上海市华二附中2023-2024学年高二上学期12月月考数学试卷(含答案)

～2024学年华二附中高二（上）12月月考数学试卷一、填空题（第1-6题每题4分，第7-12题每题5分，满分54分）1．抛物线的焦点坐标为．2．若直线是圆的一条对称轴，则．3．三个平面最多将空间分成个部分．4．点到双曲线的一条渐近线的距离为．5．若直线与直线垂直，则实数．6．设平面与平面相交于直线l，直线，直线，，则Ml（用下列符号之一表示：、、、）．7．已知，是双曲线C的两个焦点，过且垂直于x轴的直线交C于A，B两点，且，则C的方程为．8．若直线与曲线恰有一个公共点，则b的取值范围为．9．如图，在正方体中，E是BC的中点，则异面直线和所成角的大小为．10．已知F是双曲线C：的右焦点，P是C左支上一点，，当△APF周长最小时，该三角形的面积为．11．已知M为抛物线C：上一点，过抛物线C的焦点F作直线的垂线，垂足为N，则的最小值为．12．已知椭圆C：（），直线l过点，不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M，延长线段OM与C交于点P，当四边形OAPB为平行四边形时，则直线l的斜率．二、单选题（本大题共4题，满分20发）13．如图，△O＇A＇B＇是水平放置的△OAB的直观图，，，，则原△AOB的面积为（）A．6 B． C．12 D．2414．已知圆，过点的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（）A．1 B．2 C．3 D．415．方程表示的曲线为（）A．一个圆 B．两个半圆 C．一个椭圆 D．以上结论均不对16．已知正方体，设直线平面ABCD，直线平面，记正方体12条棱所在直线构成的集合为．给出下列四个命题：①中可能有4条直线与a异面；②中可能有5条直线与a异面；③中可能有8条直线与b异面；④中可能有10条直线与b异面．A．①②③ B．①④ C．①③④ D．①②④三、解答题（本大题共有5题，满分76）17．已知直线l经过点，分别求满足下列条件的直线l的方程：（1）与直线垂直；（2）与圆O：相切．18．如图，在长方体中，E，F分别是和的中点．（1）证明：E，F，D，B四点共面．（2）证明：BE，DF，三线共点．19．某高校的志愿者服务小组决定开发一款“猫捉老鼠”的游戏，如图，A、B两个信号源相距10米，O是AB的中点，过O点的直线l与直线AB的夹角为45°，机器猫在直线l上运动，机器鼠的运动轨迹始终满足：接收到A点的信号比接收到B点的信号秒（注：信号每秒传播米），在时刻时，测得机器鼠距离O点为4米．（1）以O为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系（如图），求时机器鼠所在位置的坐标；（2）游戏设定：机器鼠在距离直线l不超过1.5米的区域运动时，有“被抓”风险，如果机器鼠保持目前的运动轨迹不变，是否有“被抓”风险？20．如图，四边形ABCD是矩形，，，平面BCE，，．点F为线段BE的中点．（1）求证：平面ABE；（2）求证：平面ACF；（3）求AC和平面ABE所成角的正弦值．21．已知椭圆：（）的右焦点与抛物线的焦点重合，的中心与的顶点重合，过且与x轴垂直的直线交于A、B两点，交于C、D两点，且．（1）求的离心率；（2）设E是与的公共点，若，求与的标准方程；（3）直线l：与交于M、N，与交于P、Q，且在直线l上按M、P、N、Q顺序排列，若，求．参考答案及其解析一、填空题1．【答案】【解析】地物线开口向上，其中，故抛物线的焦点坐标为．2．【答案】【解析】圆的圆心坐标为，因为直线是圆的一条对称轴，所以圆心在此直线上，所以，解得．3．【答案】8【解析】三个平面两两相交，且交线交于一点，则这三个平面将空间分为8部分．因此，空间三个平面最多将空间分成8个部分．4．【答案】2【解析】由已知可得，，，双曲线的渐近线方程为．所以，点到，即的距离．5．【答案】【解析】因为直线与直线垂直，所以，解得．6．【答案】【解析】，故，，故；，故，，故，故．7．【答案】【解析】由题意，设双曲线（，），根据题意得，解得．因此，所求的双曲线方程为．8．【答案】}【解析】由曲线，可得（），表示以原点为圆心，半径为1的右半圆，是倾斜角为的直线与曲线有且只有一个公共点有两种情况：①直线与半圆相切，根据，所以，结合图象可得；②直线与半圆的上半部分相交于一个交点，由图可知．综上可知：或．9．【答案】【解析】如下图所示，连接、AE、DE，设正方体的棱长为2，因为且，则四边形为平行四边形，故，所以，异面直线和所成角为或其补角，因为，同理可得，，由勾股定理可得，由余弦定理可得，所以，，故异面直线和所成角的大小为45°．10．【答案】【解析】设双曲线的左焦点为，由双曲线定义知，，∴△APF的周长为，由于是定值，要使△APF的周长最小，则最小，即P、A、共线，∵，，∴直线的方程为，即代入整理得，解得或（舍），所以P点的纵坐标为，∴．11．【答案】【解析】由C：知，焦点，准线l的方程为，由可得，由解得，即直线恒过定点，设PF中点为E，则，由题意知，所以N的轨迹为以PF为直径的圆，则圆的方程为，过M作于D，则，所以由图知，当M运动到M＇时，N运动到N＇，D＇，M＇，N＇，E共线时，的最小值为圆上动点N到准线的距离的最小值，即．12．【答案】【解析】设，，，直线不经过原点且不与坐标轴平行，所以，，，，直线l的斜率，直线OM的斜率，A，B在椭圆上，，两式相减：，两边同时除以得，所以，即所以直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值，四边形OAPB为平行四边形时，当且仅当AB与OP互相平分，设，则，且在椭圆上，，即由，，所以，整理得：，又因为所以，即，两边平方得：，，所以两边同时除以，，，所以，，所以．二、单选题13．【答案】C【解析】根据斜二测画法的知识画出原图如下图所示，则原△AOB的面积为．故选：C．14．【答案】B【解析】圆化为，所以圆心C坐标为，半径为3，设，当过点P的直线和直线CP垂直时，圆心到过点P的直线的距离最大，所求的弦长最短，此时，根据弦长公式得最小值为，故选：B．15．【答案】B【解析】由已知方程得及，分别表示以为圆心、1为半径的介于点与之间的上半圆周及以为圆心、1为半径的介于点与之间的下半圆周．16．【答案】C【解析】当直线a取AB时，中只有四条直线（、、、）与直线a异面，故①正确；当直线b取线段AD中点与线段的中点连线时，中除了AD和之外的10条棱均与直线b异面，故④正确；当直线b取A点与线段的中点连线时，中除了AD、、AB和之外的8条棱均与直线b异面，故③正确；综上，故选C．三、解答题17．【答案】（1）；（2）或．【解析】（1）因为直线l与直线垂直，可设直线l的方程为，又因为直线l过点，代入可得，解得，所以直线l的方程为．（2）由题意知，直线l过点，又由圆O：，可得圆心坐标为，半径，当直线l的斜率不存在时，可得直线l的方程为，此时满足圆心到直线的距离等于半径，所以直线与圆O相切；当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为，即，因为直线与圆相切，可得，解得，即，综上可得，所求直线l的方程为或．18．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）如图，连接EF，BD，．∵EF是的中位线，∴．∵与平行且相等，∴四边形是平行四边形，∴，∴，∴E，F，D，B四点共面．（2）∵，且，∴直线BE和DF相交．延长BE，DF，设它们相交于点P，∵直线BE，直线B平面，∴平面，∴直线DF，直线平面，∴平面，∵平面平面，∴，∴BE，DF，三线共点．19．【答案】（1）；（2）没有“被抓”风险【解析】（1）设机器鼠位置为点P，由题意可得，即，可得P的轨迹为双曲线的左支，且，，即有，，，则P的轨迹方程为（），时刻时，，即，可得机器鼠所在位置的坐标为；（2）设直线l的平行线的方程为，联立双曲线方程（），可得，即有，且，可得，即：与双曲线的左支相切，切点即为双曲线左支上距离l最近的点，此时l与的距离为，即机器鼠距离l最小的距离为，则机器鼠保持目前运动轨迹不变，没有“被抓”的风险．20．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）【解析】（1）因为平面BCE，平面BCE，所以，又由，而，AB，平面ABE，故平面ABE；（2）连接BD交AC于M，连接FM，由点F为线段BE的中点，可得，而平面ACF，平面ACF，故平面ACF；（3）由（1）知，平面ABE，∠CAE即为AC和平面ABE所成的角．由已知，，，在直角三角形ACE中，可得，即AC和平面ABE所成角的正弦值为．21．【答案】（1）；（2）：，：；（3）【解析】（1）设椭圆的焦距为2c，则，将代入椭圆的方程得可得，所以，设抛物线的标准方程为（），则，可得，所以，抛物线的方程为，将代入抛物线的方程可得，解得，所以，，因为，即，所以，，即，因为，解得，故椭圆的离心率为．（2）设点，则，则，则，由抛物线的定义可得，所以，解得，则，，所以，椭圆的方程为，抛物线的方程为．（3）若，则直线l与抛物线只有一个交点，不合乎题意．所以，，由题意可知，P为MN的中点，N为PQ的中点，设点、，