2023年高考数学第14讲 双曲线的标准方程和几何性质

第14讲双曲线的标准方程和几何性质

一、知识概要

双曲线的标准方程和几何性质如下：

定义平面上到两定点耳，耳的距离之差的绝对值等于定长2a的点的轨迹

叫作双曲线，阀H*=2"V2c=|耳闾

统一定义.平面内到一定点的距离与到一定直线（不过定点）的距离之

比等于常数e,当e>l时，动点的轨迹为双曲线，定点为双曲线的焦

点，定直线为相应的准线.

图形尸y*

飞B,组尸豆

I咨尸c

•x=----A

c

标准方程2222

工一二=1[a,Z?>0）土尹（“心。）

片b2

范围斗.々，yGR|y|..a,XGR

对称性x轴，y轴为对称轴；。为对称中心

焦点，顶点F（±c,O）,A（±a,Qi）F（O,±c）,4（0，士a）

焦距，两轴焦距忻闾=2c,b2=c2-a2,实轴外阕=2。,虚轴旧闻知

渐近线bhaa

y=—x,y=——xy=-Xyy=—x

aa-b-h

焦半径若尸为双曲线右支上任一点，则若尸为双曲线上支上任一点，则

r=\PF\=exr\-a,r^=\PF\=ey+a,

PF]|'='ex—a；r=\PF^=ey-a^

P为双曲线左支上任一点，则若尸为双曲线下支上任一点，则

彳=|P6|=-a-ex,r^=\PF\=-a-ey,

居|^~ci-exr=\PF2\=a--ey

准线方程、/Ca2c

x=±——，e=一且e>ly=±—,e=一且e>l

离心率caca

点与曲线尸（5，％）>10点P（5，%）在含焦点区域；

F（x0,%）=lo点%）在双曲线上；

尸（5，点2（与，%）在不含焦点区域•

二、题型精析

【例1】

x2y2

⑴设双曲线与椭圆王•+前=1有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点的纵坐标为4,则双

曲线方程为；

22

⑵与双曲线-3-=1有公共的渐近线，且与直线5x-6y-8=0相切的标准双曲线方程为

164

⑶已知双曲线M的焦点耳，鸟在x轴上，直线J7x+3y=0是双曲线M的一条渐近线，点

尸在双曲线〃上，且P1PE=0,如果抛物线V=16x的准线经过双曲线M的一个焦点,

那么阀八明等于（）.

A.21

B.14

C.7

D.0

【策略点击】

第⑴问，可由待定系数法求解，亦可利用双曲线的定义求解，还可由共焦点的圆锥曲线系方程

的方法求解，最后这种方法读者可以试一试.第⑵问可利用共渐近线双曲线方程结合判别式求

解，亦可以利用共渐近线双曲线系方程结合待定系数法求解，还可利用共渐近线双曲线系方程

结合双曲线参数方程求解.第⑶问，可设共渐近线的双曲线系方程为

（V7x）2-（3y）2=A（A^0）,再由c=4,解出4的值，若结合焦点三角形面积公式

,21

:Sp"2=一）=7=］归用归周，求解会更简捷.

tan

2

【解】

（1）【解法一】（待定系数法）

由椭圆方程易知c=3,并且，椭圆与双曲线的一个交点坐标为（厉，4）.

v2尤2.2（回

a2=4,

2

设双曲线方程为:T=1（。>0,b>oy则有b2=,•••双曲线方程

2

a/+62=32,b=5,

»T-f=1

【解法二】(利用双曲线定义求解)

22

设双曲线方程为b>0).

耳(0,-3),居(0,3),A(715,4)

则2"=|4用一|J(岳产+(4+3)2-J(后>+(4-33=4,

/.。=2,Z?~=c、2—才=5

故双曲线方程为1一1=1

45

(2)【解法一】(利用共渐近线双曲线方程结合判别式法)

元2v2，

设所求双曲线的方程为彳―.

164'

此双曲线与直线5x—6y—8=0相切，且显然其渐近线都不平行于直线5x—6y—8=0,

22

由方程组土一J=/l,5%一6y一8=0消去不得4y2-6旷+254-4=0,

164

其判别式5x—6y—8=0A=(-6)2—4x4x(254-4)=0,解得

2212

故所求双曲线的标准方程为即1"->2=1.

16444

【解法二】(利用共渐近线双曲线系方程结合待定系数法)

22

设所求双曲线方程为竟一号=彳("))，BPX2-4/=16A(A^0).

设其与直线5x—6y-8=0相切的切点为(毛，为)，则切线方程为与工一4%>-16/1=0,

有9=9=且

%4yo162

二.%=10办y0=34

代人双曲线方程中并化简得4万=/1,

又

2=—.

4

尤

故所求双曲线的标准方程为二2-）/=1

4

【解法三】（利用共渐近线双曲线系方程结合双曲线参数方程求解）

22

设所求双曲线方程为%-2=1（4/。）,

10/14/t

双曲线上一点M的坐标为[JIseca2j7tane）,以此点为切点的双曲线的切线方程为

4VJsec^x2v^tan6・y]

1624A'

化简得sec0•x—2tan0,y==4\/"A,

它和直线5x—6y=8重合，

sec。2tan64>/Jc1nsec?。一tan?。2

----=------即---------------=-------=-.

56825-94

sec2^-tan2^_A即j,一

由等比定理得

25-941644

代人原双曲线方程得黄E，此即为所求.

（3）双曲线M的焦点”，月在x轴上，

22

.••设双曲线方程为之一与=1（心0,b>o）.

a"b

抛物线y2=16x的准线x=-4过双曲线的焦点，且一条渐近线方程为J7x+3y=0

c=4

：r=昱

la3

又cz=a2+b2

解得a=3,b=近

点尸在双曲线M上，且

'\PF\-\PFA=+6

2.12解得也仍居=14.

|P1|十|P用=64,1111

故选B.

【例2】

22

⑴过双曲线，一表■=乂。>0,6>0）的右顶点A作斜率为一1的直线，该直线与双曲线的两

条渐近线的交点分别为BC,若AB=；BC,则双曲线的离心率是（）.

A.72

B,石

C.V5

D.回

Q

⑵在梯形A8CO中，AB|CD且|AB|=2|cq,点E分有向线段AC所成的比为五，双曲

线过C,D,E3点，且以AB为焦点,则双曲线的离心率为.

【策略点击】

求双曲线离心率的考题在高考中经常出现，其解法比较灵活.第（1）问可以有多种解法，可以利

用向量关系2AB=8C得到。与c的关系式，再求出e的值，可以利用平面几何知识求解，也可

以利用韦达定理整体代入求解.第⑵问，可先建立适当坐标设出双曲线方程，将条件“

O

|A四=2|CD|,点E分有向线段AC所成的比为五”用双曲伐儿何基本量表示得到方程（组）而

获解.

【解）

【解法一】

由题设，得4（。，0）,则直线方程为叶）一。=0,直线与两渐近线的交点为

B工_,上，C—,_也.于是

<a+ba+bJ\a-ba-b

心（学，一/一处，空〕

\<a2-h'a~-b~J（a+ba+bJ

2AB=BC,

：.4a2=h2,c2=5a2,从而e=石，故选C.

【解法二】

如图2-37所示，作COx轴交），轴于点。，交双曲线另一条渐近线于点E.

由双曲线的对称性可知，点。平分CE,于是|。目=|。4|,

从而E4LQ4,则有/E4C=45.

由此可推出|A目=|CE|=2|D目=2|。4|,

即Z?=2a.

e2-1+^--5,

a'

<?=\/5.

故选C.

【解法三】

不妨令A（l,0）,则直线方程为¥=l-y.设点8C的坐标分别为（％,乂）,（々，%），

由AB=gBC,易知％=3乂，即/十%=4%，必力=3弁.

双曲线的渐近线方程为〃*2一）2=0,将尸i一旷代人，消去x得

（b2-l）y2-2b2y+b2=0,

从而有x+%=必二j'=4y，弘%=形1=3K，

消去力,即得/=4,

于是e2=l+%=l+/=5,e=x/5.故选C.

a"

⑵以AB的垂直平分线为y轴，直线AB为x轴，建立直角坐标系xOy,如图2-38所

示.则CDJ_y轴.

图2-38

双曲线经过点C，D,且以4B为焦点、,由双曲线的对称性知C,。关于），轴对称.依题

意，记A（-c,0）,cf|,“，B（c,0）,其中c为双曲线的半焦距，

c=1|AB|,〃是梯形的高.

由定比分点坐标公式，得点E的坐标为

।8cQ

一c十—X一0+—x%

112_72

--------C,y=

1+819E—1+>8v=-19^

1111

22

设双曲线的方程为事-与=1,则离心率e=£;由点C,E在双曲线上，得

aba

1c2/

丁/下’①

49c264h2,

---x-z---------x---L

[361a2361b2

【例3】(2016年高考数学上海卷)双曲线丁-营=1.>0)的左、右焦点分别为耳，F2,直线

/过F2且与双曲线交于48两点.

⑴若/的倾斜角为］TT，耳A3是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；

⑵设6=百，若/的斜率存在，且(6A+Z3)-A3=0,求/的斜率.

【策略点击】

本题总体上比较平实.第⑴问，抓住耳A3是等边三角形且A8垂直于x轴求解，由于AB过

焦点F”故A3为通径，|y/=：=/，^=tan3O=乎，则解之更简捷.读者可以一试.

第⑵问，可以巧用直线/的参数方程，利用参数的几何意义解之，也可以由双曲线的定义解之.

哪种方法更为简捷，读者自行评判.

【解】

⑴由题意，知点g(c,0),其中。2=1+/.如图2-39所示.

图2-39

•.飞耳A3是等边三角形,

若/的倾斜角为则乙=c.将点Ac,半c］代人双曲线

解得4(1+。，=3外

即从=2，则Q拉-

故双曲线的渐近线方程为了=±缶.

⑵【解法一】

若〃=6,双曲线方程为V一:=1,

.・.焦点耳(-2,0),7^(2,0).

(£A+F；3>A5=(),即(6A+f；B卜

(耳)一耳))=0,二耳/=聚2即,目=|耳大

设线段45的中点为。，如图2—40所示，则与。，与。

图270

设直线/的倾斜角为a,贝V的参数方程为

y|.jCOSCL

<一.''”为参数)，代人双曲线方程得3(2+/cosa)2—(/sina)2=3

产fsina

化简得产(4cos%-l)+12fcosa+9=0.

12cosa

设此方程的两根为卜t2l有4+叶=]—.。^々>。.

COS2V0,

/.1-4COS2^Z<0

—6cosa

21-4COS26Z

又g£)||4Ecos(〃_a)=_4cosa,.

6cosa

=-4cosa

1-4COS267

化简得2(4cos~a_1)=3,解得cos2a

.•2_32_34,_.V15

sina---,tancc---.故tana一±-----

855

根据对称性，直线/的斜率为土姮.

【解法二】

\\BF-\BF\=2,①

解法二由双曲线的定义得2,

]\AFi-\AF2\=2.②

①+(§W|蜴=怩用—怛川一(已证|64|=|耳见见解法一).

.-.|AD|=2

设内4|=加,则山山=加+2.

在Rt.,AO"中，|耳£＞『=(/2『一4；

在Rt；.Q耳工中，[(加+2)2-4]+(m+2>=42,解得|玛£>|=/n+2=>/i5.

••.|耳。|=指

设.…，则需=奈=乎

故直线/的斜率为K=tan(乃一。)=一半.

根据对称性，直线/的斜率为土星

方法提炼

1.双曲线标准方程的求法

⑴定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，由双曲线定义，确定2a,2b或2c,从而求出

a2,b2,写出双曲线方程.用定义法求双曲线方程时，要注意对焦点所在坐标的位置以及定义

中条件“差的绝对值”的理解.

(2)待定系数法：先确定焦点在x轴还是y轴，设出标准方程，再由条件确定人2的值，

即“先定型，再定量”.

2.双曲线标准方程特殊的辅设方法

⑴双曲线与椭圆标准方程可设为如2+到=1(/加了0),其中，心0且〃X),且加。〃时表示

椭圆；加?<0时表示双曲线，合理使用这种形式可避免讨论.

(2)当已知双曲线的渐近线方程为法±。)=0,求双曲线方程时，可设双曲线方程为

a2y2=4X00),由其他条件确定义的值.

尤2v2r2V2

⑶与双曲线三一4=1有相同的渐近线的双曲线方程可设为一—与=几(行0).由其他条

a"b'ab'

件确定义的值.

⑷已知a=b或渐近线为x±y=0的双曲线可设为。0).

⑸已知过两点的双曲线可设为A6—为2=1(ABX)).

2222

⑹已知离心率为e的双曲线方程可设为=-,=1或4-//、，=1.

ae~_1卜厂a-(e-l)a-

3.双曲线几何性质的3个关注点

(1)“六点”：两焦点、两顶点、两虚轴端点；

(2)“四线”：两对称轴(实、虚轴)，两渐近线；

(3)“两形”：中心、顶点、虚轴端点构成的三角形，双曲线上的一点(不包括顶点)与两焦点

构成的焦点三角形.

三、易错警示

【例】若双曲线的渐近线方程为）=±；x,焦距为10,求双曲线方程.

【错解】两条渐近线关于坐标轴对称，，双曲线的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上.

22

当焦点在/轴上时，双曲线方程可设为2r一方=1140,万＞o）.

•••2c=10,

/.c=5,

a2+1^=25

于是,〃1解得矿=20,b2=5.

一=一，

2

x2y2

故双曲线方程为三-（=1.

22

当焦点在），轴上时，同理可得，双曲线方程为与-5=1.

尤2V2V2X2

综上所述，所求双曲线方程为痴-1=1或而-《=1.

【评析及正解】

上述解法没有注意焦点位置的变化弓I起渐近线的变化.当焦点在y轴上时，双曲线标准方程的

渐近线是），=±fx,决不是在求得焦点在x轴上时所得方程、再互换a,b的位置就能得到.

b

正确的解法如下：

【解】

X2y2

当焦点在X轴上时，同上求得双曲线方程为疝-于=1.

♦+—=25

当焦点在轴上时，应有＜。_1解得Y=5,b2=20.

J-2-

22

因此，双曲线方程为1"一六=1.

X2V2V2X2

•・•所求的双曲线方程应为王）一玄=1或々一右=1.

四、难题攻略

【例】

在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线。：2/->2=1

⑴设点厂是C的左焦点，M是双曲线C右支上一点，若|版目=2啦，求点M的生标；

⑵过双曲线C的左顶点作C的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积

（3）设斜率为左（陶<加）的直线/交C于P，Q两点，若/与圆Y+y2=i相切，求证：

OP1OQ.

【破难析疑】

第⑴问，先确定E点坐标，再由|用目=2血，确定点在双曲线右支上.第⑵问，先求出

过左顶点与渐近线平行的直线方程的一条，与另一条渐近线联立求交点坐标，则平行四边形的

面积易求.第（3）问，欲证。尸_LOQ,即证。尸.OQ=0,即证%龙2+%%=0,可运用方程

理论实施证明.

【解】

⑴双曲线C：j—>,2=1,左焦点F—,0

I2>

2

//-X2zr-\2

设点M的坐标为（x,y）,贝叶半+/=GH苧.

由点M在右支上，知X...—.

2

5[z

.'.\MF\=y/3x+^-=2y/2,解得

⑵左顶点（条。］,渐近线方程为y=士缶.

过点A与渐近线片平行的直线方程为y=血