陕西省铜川重点中学2021-2022学年高二上学期期末理科数学试题(含答案)

～2022学年度第一学期期末调研高二数学（理科）试题注意事项：1.本试题共4页，满分150分，时间120分钟；2.答卷前，考生须准确填写自己的姓名、准考证号，并认真核准条形码上的姓名、准考证号；3.选择题必须使用2B铅笔填涂，非选择题必须使用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，涂写要工整、清晰；4.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试题卷不回收.第I卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.双曲线的渐近线方程为（）A. B.C. D.2.已知命题：“，”，则为（）A.， B.，C.， D.，3.已知，则下列不等式一定成立的是（）A. B.C. D.4.若，，且，则的最大值为（）A.9 B.18 C.36 D.815.设抛物线上一点到轴的距离是4，则点到该抛物线焦点的距离是（）A.4 B.6 C.8 D.126.在等差数列中，，则的值为（）A.6 B.12 C.24 D.487.已知，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8.如图，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于30km，灯塔A在观察站C的北偏东20°的方向，灯塔B在观察站C的南偏东40°的方向，则灯塔A与灯塔B间的距离为（）A.30km B. C. D.9.已知命题：，；命题：，，则下列命题中为真命题的是（）A. B. C. D.10.已知向量是直线的方向向量，是平面的法向量，且，则直线与平面所成的角为（）A.30° B.60° C.120° D.150°11.我国古代数学家沈括，杨辉，朱世杰等研究过二阶等差数列的相关问题.如果，且数列为等差数列，那么数列为二阶等差数列.现有二阶等差数列的前4项分别为1，3，6，10，则该数列的前10项和为（）A.120 B.220 C.240 D.25612.已知正项等比数列的前项和为，且，则的最小值为（）A.20 B.16 C.9 D.8第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知平面的法向量为，平面的法向量为，若，则的值为__________.14.已知双曲线的一个焦点在直线上，则__________.15.如图，在长方体中，是线段上一点，且，若存在实数x，y，z，使得，则__________.16.已知，是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点.若，且，则椭圆C的离心率为__________.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（本小题满分10分）已知函数.（I）当时，求不等式的解集；（Ⅱ）若关于的不等式的解集为，求实数的值.18.（本小题满分12分）已知数列为等差数列，且，.（I）求数列的通项公式；（Ⅱ）求数列的前项和的最大值.19.（本小题满分12分）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知，.（I）求a，c的值；（Ⅱ）求的值.20.（本小题满分12分）已知椭圆：的左焦点为，右焦点为，离心率，过的直线交椭圆E于，两点，且的周长为8.（I）求椭圆E的方程；（Ⅱ）若直线的斜率为，求的面积.21.（本小题满分12分）如图，且，，且，且，平面，，为的中点，为的中点.请用空间向量的知识解答下列问题：（I）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的正弦值.22.（本小题满分12分）已知过点的抛物线C的顶点在原点，焦点在y轴上.（I）求抛物线C的方程；（Ⅱ）设直线：与抛物线C相交于，两点，记直线与的斜率分别为和.求证：为定值，并求出此定值.2021～2022学年度第一学期期末调研高二数学（理科）试题参考答案及评分标准一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.D2.C3.B4.A5.B6.C7.A8.D9.A10.A11.B12.B二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.414.1615.16.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.解：（I）当时，不等式等价于，∴，解得或.∴不等式的解集为.（Ⅱ）不等式等价于，∴不等式的解集为.∴方程的两个根为-6和2.∴，且.∴实数的值为4.18.解：（I）设等差数列的公差为，由题意得，解得.故.（Ⅱ）由（I）知，，∴.∴当时，取到最大值为.19.解：（I）由已知及正弦定理得，又，∴，.（Ⅱ）由余弦定理可得.∵，∴.20.解：（I）由题意知，，∴，又，∴，∴.∴椭圆的方程为.（Ⅱ）由（I）易知，∴直线的方程为，由消去y得，解得，，∴，.∴.21.解：∵，平面，∴，，两两垂直.以D为原点，，，分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，可得，，，，，.∴，，，.（I）证明：∵为的中点，为的中点，∴，.∴.设平面的法向量为，则即不妨令，可得.∴，∴.又平面，∴平面.（Ⅱ）设平面的法向量为，则即不妨