2023年辽宁省名校联盟高考数学联考试卷及答案解析

2023年辽宁省名校联盟高考数学联考试卷

本试卷满分150分。共22道题。考试用时120分钟。

注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、考场号、座位号和考生号填

写在答题卡上。将条形码横贴在每张答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项

的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不

能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目

指定区域内相应位置上；如需改动，先画掉原来的答案，然后再写上新答案;

不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一.选择题（共8小题，满分40分）

1

1.（5分）已知集合M={x∣i>l},N={x∣log2（x-α）<l},M⊂N,则a的取值范围是（）

A.（-1,0）B.（0,1）C.[-1,0]D.[0,1]

2.（5分）已知复数Z满足-7=2〃则Z的共轨复数5=（）

Z-I

42422424

ʌ--5-5ZB-?+?c∙-5+5zD--5-?

3.（5分）新冠肺炎疫情防控期间，7名医学大学生志愿者到/,B,C三个社区参加疫情联

防联控工作，根据工作实际需要，/社区要分配三名志愿者，B,C两个社区各2名志愿

者，则不同的分配方法共有（）

A.210种B.240种C.420种D.480种

4.（5分）从一张圆形铁板上剪下一个扇形，将其制成一个无底圆锥容器，当容器体积最大

时，该扇形的圆心角是（）

22√32√6

A.铲B.πC.,∙ɜ-,πD.—ɜ~π

5.（5分）已知tan（a-看）=2,tan（α+β）=-3,则tan（β+看）=（）

A.1B.2C.3D.4

6.（5分）设某工厂有甲、乙、丙三个车间，它们生产同一种工件，且甲、乙、丙三个车间

的产量比为5：7：8,已知取出甲、乙、丙三个车间的产品，次品率依次为0.05、0.04、

0.02,现从这批工件中任取一件，则取到次品的概率为（）

A.0.11B.0.69C.0.0345D.0.04

7.（5分）设圆。的半径为∖,P,A,8是圆。上不重合的点，则忌!•丽的最小值是（）

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A.一5B.^IC.一^rD.—Q

Z4O

8.(5分)已知/(x)是定义域为R的奇函数，/(x+2)也是奇函数，当Xe(0,2)时，f

Tr

(x)=2x-X2,则/(-1)，/(5)，/(π)的大小关系是()

A./(f)<∕(-l)<∕(π)B./(J)<∕(7T)<∕(-1)

C./(-l)<∕(π)<∕(5)D./(-l)<∕φ<∕(τr)

二.多选题(共4小题，满分20分，每小题5分)

9.(5分)已知α=2'"3,b=3%则下列判断正确的是()

A.ɑ≥⅛B.aWb

C.a=bD.无法比较它们的大小

10.(5分)在C中，D,E,尸分别是边8C,AC,48中点，下列说法正确的是()

A.AB+AC-AD=0

B.DA+EB+FC=0

→—>→

,,ABAC>∕3AD→TqTjE口,4E

C.若r-+r-=r-,则BD是BA在BC的投影向量

∖AB∖∖AC∖∖AD∖

TTT1

D.若点尸是线段4。上的动点，且满足BP=入BA+“BC,则入H的最大值为二

O

IL(5分)设｛端是无穷数列，若存在正整数也使得对任意"∈N*,均有“,以>斯，则称｛*

是间隔递增数列，/是｛"“｝的间隔数，下列说法正确的是()

A.公比大于1的等比数列一定是间隔递增数列

B.已知斯=〃+，，则｛斯｝是间隔递增数列

C.已知斯=2"-4〃，则｛斯｝是间隔递增数列且最小间隔数是2

D.已知“"=〃2-5-4,若｛“”｝是间隔递增数列且最小间隔数是3,则4≤t<5

12.(5分)设S”是等差数列｛斯｝的前〃项和，且αι=2,α3=8,则()

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A.45=12

B.公差d=3

C.Sin=n(6〃+l)

d∙数歹”{∑⅛}的前〃项和为寻

≡.填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）

13.（5分）某市高二20000名学生参加市体能测试，成绩采用百分制，平均分为80,标准

差为5,成绩服从正态分布，则成绩在（65,95］的人数为.

参考数据：P（μ-。VXWμ+o）=0.6826,尸（p-2。<Ar≤μ+2σ）=0.9544,P（μ-

3。<Ar≤μ+3σ)=0.9974.

22

14.（5分）已知抛物线炉=-8x的准线与双曲线C：葭一记=1(“>0,⅛>0)的渐近线

分别交于4B两点,O是坐标原点.若A∕08的内切圆的周长为n,则内切圆的圆心坐

标为,双曲线C的离心率为.

15.（5分）已知x>2,y>∖,且（X+y-3）（x+2y-3）=9,则3x+4N的最小值为.

16.（5分）如图所示，正方体ZBCQ-mBiCiOi的棱长为2,E,F为A4∖,的中点，M

点是正方形∕88∣4ι内的动点，若CiM〃平面CDiE,则M点的轨迹长度为.

四.解答题（共6小题，满分70分）

17.（10分）⅛（T）a'sinC-y∕3ccosBcosC—y∕3bcos2C;②5ccosB+4b=5α;③（2b-a）cosC

=CCoS4这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目.

在4/8C中，内角N,B,C所对的边分别为“，b,c.且满足.

（1）求sinC；

4√3

（2）已知α+6=5,Z∖∕8C的外接圆半径为-y,求4/8C的边/8上的高人.

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18.(12分)在递增的等比数列｛劭｝中,«205=32,α3+α4=12.

(1)求｛斯｝的通项公式；

n

(2)若b"=(-1)an+l,求数列｛b,,｝的前〃项和S.

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19.（12分）某品牌手机厂商推出新款旗舰机型，并在某地区跟踪调查得到这款手机上市时

间（X个月）市场占有率⑶％）的几组相关对应数据:

X12345

y25111418

根据如表中的数据完成下列问题：

（I）用最小二乘法求出y关于X的线性回归方程；

（II）用变量间的相关关系分析该款旗舰机型市场占有率的变化趋势，并预测自上市起

经过多少个月，该款旗舰机型市场占有率能超过49%（精确到月）.

附:最小二乘法估计分别为b=羽=1一=Σ%（阳丁）合产）,a=y-bx,其中元=

∑JL1xj-nx∑%（XLA

2

3,歹=10,EL（xi-z）=10.

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20.（12分）如图，在四棱锥P-48CD中，口，平面∕8CO,AC,BZ）相交于点MDN=

2NB,已知以=ZC=NZ）=3,BD=3√3,N∕D8=30°.

（1）求证：/C_L平面RW；

（2）设棱P。的中点为/W,求平面218与平面M4C所成二面角的正弦值.

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χ4*VGvɔ

21.(12分)已知椭圆-ɪ+77=1(0>b>O)经过点(0,1),禺心率为一丁，/、B、C为椭

αzb"2

圆上不同的三点，且满足α+茄+辰=G,O为坐标原点.

(I)若直线48、OC的斜率都存在，求证：匕8唳比为定值；

(II)求的取值范围.

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22.(12分)已知函数/(%)=93(仇%一,)_恭2+%

(1)若α=l,求/(x)在X=I处的切线方程；

(2)若/(x)有2个极值点，求实数。的取值范围.

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2023年辽宁省名校联盟高考数学联考试卷

参考答案与试题解析

一.选择题（共8小题，满分40分）

1

1.(5分)已知集合M={x∣->l},N={x∣log2(x-α)<l},M⊂N,则a的取值范围是()

A.(-1,0)B.(0,1)C.[-1,0]D.[0,1]

]1­χ

【解答】解：一>1=——>0→0<x<l,Iog(X-Q)<l≠>tz<x<2+α,

XX2

(a≤0

由题意得:d=-1WaWO.

12+Q≥1

故选：C.

2.(5分)己知复数Z满足一一=23则Z的共飘复数5=()

z-1

ʌ42.n422,4.n24.

ʌ--5-5ZB-5+?c∙^5+5,D--5-5Z

r徒/1例・.Zɔ.∙2i2i(2i+l)42.

【解答】解：•育=2,，∙.z=E=g又E=耳一百/,

.∙.z的共软复数2=&+∣i,

故选：B.

3.（5分）新冠肺炎疫情防控期间，7名医学大学生志愿者到4,B,C三个社区参加疫情联

防联控工作，根据工作实际需要，/社区要分配三名志愿者，B,C两个社区各2名志愿

者，则不同的分配方法共有（）

A.210种B.240种C.420种D.480种

【解答】解：根据题意，分3步进行分析：

①先在7名大学生志愿者中任选3人，安排到/社区，有C73=35种安排方法,

②在剩下的4名大学生中任选2人，安排到B社区，有Cl2=6种安排方法，

③剩下的2名大学生安排到C社区，有1种安排方法，

则有35X6=210种安排方法，

故选：A.

4.（5分）从一张圆形铁板上剪下一个扇形，将其制成一个无底圆锥容器，当容器体积最大

时，该扇形的圆心角是（）

22√32√6

A.-πB.πC.-----πD.-----n

333

【解答】解：设圆锥的底面半径为外高为〃，圆形铁板的半径为R,

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则r2+A2=Λ2,圆锥的体积为V=^πr2h=^∙π(∕?2—∕ι2)h=-^π(R2h—h3),

由V=ITr（R2-3九2）=0,得九2=扣2,

此时圆锥体积最大，尸=乎R,

rπ.∣2πr2√6

则α=下"=-3-7Γ∙

故选：D.

5.(5分)已知tan(a-^)=2,tan(α+β)=-3,则tan(β+^)=()

A.1B.2C.3D.4

【解答】解：因为（a-看）+（β+看）=（a+β）,

tan(a-+tan(∕?+^)2÷tan(∕?+^)

所以tan(a+β)=tan[(a-5)+(β÷5)]=

1—tan(a-tan(∕?+^)-1—2GanQ5+))一

整理解得tan(/?+1)=1.

故选：4.

6.（5分）设某工厂有甲、乙、丙三个车间，它们生产同一种工件，且甲、乙、丙三个车间

的产量比为5：7：8,己知取出甲、乙、丙三个车间的产品，次品率依次为0.05、0.04、

0.02,现从这批工件中任取一件，则取到次品的概率为（）

A.0.11B.0.69C.0.0345D.0.04

【解答】解：设某工厂有甲、乙、丙三个车间，它们生产同一种工件，且甲、乙、丙三

个车间的产量比为5：7：8,

已知取出甲、乙、丙三个车间的产品，次品率依次为0.05、0.04、0.02,

现从这批工件中任取一件，则取到次品的概率为：

S7H

P=j›”×0.05+—。X°∙°4+­0X0.02=0.0345.

b十/7十bɔ+/+oɔ-r/+o

故选：C.

（分）设圆。的半径为P,A,是圆。上不重合的点，则同的最小值是（

7.51,81∙M)

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A

A.一5B.-IC.一^rD.—Q

Z4o

【解答】解：PA-PB=(OA-OP)∙OB-OP)=OA-0B+OP2-(0A+OB)-OP,

由题意可知OB,亦均为单位向量,^L∖OA∖=∖OB∖=∖OP∖=1,

连接/8,作。C_L/8,垂足为C,设N∕08=α,NPoC=0,贝IJoC=COS

→—>—>TTT

.*.OA∙OB=cosa,OP2=1,OA+OB=20C,

a

.∖(OA÷OB)∙OP=20C∙OP=2cos^∙cosβ,

aaa1

.*.PA∙PB=cosa+l-2cos^cosβ=2cos^,2^—2COs^Cosβ=2(cos^∙—^cosβ)

alTTi

.∙.当cos2β=1,COS^-=5CoSB时，PA-PB取得最小值一ʌ

故选：A.

8.(5分)已知/(x)是定义域为R的奇函数，/(x+2)也是奇函数，当在(0,2)时，f

Tr

(X)=Ix-X2,贝∣J∕(-1),f(5),f(π)的大小关系是()

A.fφ<f(~l)<f(π)B.fφ<f(π)<f(-l)

c./(-1)〈/(兀)寸(引D.Λ-l)<∕(J)<∕(π)

【解答】解：由/(x)为奇函数，可知函数/(x)的一个对称中心为(0,0),由/(x+2)

也是奇函数，可知/(x)的一个对称中心为(2,0),

又函数/(x)在区间(1,3)上为减函数，所以函数/(x)的周期为4,

当Xe(0,2)时，f(x)=2x-％2,故函数/(x)的图象如图所示，/(-1)=-/(1)

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=-1,

又ivf<2,所以/(1)>0,又3<n<4,

所以0=/(4)>∕(π)>/(3)=-1,

Tt

所以-1)<∕(π)</(-),

故选：C

二.多选题(共4小题，满分20分，每小题5分)

9.(5分)已知α=2'"3,b=3ln2,则下列判断正确的是()

A.B.α≤6

C.a=hD.无法比较它们的大小

【解答】解：因为。=2%6=3%

所以Ina=Inlbe=Inilnl,Inb=ln3ln2=ln2ln3.

所以∕na=∕nb,即α=6,

故选：ABC.

10.(5分)在aNBC中，D,E,F分别是边8C,AC,48中点，下列说法正确的是()

A.AB+AC-AD=0

B.DA+FB+FC=0

ABACy∕3AD→→→

C.若+=则80是BA在BC的投影向量

∖AB∖∖AC∖∖AD∖

→→→1

D.若点P是线段上的动点，且满足BP=入B4+则入μ的最大值为W

O

【解答】解：如图所示：

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A

E

BD

对选项A,AB+AC-AD=2AD-AD=AD≠O,故/错误:

对选项8,

DA+EB+FC=-^(AB+AQ-^(BA+BQ-^(CA+CB)

]Tɪ→ɪ→ɪ→ɪ→ɪ→

=-AB-AC-BA-BC-CA-^CB

ITɪ→ITITITɪ→T

=-AB-AC+AB-AC+BC=O,

乙乙乙乙/(4

故8正确：

TTT

对选项C,理，当，ɪ分别表示平行于AB,AC,AD的单位向量,

∖AB∖∖AC∖∖AD∖

→→

ΔRΔC

由平面向量加法可知：—+—为NBAC的平分线表示的向量，

∖AB∖∖AC∖

ABAC√3∕W_

为为r—+r-=—→一,所以AD为NBAC的平分线，

∖AB∖∖AC∖∖AD∖

第13页共24页

易在立的投影为∣B⅛cosB=∖BA∖X尊=∖BD∖,

∖BA∖

所以访是盛在后的投影向量，故选项C正确;

对选项D,如图所示：

因为P在/。上，即A,P,D三点共线，

设BP=tBA+(l-t)BD,0≤t≤1,

TlTTTrl—八T

又因为BD=寺BC,所以BP=tBA+^^-BC,

TTT(入=t

因为BP=入BA+μBC,则j^=1→,0≤f≤l,

令y=λμ=t×≥≤=-i(t-i)2+j,

11

£=5时，入N取得最大值为^∙故选项。正确.

乙O

故选：BCD.

11.(5分)设｛α,,｝是无穷数列，若存在正整数%,使得对任意〃∈N*,均有而⅛>a*,则称｛斯｝

是间隔递增数列，上是｛a〃｝的间隔数，下列说法正确的是()

A.公比大于1的等比数列一定是间隔递增数列

B.已知的=”+，，则｛a,,｝是间隔递增数列

C.已知的=2"-4〃，则｛〃”｝是间隔递增数列且最小间隔数是2

D.已知检=后-5-4,若｛即｝是间隔递增数列且最小间隔数是3,则4Wf<5

,kxnxnxk

【解答】对于N,an+k-an=a∖q^-^a∖q=a∖q｛q-1),因为q>1,所以当QlVO

时，an+k<，故A错误；

,〜666k6n2+∕cn-6

对于B,Cln+k-Cln=(〃+%)~\—ɪʃ——)=k-----7~~ΓT∖=k(1----7^^∣.ʌ)=k∙"^~,

∏+knn(∏+∕c)∏(n+∕c)∏(∏+∕c)

第14页共24页

令f=/+而-6在〃6N*单调递增，则/(1)=l+%-6>0,解得人>5,故8正确：

n+kππ

>⅛TC,an+k-an=2-4(n+k)-2+4n=2(2*-1)-4k,

n

当k=2时，an+2-a,l=3×2-8,当"=1时，ɑɜ-α∣=-2<0,所以｛。〃｝是间隔递增数

列但最小间隔数不是2,故C错误；

对于。，若｛α.｝是间隔递增数列且最小间隔数是3,

则c⅛+%-a”=(〃+左)2-t(n+k)-4-(n2-tn-4)-2kn+l^-tk>O,“WN*成立，

则⅛2+(2-t)k>O,对于人23成立，且F+(2-?)⅛≤O对于％≤2成立，

即依(2-f)>0,对于上》3成立，且左+(2-OWO对于左W2成立，

所以/-2<3且L222,解得4<∕<5,故。正确.

故选：BD.

12.(5分)设S,是等差数列｛斯｝的前"项和，且αι=2,磴=8,则()

A.cis~^12

B.公差d=3

C.Sin=n(6w÷l)

D.数列｛---｝的前"项和为：ɪr

anan+i6n+4

【解答】解：由题意，设等差数列｛α,,｝的公差为",

则"=零骂=早=3,故选项8正确，

ɔ-1Z

«5=2+3×(5-1)=14,故选项Z不正确，

u2n21

：Siu=2n×2+<^-)×3=n(6〃+1),选项C正确,

V^=2+3×Cn-1)=3n-1,

11111

----------=-----------------------=—(--------------------)

anan+ι(3n-l)(3n+2)33n—13n+2

1111

・・・数歹IJ｛---------｝的前n项和为一++…+------

anan+l。2。3anan+l

111Il1、111

=3×25=3X(二一二)+∙∙∙÷ɔ×(--------)

5833n—13n+2

11111

Z

=-Xf---+---11

3v2558+…+—",)

3n—13n+2

111、

=亍X---------)

323n+2

=6⅛4>选项。正确•

故选：BCD.

第15页共24页

Ξ.填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）

13.（5分）某市高二20000名学生参加市体能测试，成绩采用百分制，平均分为80,标准

差为5,成绩服从正态分布，则成绩在（65,951的人数为19948.

参考数据：P（μ-。<X≤μ+o）=0.6826,P（μ-2σ<Z≤μ+2σ）=0.9544,P（μ-

3。<XWμ+3。）=0.9974.

【解答】解：由题意知，μ=80,O=5,则成绩在（65,95］的概率为

P（65VXW95）=P（80-3×5<Ar≤80+3×5）=0.9974,

所以成绩在（65,95］的人数为20000X0.9974=19948.

故答案为：19948.

/y2

14.（5分）已知抛物线/=-8x的准线与双曲线C：君-庐=I（α>0,⅛>0）的渐近线

分别交于4B两点,。是坐标原点.若4/08的内切圆的周长为π,则内切圆的圆心坐

33√2

标为（No），双曲线C的离心率为—

【解答】解：由抛物线的方程可得抛物线的准线方程为：x=2,

由双曲线的方程可得双曲线的渐近线方程为y=±,%,

设三角形ZOB的内切圆半径为r,则如r=π,所以r=今

3

所以圆心坐标为（了0）,

,13b

且圆心到直线y=-X的距离为d=r=4=,

-02Jl+Φ2

解得c=36,所以α=2√∑b,

则双曲线的离心率为e=£=弱=竽，

33√2

故答案为：（ς∙,0）,——.

15.（5分）已知x>2,y>l,且（Xty-3）（x+2y-3）=9,贝∣J3x+4y的最小值为_6夜+9_.

【解答】解：令x+y-3="z,x+2y-3=nf则m>0,〃>0,

所以加〃=9,x=2〃？-〃+3,y=n-m,

所以3x+4γ=2w+w+9,

故由基本不等式，得3x+4y=2m+"+9≥2√2mn+9=6√2+9.

当且仅当χ=3,y=挈时，等号成立.

第16页共24页

故答案为：6V∑+9.

16.（5分）如图所示，正方体N8C0-Z∕ιCιO∣的棱长为2,E,F为AAi,48的中点，M

点是正方形∕88∣∕ι内的动点，若ClM〃平面CDE,则加点的轨迹长度为_应_.

【解答】解：如图所示，取∕18∣的中点“，的中点G,连接G4,CιH,CiG,EG,

HF.

可得：四边形EGaDl是平行四边形，.∙.C∣O"Z）∣E.

同理可得：C∖H∕∕CF.

∙.∙Cι"∩CiG=Ci.

，平面CIGH〃平面CDiE,

点是正方形/88内的动点，若C1"〃平面CD∖E.

.∙.点M在线段G”上.

二M点的轨迹长度=G"=√12+I2=√2.

故答案为：√2.

四.解答题（共6小题，满分70分）

17.（10分）⅛（l）ΛsinC-y∕3ccosBcosC—y∕3bcos2C;②5ccosB+4b=5α;③（2b-a）cosC

=CCoS4这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目.

在4/8C中，内角小B,C所对的边分别为α,b,c.且满足.

第17页共24页

(1)求sinC；

4√3

(2)已知α+6=5,C的外接圆半径为亍，求4∕8C的边/8上的高/?.

【解答】解：选择条件①：

2

(1)Sj⅛asinC-y∕3ccosBcosC=y∕3bcosCf

2

所以由正弦定理得SinAsinC=y[3sinCcosBcosC+y∕3sinBcosCf

BPSinAsinC=6CoSe(StnCCOSB+SinBcosC),

故SinAsinC=y∕3cosCsinA,

又∕∈(O,π),故SilL4≠0,

所以sinC=WcosC,即tanC=V3.

由C∈(0,兀)，得CW.

所以sinC=sin^=ɪ,

(2)由正弦定理得-⅛=2x隼，

sin-ɔ

∙*∙c=2×—ʃ-SiTlN=4,

由余弦定理得/=a2+h2-2abcos^=(α+b)2-3ab=16,

所以Qb=~,故(Ib=3,

11

于是得aZ3C的面积S=2absinC=ICh,

所以九=吟匹=萃=等，

选择条件②：

(1)因为5ccos5+4b=54,

由正弦定理得5sinCcosB+4sin8=5sirt4,

即5sinCcos8+4sin8=5sin(8+C)=5SinBCOSC+5cos8sinC,

于是SinB(4-5cosC)=0,

在SC中，si∏5≠0,

4)--------7

所以cosC=引sinC=vl—cos2C=ʒ,

(2)由正弦定理得c=2X等Xl=皑，

-1O1ɑɔ

由余弦定理得c2=a1+b1-IahcosC=(Q+h)2--ξ-ab=-ɪʒ-,

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r-r-κ∣,r/,八21925433

所以Qb=[(α+b)2—~2ξ~]1×ɪɛ=-QQ-，

11

于是得a48C的面积S=-^absinC=ICh,

匚匚i、iLabsinC4333543373

所以九=F-=时X亏X硒=FF'

选择条件③：

(1)因为(2b-a)CoSC=CCOSa

所以由正弦定理得(2sin8-sirMl)CoSC=SinCCOSa

所以2sin8cosC=sin(4+C)=Sin8,

因为8∈(0,π),

1

所以sinB≠0,所以CoSC=g

又C∈(0,π),

所以C=*

所以sinC=ɪ.

(2)由正弦定理得c=2X与ɪsi九与=4,

由余弦定理得C2=α2+ð2—2abcos^=(Q+h)2-3ab=16,

所以以=(。+?2-16,战Qb=3,

11

于是得448C的面积S=IabStnC=WCh,

r

rjrμ∣,absinC3x空3√3

所以八=-7-=芋=-§-・

18.(12分)在递增的等比数列｛““｝中，。2。5=32,“3+04=12.

(1)求｛如｝的通项公式；

(2)若为=(-1)‰ι,求数列｛为｝的前"项和S,.

02。5=。3。4=32

｛α3÷α4=12,解得：始=4,04=8,

公比q=鲁=2,

i3n

.,.an-a3q"-4×2"-2'；

(2)由(1)可得：bn=(-1)"∙2"=(-2)”,

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-2[l-(-2)n](-2)n+1+2

1+2=3

19∙(12分)某品牌手机厂商推出新款旗舰机型，并在某地区跟踪调查得到这款手机上市时

间(X个月)市场占有率(y%)的几组相关对应数据：

X12345

y25111418

根据如表中的数据完成下列问题：

(I)用最小二乘法求出y关于X的线性回归方程；

(11)用变量间的相关关系分析该款旗舰机型市场占有率的变化趋势，并预测自上市起

经过多少个月，该款旗舰机型市场占有率能超过49%(精确到月).

附：最小二乘法估计分别为b=%X丁零=∑7=ι(阳;幻象『7),。=成其中T=

2

∑JL1xj-nx∑%(ɪi-ɪ)

2

3,y=10,(xi-x)=10.

—1+2+3+4+5ɔ—2+5+11+14+18

【解答】解:X=--------F--------=3,y=-----------F----------=1λ0λ,

∑L(x,∙-X)(y,-X)=-2×(-8)+(-1)×(-5)+0×l+l×4+2×8=41,

已知∑L(Xi-为2=10,

...b=说=\"iF纥为=第=4.1,α=歹一成=Io-4.1X3=-2.3,

210

∑∕=l(xi-x)

'∙y关于X的线性回归方程为y=4.Ix-2.3；

(II)由上面的回归方程可知，上市时间与市场占有率正相关，

即上市时间每增加1个月，市场占有率都增加4.1个百分点，

由y=4.1x-2.3>49,解得x212.5/13,

预测自上市起经过13个月，该款旗舰机型市场占有率能超过49%.

20.(12分)如图，在四棱锥P-NBC。中，必，平面/8CZ),AC,BD相交于点N,DN=

2NB,已知H=∕C=∕D=3,BD=3√3,ZADB=3Qo.

(1)求证：4C_L平面以£)；

(2)设棱尸。的中点为加，求平面为B与平面所成二面角的正弦值.

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【解答】(1)证明：DN=2NB,BD=3√3,所以。N=2遮，NB=痘,

又NADB=30°,∕Q=3,所以AB=J9+27—2x3X3/•孚=3,

24∕V=Jg+12-2×3×2√3×ɪ=√3,

：.AN2+AD1=DN2

：.NDAN=90°,.,.ACLAD,J_平面/88

：.PAlAC,PAC∖AD^A,；./C_L平面∕⅛0

(2)取/8中点凡连接FN,因为BN=NA=6,所以NFL4B,

又R1_L平面N8CD,所以平面∕⅛δ，平面4δCD,于是版J_平面为8,而•是平面以8

的法向量；

因为R4=∕C=∕O,所以4VΓLPO,CMLPD,于是PO_L平面K4C,而是平面MZC法

向量；

建立如图所示的空间直角坐标系，由已知得各点坐标如下：

A(0,0,0),B(等，-∣,0),N(√3,0,0)D(0,3,0),P(0,0,3),

-TITT4T4ITTL

取?n=^PO=(0,1,-1),n=-y=∙NF=-^=(5∙OB-ON)=(1,√3,0),

设平面PAB与平面MAC所成二面角大小为θ,

所以ICoSel=呼T==乎，sinθ=Vl-cos2θ=彳°・

ImlMl√2∙244

故平面PAB与平面MAC所成二面角的正弦值为半.

4

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A

6N2y∣3

/y2√3

21.（12分）已知椭圆津+6=1（α>b>O）经过点（0,1),离心率为三，/、B、C为椭

圆上不同的三点，且满足04+OB+。C=0,O为坐标原点.

(I)若直线48、OC的斜率都存在，求证：左力夕上OC为定值；

(II)求|/8］的取值范围.

：√3

【解答】解：(I)证明：由题意可得b=l,'2222

-=—,a=b+cf解得〃2=4,⅛=1,

CI2

χ