人教A版高中数学(必修第一册)培优讲义+题型检测专题5.3 三角函数的概念-重难点题型精讲（原卷版）

专题5.3三角函数的概念-重难点题型精讲1．任意角的三角函数(1)利用单位圆定义任意角的三角函数设SKIPIF1<0是一个任意角，SKIPIF1<0∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x,y).

①把点P的纵坐标y叫做SKIPIF1<0的正弦函数，记作SKIPIF1<0，即y=SKIPIF1<0；

②把点P的横坐标x叫做SKIPIF1<0的余弦函数，记作SKIPIF1<0，即x=SKIPIF1<0；

③把点P的纵坐标与横坐标的比值SKIPIF1<0叫做SKIPIF1<0的正切，记作SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0=SKIPIF1<0(x≠0).我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为：(2)用角的终边上的点的坐标表示三角函数

如图，设SKIPIF1<0是一个任意角，它的终边上任意一点P(不与原点O重合)的坐标为(x,y)，点P与原点的距离为r.则SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，SKIPIF1<0=SKIPIF1<0，SKIPIF1<0=SKIPIF1<0.2．三角函数的定义域和函数值的符号(1)三角函数的定义域(2)三角函数值在各象限的符号由于角的终边上任意一点P(x,y)到原点的距离r是正值，根据三角函数的定义，知

①正弦函数值的符号取决于纵坐标y的符号；

②余弦函数值的符号取决于横坐标x的符号；

③正切函数值的符号是由x,y的符号共同决定的，即x,y同号为正，异号为负.

因此，正弦函数(SKIPIF1<0)、余弦函数(SKIPIF1<0)、正切函数(SKIPIF1<0)的值在各个象限内的符号如图所示.

3．诱导公式一由三角函数的定义，可以知道：终边相同的角的同一三角函数的值相等.

由此得到一组公式(公式一)：4．同角三角函数的基本关系(1)同角三角函数的基本关系(2)基本关系式的变形公式【题型1任意角的三角函数的定义及应用】【方法点拨】解决此类问题的关键是正确理解任意角的三角函数的定义.【例1】（2022·广东·高一开学考试）已知角α的终边经过点M1,2，则cosα=A．63 B．33 C．2【变式1-1】（2022·陕西·高三阶段练习（文））设α是第二象限角，Px,8为其终边上的一点，且sinα=45，则A．−3 B．−4 C．−6 D．−10【变式1-2】（2022·河南·高三阶段练习（文））已知角α的终边经过点P−4m,3mm≠0，则2sinA．−35 B．25 C．1或−2【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴非负半轴重合，若A−1,y是角θ终边上一点，且sinθ=−31010A．3 B．−3 C．1 D．−1【题型2三角函数值在各象限的符号】【方法点拨】对于确定角SKIPIF1<0是第几象限角的问题，应先确定题目中所有三角函数值的符号，然后依据上述三角函数值的符号来确定角SKIPIF1<0是第几象限角，则它们的公共部分即所求；对于已知角SKIPIF1<0的终边所在的象限来判断角SKIPIF1<0的三角函数值的符号问题，则常依据三角函数的定义，或利用口诀“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来解决.【例2】（2022·全国·高一课时练习）已知α为第二象限角，则（

）A．sinα<0 B．tanα>0 C．cos【变式2-1】（2022·全国·高一课时练习）已知α为第二象限的角，则1−cos2αA．sinα B．−sinα C．【变式2-2】（2022·全国·高三专题练习）若sinθ<0且tanθ<0，则角θ所在的象限是（A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【变式2-3】（2022·北京高一期中）设α是第一象限的角，且cosα2=cosαA．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【题型3诱导公式一的应用】【方法点拨】1.诱导公式一的实质是终边相同的角的同名三角函数值相等.2.利用诱导公式一可将负角或大于等于2π的角的三角函数化为0~2π之间的角的同名三角函数，实现了“负化正，大化小”.【例3】（2022·湖南·高一课时练习）求值：3cos【变式3-1】（2021·全国·高一课前预习）计算下列各式的值：(1)tan405°−(2)sin25π【变式3-2】（2021·全国·高一课时练习）化简下列各式：(1)sin760(2)tanα1sin【变式3-3】（2021·全国·高一课前预习）求下列各式的值：(1)cos25π3＋tan−(2)sin810°＋tan1125°＋cos420°.【题型4根据同角三角函数的基本关系求值】【方法点拨】第一步：由已知三角函数的符号，确定其角终边所在的象限；第二步：依据角的终边所在象限进行分类讨论；第三步：利用同角三角函数的基本关系式及其变形公式，求出其余三角函数值.【例4】（2022·江西省高三阶段练习（理））已知tanα=−2，则sinα−3cosA．−7 B．−53 C．【变式4-1】（2022·贵州·高三阶段练习（文））已知sinα−cosα=12A．−34 B．34 C．【变式4-2】（2021·河北·高二期中）已知sinα+cosα=15，且α∈A．±75 B．−75【变式4-3】（2022·山东·高二阶段练习）已知tanθ=2,则cosθ−sinA．−13 B．13 C．【题型5三角函数式的化简】【方法点拨】1.化简原则：三角函数式的化简就是代数式的恒等变形，使结果尽可能简单，也就是项数尽可能少，次数尽可能低，函数种类尽可能少，式子中尽量不含根号，能求值的一定要求值.2.化简常用的方法：(1)对于含有根号的，常把被开方数(式)化成完全平方数(式)，然后去根号达到化简的目的；(2)化切为弦，从而减少函数种类，达到化简的目的；(3)对于含高次的三角函数式，往往借助于因式分解或构造SKIPIF1<0，以降低次数，达到化简的目的.【例5】（2021·福建·高一阶段练习）（1）已知cosα+2sinα=0（2）已知sinβ+cosβ=23【变式5-1】（2022·全国·高一课时练习）已知3sin(1)求tanα(2)求sinα【变式5-2】（2022·全国·高一课时练习）已知tanα=2(1)1sin(2)11−【变式5-3】（2022·天津·模拟预测）已知3π4<α<π(1)求tanα(2)求sinα+(3)求2sin【题型6三角恒等式的证明】【方法点拨】三角恒等式的证明方法非常多，其主要方法有：(1)从左向右推导或从右向左推导，一般由繁到简；(2)左右归一法，即证明左右两边都等于同一个式子；(3)化异为同法，即针对题设与结论间的差异，有针对性地变形，以消除差异.【例6】（202