2023届高考文科数学模拟预热卷 全国卷(含答案)

2023届高考文科数学模拟预热卷全国卷

学校：姓名：班级：考号：

一、选择题

1、已知U=R,集合A={x[2<x<4},B={x|(x-5)(x-3)>0},则A献)=()

A.{x|2<x<5}B.{x|2<x<3}

C.{x|xN5或xv4}D.{x|3<x<4}

2、已知复数z满足3+iz=2z—i,则|z|=()

A.lB.及C.6D.2

22

3、椭圆二+与=l(a>b>0)的上、下顶点分别为B、,右焦点为尸，若△48,F为等边三角

a'b"

形，则椭圆的离心率为()

4、为了提高学习兴趣，某数学老师把《九章算术》与《孙子算经》这两本数学著作推荐给学生进

行课外阅读，若该班甲、乙两名同学每人至少阅读其中的一本，则每本书都被同学阅读的概率为

5、已知等差数列{4}的前〃项和为S“，且%+4=T0，，则、0=()

A.6B.10C.12D.20

6、若cosj四一a]=3,则sin2a=()

7117

一

一5-5-

2525

7、由于某地人们健康水平的不断提高，某种疾病的患病率正以每年20%的比例降低.若要求患病率

低于当前患病率的;，则至少需要经过时间.(参考数据：1g2=0.3,lg3»0.48)()

A.4年B.5年C.6年D.7年

8、如图，在直三棱柱ABC-A4G中，。是Ag与AB的交点，。是AC的中点，

A4,=A5=2AC=4,AB±AC,给出下列结论.

①AB与BQ是相交直线；

②。。〃平面AgG；

③平面A。。//平面BB©C；

④AOJ_平面,

其中正确的结论是（）

A.①②B.③④C.②③D.②④

9、在V43C中，角A,B,C的对边分别为a,A,c,且gc=6cosA+（a-c）cos8,62-a2-c?=Y，则

V/U5C的面积为（）

A.&B.—C.2D忑

2

10、已知双曲线犬-丫2=/他＞0）的左、右焦点分别为耳,鸟，过点心作斜率为6的直线交双曲

线的右支于48两点，则AAAB的内切圆半径为（）

A.巴B上

26

「瓜口瓜

C.——D.——a

36

11、甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2兀，侧面积分别为S甲

和S乙，体积分别为%和勿.若含=2,则白=（）

S乙Y乙

A.75B.2忘C.VlOD.独^

4

12、已知函数/（幻=（£一侬一加上+2加（加＞-2,e是自然对数的底数）有极小值0,则其极大

值是（）

A.4e-2或（4+In2）e-2+21n2B.4e-2或（4+In2）e2+21n2

C.4e-2或（4+In2）e'2-21n2D.4e2或（4+In2）e2-21n2

二、填空题

13、已知向量a=(l,2),Z>=(3,附，且a_L(2a-b),则|“一2切=.

14、已知函数/(x)为定义在R上的偶函数，且当xNO时，f(x)=x+2e‘，则函数/(x)在x=-1处

的切线斜率为.

15、已知直线/经过点M(2,4)且与圆(x-l)2+(y-3)2=10相交于A,B两点，若|A例=6,则直线/

的方程为.

16、对于函数/(x)=cos(xr-]),下列结论中正确的有.(填序号)

①/(x)的图象是由g(x)=cos7tr的图象向右平移g个单位而得到的；

②f(x)的图象过点L-亭j;

\/

③F(x)的图象关于点(Q)对称；

④f(x)的图象关于直线x=-|对称.

三、解答题

A+C

17、418。的内角A,B,C的对边分别为“，h,c,已知“sin-----=AsinA.

2

⑴求B.

(2)若△ABC为锐角三角形，且c=l,求43。面积的取值范围.

18、已知在四棱锥S-/1BCD中,S4_L底面"CD,且NADC=30。，AC_L

CD,E,E分别为SO,SC的中点.

⑴求证:平面平面SAC',

(II)若AD=2必=2,求三棱锥C-的体积.

19、2021年5月22日10时40分，“祝融号”火星车己安全驶离着陆平台，到达火星

表面，开始巡视探测.为了增强学生的科技意识，某学校进行了一次专题讲座，讲座结

束后，进行了一次专题测试(满分：100分)，其中理科学生有600名学生参与测试，其

得分都在［50,100］内，得分情况绘制成频率分布直方图如下，在区间［70,80),160,70),［80,90)

的频率依次构成等差数列.

若规定得分不低于80分者为优秀，文科生有400名学生参与测试，其中得分优秀的学

生有50名.

⑴若以每组数据的中间值代替本组数据，求理科学生得分的平均值；

(2)请根据所给数据完成下面的列联表，并说明是否有99.9%以上的把握认为，得分是

否优秀与文理科有关？

优秀不优秀合计

理科生

文科生

合计1000

附：犬=(〃++」)，其中〃j+b+c+小

而北)0.0500.0100.001

k。3.8416.63510.828

20、已知产为抛物线丁=2px(p>0)的焦点，过尸且倾斜角为45。的直线交抛物线于A,8两点，

\AB|=8.

(1)求抛物线的方程；

(2)已知P(/,-l)为抛物线上一点，M,N为抛物线上异于P的两点，且满足心,“・％出=-2,试

探究直线是否过一定点？若是，求出此定点；若不是，说明理由.

21、已知函数f(x)=《色二2(其中e为自然对数的底数,aeR).

e<a

(1)当。=1时，求曲线y=/(x)在点(2J(2))处的切线方程；

⑵若a>0,方程/(x+l)-a=0有两个不同的实数根%,々,求证：X；>2e.

22、在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为F=fc°sa(夕为参数).以坐标原点为

y=V3sin«

极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程为Qcose-°sine+l=0.

(I)求曲线C的普通方程和直线/的直角坐标方程；

(H)直线/与曲线C相交于不同的两点A,B,直线/与)，轴交于点求的值.

23、设函数f(x)=|x-5a|-|x-a|.

⑴当a=1时，求不等式/(x)<2的解集；

(II)若存在xeR，使f(x)>8成立,求实数a的取值范围.

参考答案

1、答案：D

解析：由(x—5)(x—3)N0得xN5或xK3,则8={x|x»5或x<3},故

={x[3<x<5},

故A@3)={x[3<x<4}.故选D.

2、答案：B

解析:解法一：由已知得(2—i)z=3+i,.•.|2-i||z|=|3+i|,即有|z|=J16,二|2|=四.

解法二：由已知得(2-i)z=3+i,1二言(3+i)(2+i)5+5Z

(2-i)(2+i)=^-

zi=Jr+/=-JT,.

3、答案：C

22

解析：椭圆,+£=1(。>〃>0)的上、下顶点坐标分别为用(0,3，B2(0-b),右焦点坐标为

F(c?,0)>△用鸟尸为等边三角形，/.c=c?=SA?=3/—3c?,解得/=:，即禺心率

e=B,故选C.

2

4、答案：D

解析：记这两本书分别为A,B,则甲、乙阅读这两本图书的所有可能情况有

(AA),(B,g),(AB),(B,A),(AB,A),(AB,B),(AA8),(8,AB),(AB,AB)共9种不同的情况,其中两本书

都有同学阅读的情况有7种，故所求概率P=N,故选D.

9

5、答案：B

解析：由题意，设数列公差为d,因为4+4=24+6d=-10,56+15J=-42,

解得q=-17,4=4,所以S10=10q+45d=770+45x4=10.

故选：B.

6、答案：D

解析：本题考查诱导公式及二倍角的余弦公式的应用.cos(:-&)=|,

•3/九八、A、入2,兀、，入9.7

sin2a—cos(2a)—cos21ex,—2cos-CL—1—2x---1=----.

2(4J(4J2525

7、答案：B

解析：假设至少需要经过的时间为x(单位：年)，由题意得两边同时取以［为底的对数

得log/。］>log41,X>log41.

因为log4，=-二也3—=--------------------=^2_=4.8,所以x>4.8,即x=5.故选B.

53lg4-lg521g2-(l-lg2)31g2-l

8、答案：D

解析：本题考查空间线面间的位置关系.对于①，在直三棱柱ABC-AqG中，根据异

面直线的定义知A8与与G是异面直线，所以①错误；对于②，AC的中点为。，且。

是A4与的交点，所以。是A1的中点，连接0。，则O£>〃B©,因为耳Gu平面

A4C，仁平面A4G，所以平面A4G，所以②正确；对于③，因为AO

平面囱5℃=瓦，所以平面A0。与平面相交，所以③错误；对于④，因为在

直三棱柱ABC-AB|G中，A\=AB,所以四边形ABB八是正方形，■1•平面

ABB.A,,因为=A，所以AO_L平面A^G，所以④正确，故选D.

9、答案：B

解析：Q-c=i>cosA+(a-c)cosjB,—^―=—^―=

3sinAsinB

c1

----sinC=sinBcos4+(sinA-sin。cosB,

sinC3

r.gsinC=sin(A+B)-sinCcosB,又C=兀一(A+B),gsinC=sinC-sinCcosB.又

22222

sinC*0,;.cosB=2,;.sin3=^.由余弦定理得=a+c-laccosBa+c-b=2accos3.又

33

212

b-a-c=Y,;.4=2acxg,;.ac=3SV4BC=gacsin8=gx3x。=当.故选B.

10、答案:C

解析：解法一：不妨设A在第一象限，4(4,乂)，

过点A作AM轴于点

易知月(、历a,0),则

22

=6(-&“)应°)+x,-a=2xf-+O=^J2x}-aj,

所以|AE|=0X|-

易知ZAF2M=60°,贝11AF2\COS600=\F2M\=xt-,

即%=g|AE|+JL,代入（*）式得=用+&■1-4,

得|AE|=（2+&）4,同理忸周=（2-0）a,则黑卯=g|百印」A例sin60。=2病2,

故△A耳8的内切圆半径r满足；（忻A|+1耳回+1A3|）r=S^A,.H,

又忻川+忻8|=|A8|+4“=8a,

解法二：由题意得招（缶,0）,则直线A8的方程为丫=石（x-@）,

代入双曲线方程，得2f-60or+la2=0,

7

设/4（3,乂）,3（犬2，）'2），贝I」X1+马=3应。，%赴=—a2,

则|AB\=J1+（后•Ja+々）2-4g=2J（3伍）2-4x1a2=4a,

则耳周I48网1160。=2扁2,故的内切圆半径r满足

；（旧A|+|K8|+|A8|）r=5,

△MB

又田川+闺叫=|A81+4〃=8a,所以gxl2axr=2#/,得八='^々.

11、答案：c

解析：解法一：因为甲、乙两个圆锥的母线长相等，所以结合萨=2可知，甲、乙两

个圆锥侧面展开图的圆心角之比是2:1.不妨设两个圆锥的母线长为/=3,甲、乙两个

圆锥的底面半径分别为口弓，高分别为4,h2,则由题意知，两个圆锥的侧面展开

图刚好可以拼成一个周长为6无的圆，所以2叫=4兀，2出=2兀，得4=2,弓=1.由勾

股定理得，%=J/?-展=石，州=J/?一>=2及,所以及-----=&g=Ji6.故

V乙加42点

选C.

解法二：设两圆锥的母线长为/,甲、乙两圆锥的底面半径分别为个与，高分别为

兀尸

%,%,侧面展开图的圆心角分别为4,〃,，则由业=2眩=鼻=2,得

__S乙队/%兀尸

2K

二=丛=2.由题意知勺+%=2兀，所以勺=色，所以2%=色/,

r2n2333

2jir2-,得｛=：/,&二;/.由勾股定理得，%=J/?-1=-^Z,

I_[TiF_2^?.所以地=兽1=华

~~r2=加.故选c.

吃]r池2a

12、答案:A

解析：由题意知,/'(x)=[x?+(2-机)x-2〃?]e*=(x+2)(x-〃z)e*.由/'(x)=0得x=-2或x=〃?.因

为m>—2,所以函数f(x)在区间(-oo,-2)和(也+8)内单调递增，在区间(-2,附内单调递减.于是函

数/(x)的极小值为/(，〃)=0,即(而2—nr—/n)e"'+2m=0,(2—e"'=0,解得〃z=0或m=ln2.

当,"=0时，/(x)的极大值为f(-2)=4e-2；当机=ln2时，/(尤)的极大值为

/(-2)=(4+ln2)-e-+21n2.故选A.

13、答案：5点

解析：由题意得2a—6=(—1,4—㈤.

7

又因为a_L(2a—方)，可得—1+8—2/〃=0,解得/??=—,

2

所以a-2)=(-5,-5),[a-2b1=50.

14^答案：—1—2e

解析：Qf(x)=x+2ex,f'(x)=l+2ex,f'(l)=1+2e.

Q函数f(x)为定义在R上的偶函数，

函数f(x)在x=-1处的切线斜率与函数/(X)在X=1处的切线斜率互为相反数,

r(-l)=-r(l)=-l-2e.

15、答案：x=2或y=4

解析：若直线/的斜率不存在，

则其方程为x=2,

此时可得A(2,0),8(2,6)或42,6),8(2,0),满足|AB|=6；

若直线/的斜率存在，

设其方程为y-4=%(x-2),即"-y+4-2%=0,

依题意有J"一昔；”+(2=^，解得

此时直线方程为y=4.

故符合要求的直线/的方程为x=2或y=4.

16、答案：③④

解析：将g(x)=cosQ-的图象向右平移;个单位，所得图象的函数解析式为

y=cos兀(x-1)=cos，故①错误；当x=l时/⑴=cos(；r-1)=-；,故②错误；当

*=需时/(£]=cos传-扪0,所以函数/(x)的图象关于点(1,0)称，故③正确；当x=-1时

/^=COS^-y-1j=-l,所以函数f(X)的图象关于直线X=-|对称，故④正确.综上可得，

③④正确.

17、答案：(1)3=60。

噌由

AA-C

解析：⑴由题设及正弦定理得sinAsin-----=sinBsinA.

2

A4-C

因为sinAw0,所以sin-----=sinB.

2

由A+3+C=180。，可得sin"C=cosO,

22

龄BBB

rixcos—=2、s.in—cos—.

222

因为cosOwO,故sing='，因此3=60。.

222

(2)由题设及(1)知ZVRC的面积S小8c=]〃.

由正弦定理得”=24=sm(120°-0)=&_+」

2tanC2

由于AABC为锐角三角形，故0。＜4＜90。,0。＜。＜90。，

由(1)知A+C=120。，所以30。＜。＜90。，故一v〃v2,

2

从而与<S^ABC<4,

oL

因此，△TWC面积的取值范围是［学，苧J.

18、答案：⑴见解析

(H)W

解析：⑴证明:QS4_L平面ABCRCOu平面ABCD

.-.SArCD.

又AC_LCD,且SAIAC=A.

.•.C£)_L平面SAC.

QE,F分别为SD,SC的中点，

EFUCD,

.•.EF_L平面SAC.

又£Fu平面

平面型'1.平面SAC.

(II)由⑴得£F_L平面SAC,

则EF即为三棱锥E-ACF的高，且EF=-CD.

2

在RtAv4a)中,AC_L8,ZADC=30。,AD=2,

:.AC=1,CD=^,

...Er=--.

2

又S4=l,尸为SC的中点，

.一△心=gs.c=gx；xSAxAC=；,

则V：.棱锥C-W=丫二:棱锥月-ACF

19、答案：(1)理科学生得分的平均值为73分.

(2)表格见解析，有99.9%以上的把握认为得分是否优秀与文理科有关.

解析：(1)由第三、二、四组的频率依次构成等差数列可得2“=%+0.015.

又频率分布直方图中所有小矩形面积之和为1,则(O.(n5+〃+m+O.O15+O.O1O)xlO=l,

解得机=0.035,“=0.025,

二理科学生得分的平均值为

(55x0.015+65x0.025+75x0.035+85x0.015+95x0.010)x10=73(分).

(2)理科学生优秀的人数为(0.015+0.010)x10x600=150,

补全2X2列联表如表所示,

优秀不优秀合计

理科生150450600

文科生50350400

合计2008001000

长、1000x(150x350-450x50)2)？3.4375>10,828,

600x400x200x800

・•.有99.9%以上的把握认为得分是否优秀与文理科有关.

20、答案：(1)丁;人

(2)直线MN过定点

解析：(1)已知尸(5,0),则直线A8的方程为y=x-],

y2=2px,2

联立1〃消去y,得Y_3px+2=0,

y=x--4

I2

所以/+/=3p,

因为|A6|=x.+/+P=4〃=8,所以2P=4,

所以抛物线的方程为4

(2)将P(x0,T)代入V=4x可得

不妨设直线MN的方程为x=rNd，%)，

联立-4五'消去x,得了2_4畋-4「=0,

[X=my+1,

贝!|到+>2=4”，yxy2=-4t,△=16，/+16r,

y+1%+1_44

由题意得kpM,kf>N-----7------;--=-2

x」X,--M-1%-1%必一（y+必）+1

,4^4

化简可得，t=——my

4

代入△=16m2+161=16；川+。

4

2

=16|A27--I+32>0,

I2

Q

此时直线MN的方程为了=加(丫-1)+^，

所以直线MN过定点停,1).

21、答案：(Dy」

e

(2)见解析

解析：(1)当。=1时,/(*)=与乜，

e

则ra)=y2,-/r(2)=L1,

ee

因此尸(2)=0,

故曲线y=/(x)在点(2,7(2))处的切线方程为y=L

e

(2)由题意知方程疣"-。=0有两个不同的实数根%,马.

对于函数y=心一Q-a(a>0),/=e-av(l-ax),

令y'=e-m(l—or)>0,解得x<,，

a

令V=e"(1-or)<0,解得x>-,

a

则函数y=在区间(-00，)上单调递增,在区间(：,+00)上单调递减，

所以，-「〃>(),得

ae

又当x<0时，祀㈤-。<0,所以方程比e-。=0的两个不同的实数根片均大于0.

1lnfl

当x>0时，方程双一"-a=0即方程e-=e,

则原问题等价于Inx-ax=Ina有两个不同的正实数根/.

令g(x)=Inx-ax-Ina(x>0),

则gr(x)=--tz(x>0),

x

所以g5)在m上单调递增，在(j+8)上单调递减，

不妨设玉<x,,贝|JO<X<—<x.

a2

令G(x)=g(x)-g]1-x),xe(0,1),

22

则G'(x)