2024届北京市海淀区知春里中学高一数学第一学期期末联考试题含解析

2024届北京市海淀区知春里中学高一数学第一学期期末联考试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）1．若，则的最小值为（）A. B.C. D.2．设集合，若，则a的取值范围是（）A. B.C. D.3．已知，，，则，，的大小关系是（）A. B.C. D.4．已知函数（）的部分图象如图所示，则的值分别为A. B.C. D.5．函数y=8x2-（m-1）x+m-7在区间（-∞，-]上单调递减，则m的取值范围为（）A. B.C. D.6．已知一组数据为20，30，40，50，50，50，70，80，其平均数、第60百分位数和众数的大小关系是（）A.平均数＝第60百分位数＞众数 B.平均数＜第60百分位数＝众数C.第60百分位数＝众数＜平均数 D.平均数＝第60百分位数＝众数7．设函数，若，则的取值范围为A. B.C. D.8．全集U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{x|x≤4}，则M等于（）A.{1，3} B.{5，6}C.{1，5} D.{4，5}9．已知集合，且，则的值可能为（）A. B.C.0 D.110．中国宋代的数学家秦九韶曾提出“三斜求积术”，即假设在平面内有一个三角形，边长分别为，，，三角形的面积可由公式求得，其中为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为（）A.6 B.C.12 D.11．集合A={x∈N|1≤x<4}的真子集的个数是（）A.16 B.8C.7 D.412．设，，，则a，b，c的大小关系是（）A. B.C. D.二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）13．已知，则___________14．已知函数（且），若对，，都有．则实数a的取值范围是___________15．已知水平放置的按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中，，则原的面积为___________16．若向量，，且，则_____三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）17．已知函数（1）求的最大值，并写出取得最大值时自变量的集合；（2）把曲线向左平移个单位长度，然后使曲线上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，求在上的单调递增区间.18．已知函数f(x)=（1）求f(x)的最小正周期；（2）当x∈[-π6,19．已知函数，满足，其一个零点为（1）当时，解关于x的不等式；（2）设，若对于任意的实数，，都有，求M的最小值20．在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知两点、在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上．若，（）求向量，夹角的正切值（）问点在什么位置时，向量，夹角最大？21．已知函数（1）求函数的最小正周期及函数的单调递增区间；（2）求函数在上的值域22．已知1与2是三次函数的两个零点.（1）求的值；（2）求不等式的解集.

参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确答案涂在答题卡上.）1、B【解析】由，根据基本不等式，即可求出结果.【详解】因为，所以，，因此，当且仅当，即时，等号成立.故选：B.2、D【解析】根据，由集合A，B有公共元素求解.【详解】集合，因为，所以集合A，B有公共元素，所以故选：D3、B【解析】分别求出的范围，然后再比较的大小.【详解】，，，，，，并且，，综上可知故选：B【点睛】本题考查指对数和三角函数比较大小，意在考查转化与化归的思想和基础知识，属于基础题型.4、B【解析】由条件知道：均是函数的对称中心，故这两个值应该是原式子分母的根，故得到，由图像知道周期是，故，故，再根据三角函数的对称中心得到，故如果，根据，得到故答案为B点睛：根据函数的图像求解析式，一般要考虑的是图像中的特殊点，代入原式子；再就是一些常见的规律，分式型的图像一般是有渐近线的，且渐近线是分母没有意义的点；还有常用的是函数的极限值等等方法5、A【解析】求出函数的对称轴，得到关于m的不等式，解出即可【详解】函数的对称轴是,若函数在区间上单调递减，则，解得：m≥0，故选A【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键6、B【解析】从数据为20，30，40，50，50，50，70，80中计算出平均数、第60百分位数和众数，进行比较即可.【详解】解：平均数为，，第5个数50即为第60百分位数.又众数为50，它们的大小关系是平均数第60百分位数众数.故选：B.7、A【解析】根据对数函数的性质单调递增，，列出不等式，解出即可.【详解】∵函数在定义域内单调递增，，∴不等式等价于，解得，故选A.【点睛】本题主要考查了对数不等式的解法，在解题过程中要始终注意函数的定义域，也是易错点，属于中档题.8、B【解析】M即集合U中满足大于4的元素组成的集合.【详解】由全集U＝{1，2，3，4，5，6}，M＝{x|x≤4}则M={5，6}.故选：B【点睛】本题考查求集合的补集，属于基础题.9、C【解析】化简集合得范围，结合判断四个选项即可【详解】集合，四个选项中，只有，故选：C【点睛】本题考查元素与集合的关系，属于基础题10、B【解析】根据海伦秦九韶公式和基本不等式直接计算即可.【详解】由题意得：，，当且仅当，即时取等号，故选：B11、C【解析】先用列举法写出集合A，再写出其真子集即可.【详解】解：∵A={x∈N|1≤x<4}={1,2,3}，∴A={x∈N|1≤x<4}真子集为：∅,1,故选：C12、C【解析】先判断，再判断得到答案.【详解】；；；，即故选：【点睛】本题考查了函数值的大小比较，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分,将答案写在答题卡上.）13、2【解析】将齐次式弦化切即可求解.【详解】解：因为，所以，故答案为：2.14、【解析】由条件可知函数是增函数，可得分段函数两段都是增函数，且时，满足，由不等式组求解即可.【详解】因为对，且都有成立，所以函数在上单调递增.所以，解得.故答案为：15、2【解析】∵∠B'A'C'=90°,B'O'=C'O'=1，.∴A'O'=1，∴原△ABC的高为2，△ABC面积为.点睛：由斜二测画法知，设直观图的面积为，原图形面积为，则16、6【解析】本题首先可通过题意得出向量以及向量的坐标表示和向量与向量之间的关系，然后通过向量平行的相关性质即可得出结果。【详解】因为，，且，所以，解得。【点睛】本题考查向量的相关性质，主要考查向量平行的相关性质，若向量，，，则有，锻炼了学生对于向量公式的使用，是简单题。三、解答题（本大题共6个小题，共70分。解答时要求写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。）17、（1）的最大值，（2）【解析】（1）根据的范围可得的范围，可得的最大值及取得最大值时自变量的集合；（2）由图象平移规律可得，结合的范围和正弦曲线的单调性可得答案.【小问1详解】因为，所以，所以，当即时的最大值，所以取得最大值时自变量的集合是.【小问2详解】因为把曲线向左平移个单位长度，然后使曲线上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，所以.因为，所以.因为正弦曲线在上的单调递增区间是，所以，所以.所以在上的单调递增区间是.18、（1）π（2）x∈-π6,π3时，f(x)【解析】（1）对f(x)化简后得到fx=sin2x-π6【小问1详解】f(x)=所以f(x)的最小正周期为2【小问2详解】当x∈-π故当-π2⩽2x-π6当π2⩽2x-π6⩽当2x-π6∈所以-32⩽f(x)⩽119、（1）答案见解析（2）242【解析】（1）根据条件求出，再分类讨论解不等式即可；（2）将问题转化为，再通过换无求最值即可.【小问1详解】因为，则，得又其一个零点为，则，得，则函数的解析式为则，即当时，解得：当时，①时，解集为R②时，解得：或，③时，解得：或，综上，当时，不等式的解集为；当时，解集为R；当时，不等式的解集为或；当时，不等式的解集为或.【小问2详解】对于任意的，，都有，即令，则因，则，可得，则，即，即M的最小值为24220、（1）见解析；（2）见解析.【解析】分析：（）设向量与轴的正半轴所成的角分别为，则向量所成的夹角为，由两角差的正切公式可得向量夹角的正切值为；（）由（1）知，利用基本不等式即可的结果.详解：（1）由题意知，A的坐标为A（0，6），B的坐标为B（0，4），C（x，0），x＞0设向量，与x轴的正半轴所成的角分别为α，β，则向量，所成的夹角为|β﹣α|=|α﹣β|，由三角函数的定义知：tanα=，tanβ=，由公式tan（α﹣β）=，得向量，的夹角的正切值等于tan（α﹣β）==，故所求向量，夹角的正切值为tan（α﹣β）=；（2）由（1）知tan（α﹣β）==≤=，所以tan（α﹣β）的最大值为时，夹角|α﹣β|的值也最大，当x=时，取得最大值成立，解得x=2，故点C在x的正半轴，距离原点为2，即点C的坐标为C（2，0）时，向量，夹角最大点睛：本题主要考查利用平面向量的夹角、两角差的正切公式以及基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.21、（1）最小正周期为；单调递增区间为；（2）【解析】（1）利用二倍角和辅助角公式化简得到，由解析式可确定最小正周期；令，解不等式可求得单调递增区间；（