力学5.1连续体力学(固体的弹性)

连续体力学（连续介质力学）1.连续体包括弹性固体、流体（液体和气体）特点：内部质点之间可以有相对运动（形变或非均匀流动）连续介质力学的最基本假设“连续介质假设”：真实的流体和固体可以近似看作连续的，充满全空间的介质组成，物质的宏观性质依然受牛顿力学的支配。（质元：宏观足够小，微观足够大）这一假设忽略物质的具体微观结构（对固体和液体微观结构研究属于凝聚态物理学的范畴），而用一组偏微分方程来表达宏观物理量（如质量，速度，压力等）。这些方程包括描述介质性质的方程（本构方程constitutiveequations）和基本的物理定律，如质量守恒定律、动量守恒定律等。下页上页2.任何物体，在外力作用下都会发生或多或少的形变，如果撤消外力后，物体的形变能够完全消失，那么这种物体就是弹性体，弹性体也是一种理想模型弹性体力学研究的是力与形变的规律弹性体的形变种类有：拉伸、压缩形变，剪切形变，弯曲形变，扭转形变拉压形变与剪切形变是最基本的形变，扭转形变和弯曲形变可以看作由这两种形变组成1.固体的弹性下页上页3.1.1外力、内力、应力和应变㈠外力与内力

外界对弹性体的作用力称为外力；内力就是弹性体内部各部分间的相互作用力为研究内力，必须在弹性体内部取一假想截面S，它把弹性体分为两部分，这两部分间的相互作用力叫截面S上的内力，内力总是成对出现的在一般情况下，取不同的截面，内力不同；在同一截面的不同点处，内力也不相同F1F2F3F4F5F6FSF1F3F2下页上页4.

㈡应力

正应力:应力在面元外法线方向的投影

切应力:应力在面元切向方向上的投影

在一般情况下,取不同点,不同方向,对应的应力亦不同ΔFΔSo

在o点附近取有向面元分别为面元ΔS的外法线单位矢量和切向单位矢量,ΔF为作用在ΔS上的内力.

应力就是单位面积上受到的内力平均应力：,对应有限面元应力：,对应无穷小面元,点dFdS应力单位：帕斯卡（pascal）下页上页5.（三）应变固体的应变有两种基本形式：体应变（对应于正应力）切应变（剪）（对应于切应力）液体：只有各项同性的正压力（正应力）——静水压力。液体不能抗剪切！对弹性体施加各向同性的静水压力，其体积V发生变化体应变：应变无量纲！K——体弹性模量下页上页体应力：6.F'S切应变与切应力⒈剪切形变：在力偶作用下,两平行截面发生相对移动的形变⒊剪应力：若截面S受力均匀，则切应力cF"F"'abFABB'CC'Dψ下页上页⒉剪应变剪：平行截面相对滑动距离BB'与垂直距离AB之比，ψ称为切变角剪，4.在切应变较小的情况下，

剪

G——切变弹性模量7.1.2弹性体的拉伸和压缩F'FxosF'F"xosa㈠直杆内的正应力

㈡直杆的线应变l0b0lb泊松系数：dxdlox㈢拉压形变的胡克定律当应变较小时：Y——杨氏弹性模量若应力、应变分布均匀，则线应变就是相对线变，即单位长度上的线变，下页上页8.㈣拉压形变的势能密度

杆的左端点固定，l0为杆原长，规定Ep(l0)=0，我们求当杆的右端点移到x=l时，杆所具有的形变势能Ep(l)

若杆的形变是均匀的，则形变势能均匀地分布于整个直杆中，用V0去除上式，得拉压形变的势能密度：

表示单位体积的形变势能与应变平方成正比

Fol0lx下页上页剪切形变的势能密度：9.1.3弯曲和扭转FFoxyhb水泥预制板铁路钢轨钢管梁仅在一对等大反向力偶距作用下的弯曲称为纯弯曲,上层被压缩,下层被拉长，y轴所在的中间层，既不被压缩，也不被拉长,保持原长，称为中性层,可见纯弯曲形变是由程度不同的拉、压形变组成。⒈应变、应力分布规律

x处取一厚度为dx薄层,其线应变

根据胡克定律，正应力：㈠梁的纯弯曲dxoo'xyθR下页上页10.2.曲率与力偶矩的关系τxbho在平衡状态下，外力矩M与内力矩M'大小相等梁弯曲的曲率k=1/R，求它与外力偶矩M的关系：在坐标x处取一面元:dS=bdx，作用其上的内力：dF对z轴的力矩：整个面上的内力对z轴的力矩：dFdx显然，相对于增大b，增大h，能更好地减小曲率下页上页11.㈡杆的扭转

把杆用假想截面切割成许多近似长方体的体元施加力偶矩后，各个小长方体都发生切变，r坐标相同的长方体切变相同,r越大,切变越大LRrzτ'τ

由胡克定律，切应力坐标为r的体元，切变角为：⒈切应变和切应力的分布规律

从外观看，上端面各半径直线相对下底面转过一个相同的角度φ，此角称为杆的扭转角；侧面轴向直线倾斜一个相同角度ψ=Rφ/L，它就是外层体元的切变角ψφ下页上页12.⒉扭转角与力偶矩的关系

LψφRrzτ'τdθ