2023年中考数学-相似三角形的综合计算

中考数学专题专练一相似三角形的综合计算

AnBCAC

1.如图，在四边形ABCD中，AC、BD相交于点F,点E在BD上，且一=——=——

AEEDAD

(1)试问：NBAE与NCAD相等吗？为什么？

(2)试判断△ABE与△ACD是否相似？并说明理由.

2.如图，在△ABC中，NAC8=90。，CELA8于点E,AD^AC,AF平分NCAB交CE于点

(2)若EF=2,CF=6,求BC的长.

3.如图，在四边形ABCD中，AD〃BC,AB±BC,点E在AB上，ZDEC=90°.

(1)求证：△ADES/\BEC.

(2)若AD=1,BC=3,AE=2,求AB的长.

4.如图，AB为。。的直径，D为BA延长线上一点，过点D作。。的切线，切点为C,过点B作

交DC的延长线于点E,连接BC.

E

(1)求证：BC平分NOBE；

(2)当3C=46时，求的值；

(3)在(2)的条件下，连接E0,交BC于点F,若JCF=5求。。的半径.

FB8

5.如图，在△ABC中，BD是△ABC的角平分线，且NABC=2NC.

(2)已知AB=5,AD=4,求BD.

6.如图，A3是。。的直径，弦CD，AB于点E,点F是。。上一点，且8C=b.连接£4,

FD,ED交AB于点N.

⑴若BE=1,8=6,求。。的半径；

(2)求证：AF-AN；

(3)连接FC并延长，交A3的延长线于点P,过点D作。。的切线，交A3的延长线于点M.求

证：ONOP^OEOM.

7.如图，直线AB、BC、CD分别与OO相切于E、F、G,且AB〃CD,OB=6cm,0C=8cm.求：

EB

(2)BE+CG的长；

(3)。。的半径.

8.如图，在矩形ABCD中，DG1AC,垂足为G.

D、ACDG与ACAD相似吗？为什么？

(2)若AG=6,CG=12,求矩形ABCD的面积.

9.在Rt^ABC中，NB4c=90°,AB=AC，点D在边BC上，DELDA且

DE^DA,AE交边BC于点F,连接CE.

(1)如图(1),当AD^AF时，

①求证：BD=CF；

②求ZACE的度数.

(2)如图，若CD=8,DF=5,求AE的长.

10.如图，在菱形ABCD中，对角线AC,BD相交于点O,过点O作一条直线分别交DA,BC的

延长线于点E,F,连接BE,DF.

ED

(1)求证：四边形BFDE是平行四边形；

(2)若EFLAB,垂足为M,竺=,，AE=2,求菱形ABCD的边长.

MB2

11.如图，△ABC为圆O的内接三角形，BD为。O的直径，AB=AC,AD交BC于E,AE=2,

(2)延长DB到F,使BF=BO,连接FA,那么直线FA与。0相切吗？为什么？

12.如图，AB是。0的直径，D是。。上一点，E是AB延长线上一点，ACLDE交ED延长线于

C,CF〃AB,交AD延长线于F,且CF=AC.

(2)求证：AC«BE=CD«DE；

(3)若BE=3,DE=38，求AF的长.

13.如图，△ABC内接于。O,AB是直径，。0的切线PC交BA的延长线于点P,OF〃BC交AC

于点E,交PC于点F,连结AF.

(1)判断AF与。0的位置关系并说明理由;

(2)若AC=24,AF=15,求sinB.

14.如图，△ABC内接于半圆，AB是直径，过A作直线MN,ZMAC=ZABC,D是弧AC的中

点，连接BD交AC于G,过D作DELAB于E,交AC于F.

(1)求证：MN是半圆的切线；

(2)求证：FD=FG.

(3)若△DFG的面积为4.5,且DG=3,GC=4,试求△BCG的面积.

15.如图，△ABC中，AB=AC,BZ)是AC边上的中线，A0平分N84C且交BD于点O.

(1)求证：BO=2OD；

(2)当△BCD是等腰三角形时，求NC8O的余弦值；

(3)以O为圆心、0D长为半径的圆交线段B0于点E,连结CE.当△CDE与△AOB相似时,

求AB：BC的值.

16.如图，AB是。0的直径，BC±AB,连结0C,弦AD〃OC,直线CD交BA的延长线于点E.

(1)求证：直线CD是OO的切线；

(2)若DE=2BC,求AD：0C的值.

17.如图，在正方形ABCD中，点E在BC边上，连接AE、/DAE的平分线AG与CD边交于点

CE

G,与BC的延长线交于点F,设—=入0>0)。

(1)若AB=2,X,=l,求线段CF的长。

(2)连接EG,若EG1AF,

①求证：点G为CD的中点。

②求大的值。

18.如图，在△ABC中，AB=AC,点P、D分别是BC、AC边上的点，且/APD=/B.

(1)求证：AC«CD=CP«BP；

(2)若AB=10,BC=12,当PD〃AB时，求BP的长.

19.如图，正方形ABCD中，A6=4，P为CD边上的一点，过P点作BP的垂线交AD于点

E,交BC的延长线于点F.

(1)判断线段DE、CF、CP之间的数量关系，并说明理由.

(2)若CP=X,SM阱=y，写出y与X之间的函数关系式.

20.如图，已知边长为10的正方形ABCD,E是BC边上一动点(与B、C不重合)，连结

AE,G是BC延长线上的点，过点E作AE的垂线交ZDCG的角平分线于点F,若

FG1BG.

D

(1)求证：AABESAEGF；

(2)若EC=2,求&CEF的面积；

(3)请直接写出EC为何值时，KEF的面积最大.

答案解析部分

1.【答案】(1)解：NBAE与NCAD相等.

工田小..ABBCAC

理由：.——=——=——，

AEEDAD

；.△ABC^AAED,

/.ZBAC=ZEAD,

，ZBAE=ZCAD

(2)解：4ABE与AACD相似.

..AB_AC

"AE~AD'

.ABAC

"~AC一~AD'

在4ABE-^jAACD中，

..AB_AC

,/BAE=NCAD,

'~AC~~AD

；.△ABE^AACD

2.【答案】(1)证明：•.•AF平分NCAB,

.../CAF=/BAF,

AC^AD

在^ACF和AADF中：■ZCAF=Z.BAF,

AF=AF

：.^ACF^AADF(SAS).

⑵解：VCELAB,

r.ZACE+ZCAE=9O0,ZADF+ZDFE=90°,

由(1)中AACF也AAOF可知：ZACE=ZADF,

，NCAE=NDFE,

又已知NACB=90°，

.,.ZACE+ZECB=90°,

，NCAE=NECB,

.*.ZDFE=ZECB,

，DF〃BC,

/.ZDGC=180°-ZACB=90°,

：AF为NCAD角平分线，由角平分线性质可知:

，FE=FG=2,DF=CF=6,DG=CE=8,

,ED=yjDF2-EF2=J36-4=4近，

VZEDF=ZGDA,ZFED=ZAGD=90°,

DEF^ADGA,

•EF然，代入数据得到:籍殍

"AG

解得AG=2起,

,AC=AD=y]AG2+DG2=48+64=672，

又：DF〃BC,

AGD^AACB,

AGGD..2-,,2\/28

—.代入数据pz得a到：二尸=—,

ACBC6>/2BC

二解得：BC=24,

故BC的长为24.

3.【答案】(1)证明：•；AD〃BC,AB±.BC,

；.AB_LAD,ZA=ZB=90°,

.•.NADE+NAED==90°.

VZDEC=90o,

，/AED+/BEC=90°,

，NADE=/BEC,

/.△ADE^ABEC.

⑵解：,/△ADE^ABEC,.

.BEBC

AD-

：CD是。0的切线,

二OC1DE,

,/DELBE,

：.OC\\BE,

ZEBC=ZOCB,

•：OB=OC,

，/OBC=/OCB,

：./OBC=NEBC,

ABC平分NDBE.

(2)解：连接AC,

VAB是直径，

二ZACB=90°,

BEVCD,

.../BED=90。，

^ABC〜ACBE,

.BEBC

：.ABBE=BC2=（432=80

（3）解：设。。的半径为r,则OC=r,AB=2r,

'：OC\\BE,

:.AOCF〜AEBF,

.PCCF5

•k8

..BE--r,

5

ABBE=8。,

o

2rx-r=80,

5

，乙=5,r2=-5（舍去），

二0。的半径为5.

5.【答案】（1）证明：：BD是△ABC的角平分线,

，/ABD=NDBC=-ZABC,

2

VZABC=2ZC,

：.ZC=-ZABC,

2

.\ZC=ZABD,

：NA=NA,

:ABC^AADB.

（2）解：VAABC^AADB,

.ABAC

"AD-AB

：AB=5,AD=4,

AB2_52_25

••ZJkVx----------，

AD44

259

，CD=AC-AD=--4=一，

44

・「NDBC=—ZABC,NC=-ZABC,

22

・・・NDBC=NC,

9

・・・BD=CD=—，

4

9

・・・BD的长为一.

4

6.【答案】（1）解：如图，连接AC,BC,BD,

:.BC=BD,CE=DE=、CD=3

2

，/BCD=NBAC,且/BEC=/CEA

/.△BCE^ACAE

..坐二上，即L二，

CEAE3AE

；.AE=9

.,.AB=AE+BE=10

.••。0的半径为5；

(2)证明：•.♦3C=BO=CT，

AZBCD=ZBDC=ZCDF,且DE=DE,ZBED=ZNED=90°

BDE^ANDE(ASA)

/.ZDBN=ZDNB,BE=EN

：/DBA=/DFA,/BND=/FNA

AZFNA=ZDFA

・・・AN=AF；

(3)证明：如图，连接NC,CO,DO,

/.MD±DO,

.,.ZMDO=ZDEO=90°,NDOE=NDOE

・•・△MDO^ADEO

.DOMO

••=,

EODO

/.OD2=OE«OM

VAE=EN,CD±AO

.*.ZBNC=ZCBN,

...NCBP=NCNO,

,**BC=CF，

，/BOC=NBAF

,/CO//AF

.\ZPCO=ZPFA

：四边形BCFA是圆内接四边形

AZPBC=ZPFA

，ZPBC=ZPFA=ZPCO=ZCNO,且/POC=/COE

/.△CNO^APCO

.CONO

''~pd~~cd'

.*.CO2=PO・NO,

...ON・OP=OEPM.

EB

7.【答案】(1)解：连接OF；根据切线长定理得：BE=BF,CF=CG,

D~G~C

ZOBF=ZOBE,ZOCF=ZOCG；

・.・AB〃CD,

AZABC+ZBCD=180o,

AZOBE+ZOCF=90°,

・•・ZBOC=90°

(2)解：由(1)知，ZBOC=90°.V0B=6cm,OC=8cm,工由勾股定理得到：BC=

y/OB2+OC2=10cm,

・・・BE+CG=BGlOcm

(3)解：VOF1BC,AZBFO=ZOFC=90°VZBOC=90°AZBOF+ZCOF=90°,

OFOC

ZCOF+ZFCO=90°oJZBOF=ZFCOA△FCO^AAFOB—=—

OBBC

OBOC

；.OF=-----------=4.8cm

BC

8.【答案】(1)解：AADGs/^AC

D、△CDG^ACAD；

:四边形ABCD是矩形，

.,.ZADC=90°,

VDG1AC,

.,.ZAGD=ZDGC=90°,

.*.ZADC=ZAGD,

又NA=NA,

/.△ADG^AACD,

同理可得：ZkCDGsaCAD

(2)解：VAADG^AACD,

/.AD2=AG«AC,

・.・△CDG^ACAD,

ACD2=CG*AC,

VAG=6,CG=12,

AAC=18,

AAD=65/3,CD=6瓜,

・・.S矩形ABCD=ADxCD=6gx6&=108行.

9.【答案】(1)①证明：如图1中，

AZB=ZACF,

VAD=AF,

AZADF=ZAFD,

JNADB=NAFC,

.*.△ABD^AACF(AAS),

ABD=CF；

②结论：ZACE=90°.

理由：如图1中，VDA=DE,ZADE=90°,AB=AC,ZBAC=90°,

AZACD=ZAED=45°,

AA,D,E,C四点共圆，

/.ZADE+ZACE=180°,

JZACE=90°；

(2)解：VZADF=ZCDA,ZDAF=ZDCA=45°,

/.△DAF〜ADCA,

.ADDF

"'~CD~~AD'

.*.AD2=CD«DF=8X5=40,

，AD=DE=2y/\0,

•••AE=>JAD2+AE2=V80=4A/5•

10.【答案】(1)证明：在菱形ABCD中，AD〃BC,OA=OC,OB=OD,

.\ZAEO=ZCFO,

NAEO=ZCFO

在4AEO和^CFO中，■ZAOE=Z.COF,

OA=OC

AEO^ACFO(AAS),

.\OE=OF,

又,.•OB=OD,

二四边形BFDE是平行四边形

⑵解：•.•丝」，

MB2

.•.设OM=x,BM=2x,

VEF±AB,

XVAC1BD,

.*.ZAOM=ZOBM,

/.△AOM^AOBM,

.AM__OM

"'~OM~~BM'

.AMOM?1

..AM=-------=—x,

BM2

VAD/7BC,

AAAEM^ABFM,

11

AEM：FM=AM：BM=-x：2x=-,

24

VAAEO丝△CFO,

.♦.AE=CF,

：AE〃BF,

AEM^ABFM,

.AE_EM

,•丽一~MF'

21

—=—,

BF4

，BF=8,

，BC=6,

，菱形ABCD的边长为6.

IL【答案】(1)证明：；AB=AC,

/.ZABC=ZC.

VZC=ZD,

.•.NABC=/D.

又：/BAE=/DAB,

/.△ABE^AADB,

.ABAE

AD-AB'

；.AB2=AD・AE=(AE+ED)・AE=(2+4)x2=12,

AAB=2V3；

(2)解：直线FA与。O相切.

理由如下：

连接OA,

•.•BD为。。的直径,

.'./BAD=90°,

•,.BD=VAB2+AD2=^12+(2+4)2=748=473

BF=BO=—BD=-x4>/3=2\/3.

22

VAB=26，

/.BF=BO=AB,

AZOAF=90°.

直线FA与。O相切.

12•【答案】（1）证明：连接0D,

图1

VAC=CF,

AZF=ZCAF,

VCF//AB,

AZF=ZDAO,

AZCAF=ZDAO,

VAO=OD,

/.ZDAO=ZADO,

AZCAF=ZADO,

AAC#DO,

VAC±DE,

AOD1DE,

・・・CE是。O的切线;

图2

〈AB是。。的直径,

，NADB=90。，

.\ZACD=ZADB,

VZCAD=ZDAB,

・•・△ACD^AADB,

.ACAD

u，~CD~~BDf

VOD±DE,

...NBDE+NODB=90。，

VOD=OB,

.-.ZODB=ZOBD,

.\ZBDE+ZOBD=9()°,

又：ZOBD+ZDAB=90°,

.,.ZBDE=ZDAB,

VZDEB=ZAED,

ADE^ADBE,

.ADDE

,•茄一亚’

.ACDE

"'CD~~BE'

.,.AC«BE=CD»DE；

(3)解：:AADE〜QBE,

.DEAE

DE2=BEAE>

BE—3,DE-3A/2，

A(3V2)2=3AE,

AE-6,

/.AB=AE-BE=6-3=3,

••_D_B___B_E____3_____1_

,耘—而一访一双'

设£>B=x,AD=旧，

：.x2+(V2x)2=32,

解得：x=\/3>

.,•08=6，AD=瓜,

,•^,ACD〜AADB,

.ADAB

"~AC~~AD'

/.AD2=ACAB，

=3AC,

.**AC-2，

・・・ACBE=CD・DE,

•••2x3=CD义30

:.CD=近，

：CF〃AB,

ACDF~^EDAI

.CDDF

"'~DE~~AD'

.豉_DF

••3加一卡’

DF=旦,

3

AF=DF+AD=—+>/6=^-.

33

13.【答案】（1）解：AF与（DO相切.理由如下:

连接OC.如图所示.

/.OC±PC,

,ZOCF=90°.

：OF〃BC,

/.ZB=ZAOF,ZOCB=ZCOF.

•.PB=OC,

.•.ZB=ZOCB,

.,.ZAOF=ZCOF.

在^OAF和△OCF中，

•.•OA=OC,NAOF=NCOF,OF=OF,

OAF^AOCF(SAS),

/.ZOAF=ZOCF=90°,

.•.AF与(DO相切

(2)解：OAF四△OCF,

.,.ZAOE=ZCOE,

.•.OE_LAC,AE=-AC=12,

2

；.EF=V152-122=9•

VZOAF=90°,

OAE^AAFE,

OAAE口门OA12

——=——，即——=—，

AFEF159

AOA=20,

AC243

二.AB=40,sinB=-----=——=—

AB405

14.【答案】(1)解：如右图所示,

VAB是直径,

・•・ZACB=90°,

AZCAB+ZABC=90°,

VZMAC=ZABC,

AZCAB+ZMAC=90°,

即NMAB=90。，

・・・MN是半圆的切线

(2)证明：VDE1AB,

AZEDB+ZABD=90°,

VAB是直径，

・•・ZACB=90°,

AZCBG+ZBGC=90°

YD是弧AC的中点，

AZCBD=ZABD,

/.ZEDB=ZBGC,

VZDGF=ZBGC,

AZEDB=ZDGF,

，DF二FG.

(3)解：如图，连接AD、OD,

.\ZDGF=ZFDG,

VZDGF+ZDAG=90°,ZFDG+ZADF=90°,

AZDAF=ZADF,

/.AF=DF=GF,

••SAADG=2SADGF=9,

,:&BCG^AADG,

q2

u^BCGCG

q

^^ADG~DG

•△ADG的面积为9,且DG=3,GC=4,

••SABCG—16.

答：△BCG的面积是16.

15.【答案】(1)解：延长AO交BC于点E,使EF=OE

A

VAB=AC,AO平分N6AC

.•.E为BC边中点，

...BE=CE

又•：NBED=/CEF,OE=EF

BEO^\CEF

；.OB=CF,/DBE=NFCE

：.BD//CF

.ADAO

"'CD~~FO

,：BD是AC边上的中线，

.•.D为AC边中点，

，AD=CD

.\AO=FO

二0为AF的中点，

.,.OD是△ACF的中位线，

：.OD=-CF=-BO

22

：.3。=20。

(2)解：由(1)得，AE1BC,08=20。

BE

cosZ.CBD=-——

BO

•••△BCD是等腰三角形

3

...BC=BD=-。。

2

3

•RF}0Da

.'cosZCBD=--=Z—=-

BO20D4

(3)解：如图

已知△CDE~\AOB,

:.ZAOD=NCOE,ZABO=/CED

VOB=2OD,OD=OE

，ED=2OD=BO

/.△CDE=MOB,

二CD=AO

VAC=AB,D为AC的中点，

：.CD=-AB=AO

2

设OG=x,与(1)同理可得AO=2OG=2x

又AB=2AO=4x,

在RtAABG中，BG=ylAB2-AG2=V16x2-9x2=岳

：.BC=2BG=2sx

AB4x2r-

:•嬴=2币xF

16.【答案】(1)证明：连结OD.：AD〃OC,.\ZDAO=ZCOB,ZADO=ZCOD.XVOA=OD,

.*.ZDAO=ZADO,AZCOD=ZCOB.

又•.•CO=CO,OD=OB,/.△COD^ACOB,NCDO=NCBO=90。..•.直线CD是。O的切线

(2)解：由(1)知△CODgZ\COB.，CD=CB.

VDE=2BC,DE=2CD.

：AD〃OC,.*.△EDA^AECO.

.ADDE2

''~OC~~CE~~5

17.【答案】(1)解：四边形ABCD是正方形，

，AD〃BC

，NDAF=NF,

又AG平分NDAE

ZDAF=ZEAF

.*.ZEAF=ZF,

，EA=EF

XVX=1,AB=BC=2,

，BE=EC=1,

在RtAABE中，由勾股定理得，EA=6

.,.CF=EF-EC=石-1

(2)解：①；EA=EF,EG1AF

.•.AG=GF

XVZAGD=ZFGC,ZDAG=ZF

AADAG^ACFG

；.DG=CG,

二点G是CD的中点。

②设CD=2,则CG=1,

由①知，CF=AD=2

由题意△EGC-^AGFC,

.ECCG\

'"^G~'CF~2

13

，EC=-，：.BE=-

22

CE_\

EB3

18.【答案】(1)证明：VAB=AC,/.ZB=ZC.

VZAPD=ZB,.\ZAPD=ZB=ZC.

••NAPONBAP+NB,NAPGNAPD+NDPC,

\ZBAP=ZDPC,

•・△ABP^APCD,

.BPAB

•而一而'

・・AB・CD=CP・BP.

・・AB=AC,

・・AOCD=CP・BP

(2)解：VPD/7AB,AZAPD=ZBAP.

?