新高考数学一轮复习知识点总结与题型精练专题09 导数的概念与运算（含解析）

专题09导数的概念与运算【考纲要求】1.了解导数概念的实际背景，理解导数的几何意义．2．能根据导数的定义求函数y＝C(C为常数)，y＝x，y＝eq\f(1,x)，y＝x2的导数．3．能利用基本初等函数的导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数.一、导数的概念和几何意义【思维导图】【考点总结】1．导数的概念(1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数一般地，称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq\f(f（x0＋Δx）－f（x0）,Δx)．(2)导数的几何意义函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)．(3)函数f(x)的导函数称函数f′(x)＝eq^\o(lim,\s\do4(Δx→0))eq\o(lim,\s\do5(Δx→0))eq\f(f（x＋Δx）－f（x）,Δx)为f(x)的导函数．二、导数的计算【思维导图】【考点总结】1．基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xn(n∈Q*)f′(x)＝nxn－1f(x)＝sinxf′(x)＝cos_xf(x)＝cosxf′(x)＝－sin_xf(x)＝ax(a>0且a≠1)f′(x)＝axln_af(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logax(x>0，a>0且a≠1)f′(x)＝eq\f(1,xlna)f(x)＝lnx(x>0)f′(x)＝eq\f(1,x)2.导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)．(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)．(3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(f（x）,g（x）)))′＝eq\f(f′（x）g（x）－f（x）g′（x）,[g（x）]2)(g(x)≠0)．3．复合函数的导数复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．【常用结论】1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．2．[af(x)＋bg(x)]′＝af′(x)＋bg′(x)．3．函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．【题型汇编】题型一：导数的概念和几何意义题型二：导数的运算【题型讲解】题型一：导数的概念和几何意义一、单选题1．（2022·贵州黔东南·一模（理））一个质点作直线运动，其位移s（单位：米）与时间t（单位：秒）满足关系式SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0时，该质点的瞬时速度为（

）A．5米/秒 B．8米/秒C．14米/秒 D．16米/秒【答案】C【解析】【分析】求导得到SKIPIF1<0，即得解.【详解】解：由题得SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故当SKIPIF1<0时，该质点的瞬时速度为14米/秒．故选：C2．（2022·贵州黔东南·一模（文））一个质点作直线运动，其位移s（单位：米）与时间t（单位：秒）满足关系式，SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0时，该质点的瞬时速度为（

）A．SKIPIF1<0米/秒 B．3米/秒 C．4米/秒 D．5米/秒【答案】B【解析】【分析】先求出导数，再代入SKIPIF1<0计算即可.【详解】SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故当SKIPIF1<0时，该质点的瞬时速度为3米/秒.故选：B.3．（2022·江西上饶·一模（理））设SKIPIF1<0为可导函数，且SKIPIF1<0，则曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线斜率为（

）A．2 B．-1 C．1 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】【分析】利用导数的定义及几何意义进行求解.【详解】由导数的几何意义，点SKIPIF1<0处的切线斜率为SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以在点SKIPIF1<0处的切线斜率为SKIPIF1<0，故选：D.4．（2022·安徽省舒城中学三模（文））以下曲线与直线SKIPIF1<0相切的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】【分析】直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，且经过点SKIPIF1<0，利用导数的几何意义分别判断SKIPIF1<0是否为选项中曲线的切线即可.【详解】直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，且经过点SKIPIF1<0，选项A.点SKIPIF1<0在曲线SKIPIF1<0上，但曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线的斜率不存在,故不正确.选项B.由SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，设切点为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0所以切点为SKIPIF1<0，显然点SKIPIF1<0不再在直线SKIPIF1<0上，故不正确.选项C，曲线SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线方程为：SKIPIF1<0所以曲线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0相切，故正确.选项D.由SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，设切点为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0所以切点为SKIPIF1<0，显然点SKIPIF1<0不在直线SKIPIF1<0上，故不正确.故选：C5．（2022·山东烟台·三模）已知函数SKIPIF1<0，若方程SKIPIF1<0有且仅有三个实数解，则实数SKIPIF1<0的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】【分析】作出函数SKIPIF1<0的图象，利用导数的几何意义求出对应的切线方程以及斜率，利用数形结合进行求解即可．【详解】解：作出函数SKIPIF1<0的图象如图：依题意方程SKIPIF1<0有且仅有三个实数解，即SKIPIF1<0与SKIPIF1<0有且仅有三个交点，因为SKIPIF1<0必过SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0时，方程SKIPIF1<0不可能有三个实数解，则必有SKIPIF1<0，当直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0在SKIPIF1<0时相切时，设切点坐标为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则切线方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0切线方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0与SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有且仅有一个交点，要使方程SKIPIF1<0有且仅有三个的实数解，则当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0与SKIPIF1<0有两个交点，设直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0切于点SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故选：B6．（2022·山东潍坊·三模）过点SKIPIF1<0有SKIPIF1<0条直线与函数SKIPIF1<0的图像相切，当SKIPIF1<0取最大值时，SKIPIF1<0的取值范围为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】【分析】求导分析SKIPIF1<0的图象可得SKIPIF1<0，再设切点坐标为SKIPIF1<0，由题可得SKIPIF1<0有三根，再构造函数SKIPIF1<0求导分析图象单调性与最值即可【详解】由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递减，且SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增，结合图象易得，过点SKIPIF1<0至多有3条直线与函数SKIPIF1<0的图像相切，故SKIPIF1<0.此时，设切点坐标为SKIPIF1<0，则切线斜率SKIPIF1<0，所以切线方程为SKIPIF1<0，将SKIPIF1<0代入得SKIPIF1<0，存在三条切线即函数SKIPIF1<0有三个不同的根，又SKIPIF1<0，易得在SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递增；在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0单调递减，画出图象可得当SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0时符合题意故选：B【点睛】本题主要考查了利用导数解决切线的问题，同时也考查了构造函数，求导分析单调性，进而确定根的个数与参数取值范围的问题，属于难题二、多选题1．（2022·广东·二模）吹气球时，记气球的半径r与体积V之间的函数关系为r（V），SKIPIF1<0为r（V）的导函数．已知r（V）在SKIPIF1<0上的图象如图所示，若SKIPIF1<0，则下列结论正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0【答案】BD【解析】【分析】A：设SKIPIF1<0，由图得SKIPIF1<0，所以该选项错误；B:根据图象和导数的几何意义得SKIPIF1<0，所以该选项正确；C:设SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以该选项错误；D:结合图象和导数的几何意义可以判断该选项正确.【详解】解：A：设SKIPIF1<0，由图得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，所以该选项错误；B:由图得图象上点的切线的斜率越来越小，根据导数的几何意义得SKIPIF1<0，所以该选项正确；C:设SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，所以该选项错误；D:SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0两点之间的斜率，SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0处切线的斜率，由于SKIPIF1<0，所以可以平移直线SKIPIF1<0使之和曲线相切，切点就是点SKIPIF1<0,所以该选项正确.故选：BD2．（2022·重庆·三模）已知抛物线SKIPIF1<0的焦点为F，SKIPIF1<0为C上一点，SKIPIF1<0.过C的准线上一点P，作C的两条切线SKIPIF1<0，其中A､B为切点.则下列判断正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．抛物线C的准线方程为SKIPIF1<0C．以线段SKIPIF1<0为直径的圆与C的准线相切 D．直线SKIPIF1<0恒过焦点F【答案】ACD【解析】【分析】由SKIPIF1<0，利用抛物线的定义求解判断A；由SKIPIF1<0，利用抛物线的定义求解判断B；利用导数求得切线PA，PB的方程，从而得到AB的直线方程求解判断CD.【详解】如图所示：因为SKIPIF1<0为C上一点，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，A正确；抛物线方程为SKIPIF1<0，其准线方程为SKIPIF1<0，B不正确；由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则直线PA的方程为SKIPIF1<0，由点A在直线上，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则直线PB的方程为SKIPIF1<0，由点B在直线上，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以直线AB的方程为SKIPIF1<0，所以直线AB过定点SKIPIF1<0，C正确；设线段AB的中点为C，由图象和抛物线定义知：SKIPIF1<0，所以以线段AB为直径的圆与抛物线C的准线相切，D正确.故选：ACD题型二：导数的运算一、单选题1．（2022·陕西咸阳·二模（文））下列导数运算正确的是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】【分析】利用基本初等函数求导公式及导数的四则运算法则进行计算.【详解】SKIPIF1<0，A错误；SKIPIF1<0，B错误；SKIPIF1<0，C错误，SKIPIF1<0，D正确.故选：D2．（2022·云南昆明·一模（文））已知直线SKIPIF1<0与曲线SKIPIF1<0相切，则SKIPIF1<0的值为（

）A．2 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】【分析】设切点为SKIPIF1<0，根据导数的几何意义可得SKIPIF1<0，再利用切点也在SKIPIF1<0上，即可求解.【详解】设切点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0又SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故选：D3．（2022·广西·贵港市高级中学三模（理））已知曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线方程为SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【答案】C【解析】【分析】求出函数的导函数，依题意可得SKIPIF1<0，即可求出SKIPIF1<0，再将切点代入切线方程，即可求出SKIPIF1<0；【详解】解：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．将SKIPIF1<0代入SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．故选：C．4．（2022·四川·乐山市教育科学研究所三模（理））已知函数SKIPIF1<0，曲线SKIPIF1<0以点SKIPIF1<0为切点的切线方程是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】【分析】求得SKIPIF1<0的导数，利用导数的几何意义，代入SKIPIF1<0可得切线的斜率，求得SKIPIF1<0，由直线的点斜式方程可得切线的方程．【详解】∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴曲线SKIPIF1<0以点SKIPIF1<0为切点的切线方程是SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故选：D.5．（2022·山西太原·二模（理））已知函数SKIPIF1<0图象上存在两条互相垂直的切线，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的最大值为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】【分析】根据已知条件用换元法令SKIPIF1<0，利用导数及三角函数的差的正弦公式即可得出导函数的范围，根据已知条件得出SKIPIF1<0，再利用辅助角公式及三角函数的性质即可求解.【详解】由SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0由题意可知，存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，只需要SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0的最大值为SKIPIF1<0.故选:D.【点睛】解决此题的关键是用换元思想，再利用存在两条互想垂直的直线进而得出SKIPIF1<0，再利用三角函数的性质即可求解.6．（2022·江西萍乡·二模（理））若函数SKIPIF1<0的图象在SKIPIF1<0处的切线斜率为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】【分析】求f(x)导数，由题可知SKIPIF1<0即可求a的取值．【详解】∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，若函数SKIPIF1<0的图象在SKIPIF1<0处的切线斜率为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．故选：A．7．（2022·安徽黄山·二模（理））已知函数SKIPIF1<0，则曲线SKIPIF1<0在点SKIPIF1<0处的切线方程为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】【分析】先对函数求导，然后令SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0，从而可求出SKIPIF1<0的解析式，再利用导数的几何意义求切线方程【详解】由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以所求切线方程为SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故选：A8．（2022·新疆·一模（理））若函数SKIPIF1<0的导函数是奇函数，则SKIPIF1<0的解析式可以是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】【分析】分别对四个选项中的函数求导，再利用函数奇偶性的定义判断即可得正确选项.【详解】对于A：由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0定义域为SKIPIF1<0关于原点对称，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是偶函数，故选项A不正确；对于B：由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，定义域为SKIPIF1<0关于原点对称，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0既不是奇函数也不是偶函数，故选项B不正确；对于C：由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0是奇函数，故选项C正确；对于D：由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，定义域为SKIPIF1<0不关于原点对称，SKIPIF1<0既不是奇函数也不是偶函数，故选项D不正确；故选：C.9．（2022·江西鹰潭·一模（理））已知函数SKIPIF1<0的导函数为SKIPIF1<0，对任意的实数SKIPIF1<0都有SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有极值点，则实数SKIPIF1<0的取值范围是（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】【分析】令SKIPIF1<0，结合已知易得SKIPIF1<0，即可写出SKIPIF1<0，进而得到SKIPIF1<0，再由SKIPIF1<0、SKIPIF1<0确定SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0的含参数SKIPIF1<0的解析式，根据题设有SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有零点，进而求SKIPIF1<0的范围.【详解】令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有极值点，∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有零点，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.故选：C【点睛】关键点点睛：构造SKIPIF1<0，结合已知求出SKIPIF1<0的解析式并写出SKIPIF1<0，根据极值点的区间，将问题转化为一元二次函数在区间上零点求参数范围.10．（2022·陕西渭南·二模（理））设函数SKIPIF1<0的定义域为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是函数SKIPIF1<0