椭圆的简单几何性质第一课时高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

3.1.2椭圆的简单几何性质（1）焦点在x轴上焦点在y轴上椭圆的定义标准方程焦点坐标轨迹a,b,c的关系复习：椭圆的定义及标准方程x2，y2的分母哪个大，焦点就在哪个轴上平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点P的轨迹，即|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|)与利用直线的方程、圆的方程研究它们的几何性质一样，我们利用椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质，包括椭圆的范围、形状、大小、对称性和特殊点等.下面，我们用椭圆方程来研究椭圆的几何性质.探究1：椭圆的几何性质xy(以焦点在x轴上的椭圆为例)01范围02对称性03形状用椭圆的方程研究它的性质xy椭圆位于直线x=±a和y=±b围成的矩形框内.范围：（几何直观）（代数方法）对称性：关于x轴、y轴、原点对称坐标轴是椭圆的对称轴原点是椭圆的对称中心,叫做椭圆的中心（几何直观）（代数方法）顶点：椭圆与对称轴(x轴,y轴)的交点长轴:线段A1A2长轴长:|A1A2|=2a

长半轴长:a短轴:线段B1B2短轴长:|B1B2|=2b

短半轴长:b

焦距:|F1F2|=2c半焦距:c四点法画椭圆xy图3.1-10xyO椭圆的离心率：动画演示思考观察图形，我们发现，不同椭圆的扁平程度不同.扁平程度是椭圆的重要形状特征，你能用适当的量定量刻画椭圆的扁平程度吗?如右图示，椭圆的长半轴长为a,半焦距为c.通过几何画板演示发现,保持长半轴长a不变,改变椭圆的半焦距c,可以发现,c越接近a,椭圆越扁平.类似地,保持c不变,改变a的大小,则a越接近c,椭圆越扁平;而当a,c扩大或缩小相同倍数时,椭圆的形状不变.这样,利用c和a这两个量,可以刻画椭圆的扁平程度.离心率就是刻画椭圆的扁平程度的量.2.性质：椭圆的离心率：1.定义:我们把椭圆的焦距与长轴长的比称为椭圆的离心率,用e表

示,即(1)离心率的取值范围：0<e<1.①e

越大，c

就越接近a，从而b就越小，椭圆就越扁；②e

越小，c就越接近0，从而b就越大，椭圆就越圆；③特例：e=0，则c=0，则a=b，两个焦点重合，椭圆变成圆；④e相等，椭圆的扁平程度相同，但大小不一定相等.(2)离心率对椭圆形状的影响：

问题4:你能运用三角函数的知识解释为什么e越大，椭圆越扁平?e越小，椭圆越接近于圆吗?思考

那么e与a，b的关系是什么？椭圆的离心率知椭圆方程时可用此式求ee=0(c=0):轨迹为圆Oe=1(c=a):轨迹为线段F1F2e→1，c→a，b→0，椭圆越扁；能刻画两个焦点离开中心的程度，蕴含着圆锥曲线几何特征的同一性.(0<c<a)边化角教材习题5.比较下列每组中椭圆的形状，哪一

个更接近于圆?为什么?教材习题5.比较下列每组中椭圆的形状，哪一

个更接近于圆?为什么?例1

求椭圆16x2+25y2=400的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标.解：

变式求椭圆9x2＋16y2＝144的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标．1.你能用圆规作出图中椭圆焦点的位置吗?你的依据是什么?OxyA1A2B1B2F2F1••先定位(焦点),再定量(a、b)A3.求适合下列条件的椭圆的标准方程:4.求适合下列条件的椭圆的标准方程:先定位(焦点),再定量(a、b)1.定义法(含焦点三角形)Axoy

（2）已知椭圆的焦距不小于短轴长，则椭圆离心率的取值范围为_

______.

例4已知椭圆的左焦点为是两个顶点,如果F1到直线AB的距离为,求椭圆的离心率e.解1：xF1F2MOyAB••解2：xF1F2MOyAB••椭圆的最大张角