高一数学北师大版选修2-1 第三章 §2 2.2 应用创新演练

1．抛物线x2＝－4y的通径为AB，O为坐标原点，则()A．通径AB长为8，△AOB面积为4B．通径AB长为8，△AOB面积为2C．通径AB长为4，△AOB面积为4D．通径AB长为4，△AOB面积为2解析：抛物线的通径为过焦点且垂直于对称轴的弦，长为2p.故AB＝4.S△AOB＝eq\f(1,2)·1·4＝2.答案：D2．(2011·辽宁高考)已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为()A.eq\f(3,4) B．1C.eq\f(5,4) D.eq\f(7,4)解析：根据抛物线定义与梯形中位线定理，得线段AB中点到y轴的距离为：eq\f(1,2)(|AF|＋|BF|)－eq\f(1,4)＝eq\f(3,2)－eq\f(1,4)＝eq\f(5,4).答案：C3．若抛物线y2＝2px(p>0)上一点M到准线及对称轴的距离分别为10和6，则点M的横坐标和p的值分别为()A．9,2 B．1,18C．9,2或1,18 D．9,18或1,2解析：设M(x0，y0)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|y0|＝6，,x0＋\f(p,2)＝10.))因为yeq\o\al(2,0)＝2px0，所以36＝2peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10－\f(p,2)))，解得p＝2或p＝18.所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(p＝2，,x0＝9，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(p＝18，,x0＝1.))答案：C4．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的斜率为－eq\r(3)，那么|PF|＝()A．4eq\r(3) B．8C．8eq\r(3) D．16解析：由抛物线的定义得，|PF|＝|PA|，又由直线AF的斜率为－eq\r(3)，可知∠PAF＝60°.△PAF是等边三角形，∴|PF|＝|AF|＝eq\f(4,cos60°)＝8.答案：B5．抛物线y2＝4x的弦AB垂直于x轴，|AB|＝4eq\r(3)，则焦点(1,0)到AB的距离为________．解析：由题意知A(x0,2eq\r(3))，则(2eq\r(3))2＝4x0，∴x0＝3，则焦点F(1,0)到AB的距离为2.答案：26．对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：①焦点在y轴上；②焦点在x轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④抛物线的通径的长为5；⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为(2,1)．则使抛物线方程为y2＝10x的必要条件是________(要求填写合适条件的序号)．解析：由抛物线方程y2＝10x，知它的焦点在x轴上，所以②适合．又∵它的焦点坐标为F(eq\f(5,2)，0)，原点O(0,0)，设点P(2,1)，可得kPO·kPF＝－1，∴⑤也合适．而①显然不合适，通过计算可知③、④不合题意．∴应填序号为②、⑤.答案：②⑤7．(2012·四川高考改编)已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)．若点M到该抛物线焦点的距离为3，求抛物线方程及|OM|的值．解：设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，则焦点坐标为(eq\f(p,2)，0)，准抛物线方程为x＝－eq\f(p,2)，∵M在抛物线上，∴M到焦点的距离等于到准线的距离，即∴eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2－\f(p,2)))2＋y\o\al(2,0))＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(p,2)))2)＝3.解得：p＝1，y0＝±2eq\r(2)，∴抛物线方程为y2＝2x.∴点M(2，±2eq\r(2))，根据两点距离公式有：|OM|＝eq\r(22＋±2\r(2)2)＝2eq\r(3).8．定长为3的线段AB的两个端点在抛物线y2＝2x上移动，M为AB的中点，求M到y轴的最短距离．解：如图：抛物线y2＝2x的焦点Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))，准线l：x＝－eq\f(1,2)，过A，B，M分别作l的垂线，垂足分别为A′，B′，M′.由抛物线的定义得|AA′|＝|AF|，|BB′|＝|BF|，又M为AB的中点，则MM′为梯形的中位线，∴|MM′|＝eq\f(1,2)(|AA′|＋|BB′|)