(适用辅导班)2023-2024年高二数学寒假讲义（基础班）2.6《函数的图象及其应用》( 原卷版)

页第六节函数的图象及其应用核心素养立意下的命题导向1.给出函数解析式作出或辨析函数图象，凸显直观想象、数据分析和数学建模的核心素养．2．利用函数图象解决函数零点、不等式、求参数范围等问题，凸显直观想象、逻辑推理的核心素养．[理清主干知识]利用图象变换法作函数的图象(1)平移变换y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(a>0，右移a个单位),\s\do5(a<0，左移|a|个单位))y＝f(x﹣a)；y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(b>0，上移b个单位),\s\do5(b<0，下移|b|个单位))y＝f(x)＋b.(2)伸缩变换y＝f(x)eq\o(→,\s\up9(0<ω<1，纵坐标不变，横坐标伸长为原来的\f(1,ω)倍,ω>1，纵坐标不变，横坐标缩短为原来的\f(1,ω)倍))y＝f(ωx)；y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(A>1，横坐标不变，纵坐标伸长为原来的A倍),\s\do5(0<A<1，横坐标不变，纵坐标缩短为原来的A倍))y＝Af(x)．(3)对称变换y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(关于x轴对称),\s\do5())y＝﹣f(x)；y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(关于y轴对称),\s\do5())y＝f(﹣x)；y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(关于原点对称),\s\do5())y＝﹣f(﹣x)．(4)翻折变换y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(去掉y轴左边图，保留y轴右边图),\s\do5(将y轴右边的图象翻折到左边去))y＝f(|x|)；y＝f(x)eq\o(→,\s\up7(保留x轴上方图),\s\do5(将x轴下方的图象翻折到上方去))y＝|f(x)|.[澄清盲点误点]一、关键点练明1．函数y＝21﹣x的大致图象为()2．将函数f(x)的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，得到y＝log2x的图象，则f(x)＝________.3．若函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(ax＋b，x<－1，,lnx＋a，x≥－1))的图象如图所示，则f(﹣3)＝________.4．若关于x的方程|x|＝a﹣x只有一个解，则实数a的取值范围是________．答案：(0，＋∞)二、易错点练清1．将函数f(x)＝(2x＋1)2的图象向左平移一个单位后，得到的图象的函数解析式为________．2．把函数f(x)＝lnx的图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍，得到的图象的函数解析式是________．考点一函数图象的画法[典例]分别作出下列函数的图象：(1)y＝|lgx|；(2)y＝2x＋2；(3)y＝x2﹣2|x|﹣1.[方法技巧]函数图象的画法[针对训练]作出下列函数的图象：(1)y＝(eq\f(1,2))|x|；(2)y＝log2|x＋1|；(3)y＝eq\f(2x－1,x－1).考点二函数图象的识别[典例](1)函数y＝xcosx＋sinx在区间[﹣π，π]上的图象可能是()(2)如图，在△OAB中，A(4,0)，B(2,4)，过点P(a,0)且平行于OB的直线l与线段AB交于点Q，记四边形OPQB的面积为y＝S(a)，则函数y＝S(a)的大致图象为()[方法技巧]有关函数图象识别问题的解题思路(1)由解析式确定函数图象①由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．(2)由实际情景探究函数图象关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题．[针对训练]1．=函数y＝eq\f(4x,x2＋1)的图象大致为()2．函数f(x)＝eq\f(3x－3－x,x4)的大致图象为()考点三函数图象的应用问题考法(一)利用函数图象研究函数的性质[例1]已知函数f(x)＝x|x|﹣2x，则下列结论正确的是()A．f(x)是偶函数，递增区间是(0，＋∞)B．f(x)是偶函数，递减区间是(﹣∞，1)C．f(x)是奇函数，递减区间是(﹣1,1)D．f(x)是奇函数，递增区间是(﹣∞，0)[方法技巧]对于已知解析式或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质常借助图象研究：(1)从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；(2)从图象的对称性，分析函数的奇偶性；(3)从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性．考法(二)利用函数图象求解不等式[例2]函数f(x)是定义在[﹣4,4]上的偶函数，其在[0,4]上的图象如图所示，那么不等式eq\f(fx,cosx)<0的解集为________．[方法技巧]利用函数图象求解不等式的思路当不等式问题不能用代数法求解，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为两函数图象的上、下关系问题，从而利用数形结合思想求解．考法(三)利用图象解决方程根的问题[例3]已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋2x，－2≤x≤0，,fx－1＋1，0<x≤2，))则关于x的方程x﹣f(x)＝0在[﹣2，2]上的根的个数为()A．3B．4C．5D．6[方法技巧]利用函数的图象解决方程根问题的思路当方程与基本函数有关时，可以通过函数图象来研究方程的根，方程f(x)＝0的根就是函数f(x)图象与x轴交点的横坐标，方程f(x)＝g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象交点的横坐标．[针对训练]1．已知定义在R上的函数f(x)，g(x)满足g(x)＝f(|x﹣1|)，则函数y＝g(x)的图象关于()A．直线x＝﹣1对称B．直线x＝1对称C．原点对称D．y轴对称2．(多选)对任意两个实数a，b，定义min{a，b}＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a，a≤b，,b，a＞b.))若f(x)＝2﹣x2，g(x)＝x2，下列关于函数F(x)＝min{f(x)，g(x)}的说法正确的是()A．函数F(x)是偶函数B．方程F(x)＝0有三个解C．函数F(x)在区间[﹣1,1]内单调递增D．函数F(x)有4个单调区间3．如图所示，函数y＝f(x)的图象是圆x2＋y2＝2上的两段弧，则不等式f(x)>f(﹣x)﹣2x的解集是________．创新思维角度——融会贯通学妙法识图与辨图的常见方法方法(一)特殊点法[例1]函数f(x)＝x2﹣(eq\f(1,2))x的大致图象是()[名师微点]使用特殊点法排除一些不符合要求的错误选项，主要注意两点：一是选取的点要具备特殊性和代表性，能排除一些选项；二是可能要选取多个特殊点进行排除才能得到正确答案．方法(二)性质检验法[例2]函数f(x)＝eq\f(xe－x－ex,4x2－1)的图象大致是()[名师微点]利用性质识别函数图象是辨图中的主要方法，采用的性质主要是定义域、值域、函数的奇偶性、函数局部的单调性等．当然，对于一些更为复杂的函数图象的判断，还可能同特殊点法结合起来使用．方法(三)图象变换法[例3]已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x，x≤1，,logx，x>1，))则函数y＝f(1﹣x)的大致图象是图中的()[名师微点]通过图象变换识别函数图象要掌握两点，一是熟悉基本初等函数的图象(如指数函数、对数函数等图象)，二是确定一些变形形式，如平移变换、翻折变换等．eq\a\vs4\al([课时跟踪检测])一、综合练——练思维敏锐度1．函数f(x)＝eq\f(x2－1,e|x|)的图象大致为()2．若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝﹣f(x＋1)的图象大致为()3．(多选)函数f(x)＝eq\f(x,x2＋a)的图象可能是()4.如图所示的函数图象对应的函数可能是()A．y＝2x﹣x2﹣1B．y＝eq\f(2xsinx,4x＋1)C．y＝(x2﹣2x)exD．y＝eq\f(x,lnx)5．函数f(x)＝eq\f(xln|x－1|,|x|)的图象是()6．下列函数中，其图象与函数y＝lnx的图象关于直线x＝1对称的是()A．y＝ln(1﹣x)B．y＝ln(2﹣x)C．y＝ln(1＋x)D．y＝ln(2＋x)7．已知函数f(x)＝|x2﹣1|，若0<a<b且f(a)＝f(b)，则b的取值范围是()A．(0，＋∞)B．(1，＋∞)C．(1，eq\r(2))D．(1,2)8．(多选)小菲在学校选修课中了解到艾宾浩斯遗忘曲线，为了解自己记忆一组单词的情况，记录了随后一个月的有关数据，绘制成图象(如图)，拟合了记忆保持量f(x)与时间x(天)之间的函数关系f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(7,20)x＋1，0<x≤1，,\f(1,5)＋\f(9,20)x－\f(1,2)，1<x≤30.))某同学根据小菲拟合后的信息得到以下结论，正确的有()A．随着时间的增加，小菲的单词记忆保持量降低B．9天后，小菲的单词记忆保持量低于40%C．26天后，小菲的单词记忆保持量不足20%D．30天后，小菲的单词记忆保持量高于20%9.如图所示，定义在[﹣1，＋∞)上的函数f(x)的图象由一条线段及抛物线的一部分组成，则f(x)的解析式为________________________．10．已知函数f(x)＝|x﹣2|＋1，g(x)＝kx.若方程f(x)＝g(x)有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是________．11．作出下列函数的图象．(1)y＝elnx；(2)y＝|x﹣2|·(x＋1)．12．已知函数f(x)＝2x，x∈R.(1)当m取何值时方程|f(x)﹣2|＝m有一个解？(2)若不等式[f(x)]2＋f(x)﹣m>0在R上恒成立，求m的取值范围．二、自选练——练高考区分度1.函数f(x)＝eq\f(ax＋b,x＋c2)的图象如图所示，则下列结论成立的是()A．a>0，b>0，c<0B．a<0，b>0，c>0C．a<0，b>0，c<0D．a<0，b<0，c<02.如图所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝8cm，点P以1cm/s的速度沿A→B→C的路径向C移动，点Q以2cm/s的速度沿B→C→A的路径向A移动，当点Q到达A点时，P，Q两点同时停止移动．记△PCQ的面积关于移动时间t的函数为S＝f(t)，则f(t)的图象大致为()3．已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1