得到）.

等差数列前n项和公式5"=na,+“（〃一可变形为S“=4/+〃，当q工。时,

2212；

S”是〃的二次函数且常数项为零,此时,又有丛=+-@]，因此〈1｝也构成一个

〃2I2）n

等差数列.

等差数列的解题模式主要有4类.

（D等差数列的基本运算（知三求二型）.

（2）等差数列的判定与证明.

（3）等差数列性质在解题中的应用.

（4）等差数列前〃项和的最值.

二、精讲与训练

【核心例题1]

在等差数列｛4｝中，已知S100=10,差I。=100,求S“o.

【解题策略】

一个数学问题可以从不同的视角进行分析,本题可以套用公式,列方程,用解方程组的“通性

通法”求解;可以由公差不为0的等差数列前几项和S„=-tr+[4-4]〃这个公式,结合

二次函数的性质求解;可以创造一个“和数列”，即将等差数列｛4｝的每10项分成一组,每

组的和作为一项构造新数列：S9S20-Ro,S30-$2°,,S|00-S90.该数列仍然是一个等差

数列，以此求解.可以根据等差数列的性质，即加,〃,P，qeN*,且m+〃=p+q,贝|J

am+an=%,+%进行整体代换求解.还可以构造这一关于〃的一次函数,利用点

本题是基础题型，解法多样，函数与方程的思想这一主线贯穿其中,可拓展“多元【解题策

略】”的视野,供读者赏析.

【解法一】

设数列｛4｝的公差为"，则

S10-IO4+

2解得4=109911

10050

S1=100q+

0G2

.•』。=11。4+中〃=-11。

【解法二】

2

Sloo=lOOa+lOO/?=lO,

设S-an2+hn（a丰0）,则<

n2

Slo=lOa+lOZ?=lOO,

112Hl

-----nHn.

10010"100----10

从而=-且x1IO?+LU.*110=-110.

11010010

【解法三】

将数列依照原有的顺序每10项分为一组,每组的和作为一项构造新数列sl0,

S20_So,S30_S20,,,品见_S90,这个数列是一个首项为&,第10项为Sw_s%的等差

数列.设新数列的公差为则该数列的前10项和等于doo.

E00—S90的等差数列.设新数列的公差为则该数列的前10项和等于Sm.

10x9，inxg

・.・Eoo=lO/+丁"=10x100+""=10,解得"=—22.

2

于是前11项和5“0=1以£0+告3"=11'100+告3*（_22）=-110.

【解法四】

9。（%[+4]（）（））

doo-Bo———90,Q]]+。⑼——2,Q]]+=q+"|10=-2.

2

110（%+。110）_|0

,•0110

2

【解法五】

S“=〃4+"”一%,•.&-0+L(〃—1)。形式上是关于〃的一次函数,

2n2

10100s,l010

、|110,露］共线,则100一元_而一而做徂

・••点10,、100,

100-10-110-100'

Sll0=-110.

【变式训练1】

若Sn=m,Sm=n(m^n),则Sm+n

【变式训练2】

在等差数列｛4｝中，已知S3=%,且q>0,其中S,是其前〃项和,若S,取得最大值，则

【核心例题2】

设等差数列｛为｝的前〃项和为S„，已知4=12,且Sl2>0,513<0.

(D求公差d的范围.

(2)该数列前〃项的和最大?说明理由.

【解题策略】

*>0,

第(1)问的解法实质是解一个不等式组，，3<0,第(2)问是探究数列最大项问题或多少项

%=12.

的和最大问题，这是等差数列学习中的一种常见题型.根据等差数列｛凡｝前“项和公式

S“=〃4+〃。；1)4=夕2+,一■卜，当4>0,d<0时，S,有最大值,当

q<0,4>0时，Sn有最小值.下面以最大值为例,探讨求Sn的最值的一般方法,最小值的探

讨读者可自行解决.

【方法一】

S"=!〃2+1%一:卜"<°方"可看作开口向下的抛物线'离对称轴最近的自然数〃是S.

取得最大值的n.特别提醒:若对称轴为之亨，则S,与Se同时取得最大值.

a..0,

【方法二】：由《〃n八解出〃的范围，从而确定此范围中的自然数〃.

Ki<o

【方法三】：

设法确定前n项为正,或者是否有零项,可知所有非负数项的和最大,若有零项,会有两个和

相等并且最大.

【解】

+—d>0,

13x122

⑴根据题意，有僧十二八。,整理，得q+6八0,

4+2d=12.q+2d=12.

解之得----<d<—3.

7

(2)【解法一】

由d<0可知｛%｝为一个递减数歹ij.因止匕,在掇出12中，必存在一个自然数”，使得

a,,..0,an+x<0,此时对应的S,,就是E,52，,S12中的最大项.由于152=6(4+%)>

S]3=13a7<0.

于是叫<0,从而4>0,因此，§6最大,该数列前6项的和最大.

【解法二】

由⑴知｛q｝是递减数列.解关于〃的不等式组：

4+1=%+(〃-2)d<0,

d24,

、7

，5.5<〃<7.故〃=6,即$6最大，该数列前6项的和最大.

【解法三】

利用前几项和公式，得

〃1)n(n-l)d2

Sn-nax-\--------a-n(l2-2a)-\--------a-—n+

7)4

d<0,;.当“—515—-—jj最小时，S”最大.

241(24、

由于—三<4<一3,则6〈一5一一<6.5.

7Ad)

二当〃=6时，”一生一刹最小，因此$6最大，该数列前6项的和最大.

【变式训练1】

在数列｛%｝中，q=-23,一%-3=0.

⑴求数列｛4｝的前〃项和S“.

(2)求使数列｛S,J是递增数列的〃的取值范围.

【变式训练2】

已知等差数列｛4｝的前〃项和为S,,且满足4=4,§5=25.

(1)求数列｛为｝的通项公式及前〃项和Sn.

⑵求数列｛,」｝的前〃项和T”.

9/7—41

⑶设bn=(”=1,2,3,),如果对任意〃eN*,都有bn+11„2r,求实数t的取值

范围.

【核心例题3】

已知数列｛《,｝,也｝满足4=1,%=舍子

(1)求4力2,4，&.

⑵求数列｛2｝的通项公式.

aa

(3)求Slt=q4+。2a3+。3a4++,,,l+\，则实数。为何值时，4aS“<久恒成立.

【解题策略】

本题构思新颖,解法巧妙，且涉及归纳构造,参数分离,裂项求和等多种数学思想方法.其中第

(2)问既可以用构造法构造新的特殊数列,也可以用特征根法,而第(3)间的求解需要运用函

数的性质,且必须运用分类讨论的思想方法,不论在知识点的落实还是解题技巧上都值得借

鉴.

【解】

占得%=

⑴以a“=1-%代人加2

1-(1-盯2也

1,3,4,5,6

4=-A=1，二打=£也=工，,

44567

(2)【解法一】

1.,,b.1

q=了，4"+2=1也+1=--n,.-A-a=-_=——

41—4Tn+l1—4r1+怎

化简得」——1=1,而工=4,易得%=」一，从而d=1—4="^.

anUanqn+3〃+3

【解法二】

V”1其特征方程是％=」一

%2-x

易得特征根是％=1,.-.——=———1..J」一是首项为丁匚=-4,公

%T_J__Jb,-\U-1J

2-b“

+2

差为一1的等差数列,从而得到a=二n三.

'〃+3

(3)a“=1一b=