2021届人教a版（文科数学） 空间点线面的位置关系 单元测试

2021届人教A版（文科数学）空间点线面的位置关系单元测

试

1、体积为3的正方体外接球的表面积为（）

A.n，B.2na2c.3na2D.4n3

2、下列说法错误的是（）

A.棱柱的侧面都是平行四边形

B.所有面都是三角形的多面体一定是三棱锥

C.用一个平面去截正方体，截面图形可能是五边形

D.将直角三角形绕其直角边所在直线旋转一周所得的几何体是圆锥

3、

在三棱锥产一ABC中，平面ABC,AC1BC,。为侧棱PC上的一点,

它的正（主）视图和侧（左）视图如图所示，则下列命题正确的是（）。

A.，平面PBC且三棱锥D-ABC的体积为-

3

Q

B.8。_L平面PAC且三棱锥。-ABC的体积为2

3

C.平面BBC且三棱锥。-ABC的体积为3

3

D.80_1平面抬。且三棱锥。-ABC的体积为屿

3

4、圆锥的底面半径为a,侧面展开图是半圆面，那么此圆锥的侧面积是（）

_2.22_2

A.2naB.4nac.naD.3na

5、已知一个棱长为2的正方体，被一个平面截后所得几何体的三视图如图所示，

则该截面的面积为（）

A.1B.4C.3D.3.10

22

2Y

6、如图为函数/'（x）=-^的部分图象，ABCD是矩形，A,B在图像上,

x+1

将此矩形绕X轴旋转得到的旋转体的体积的最大值为（）

A.nB.24

7、一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体的所有顶点都在同一个

球面上，则这个球的表面积是（）

A.16"B.12zrC.D.25万

8、右图是某个四面体的三视图，该四面体的体积为（）

正视图侧视图

俯视图

A.72B.36C.24D.12

9、

在空间直角坐标系o-xyz中，四面体SABC各顶点坐标分别S（l,L2）/（332）»

风■外小冽，则该四面体外接球的表面积是（）o

A.16nB.12n

C.4扬D.6n

10、圆台的上、下底面半径和高的比为1:4:4,母线长为10,则圆台的侧面积为

（）

A.81nB.100JiC.14"D.169北

11、在长方中，AB=BC=2,AC1与平面BBR1C所成的角为30。,

则该长方体的体积为（）

A.8B.6也C.8啦D.8祗

12、在矩形ABCD中，AC=2,现将△ABC沿对角线AC折起，使点B到达点B的位置，

得到三棱锥B-ACD,则三棱锥B-ACD的外接球的表面积为（）

A.「B.2n

C.4nD.大小与点B’的位置有关

13、一个几何体的三视图如图所示，则其体积为.

主视图左视图

]□K

口俯视图

14、宜三棱柱ABC-A邛G中，=90°,A4=2,设其外接球的球心为°,已

知三棱锥ABC的体积为1,则球。表面积的最小值为.

15、一个圆锥的底面半径为2cm,高为6cm,在其中有一个高为xcm的内接圆柱，当

圆柱的侧面积最大时，x=.

16、已知球的半径为4,球面被互相垂直的两个平面所截，得到的两个圆的公共弦

长为2曲，若球心到这两个平面的距离相等，则这两个圆的半径之和为.

17、圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，轴截面的面积等于392cm?,母

线与轴的夹角是45°,求这个圆台的高、母线长和两底面半径.

18、结合下图，说说它们分别是怎样的多面体？

（1）（2）（3）（4）（5）

19、如图，将一个长方体没相邻三个面的对角线截出一个棱锥，求棱锥的体积与剩

下的几何体体积的比.

20、从一个底面半径和高都是R的圆柱中,挖去一个以圆柱上底面为底，下底面中心

为顶点的圆锥，得到如图1所示的几何体.如果用一个与圆柱下底面距离等于/并且

平行于底面的平面去截它,求所得截面的面积.

21、已知一四棱锥ABCD的三视图如下，E是侧棱PC上的动点。

(2)求四棱锥P—ABCD的侧面积.

22、如果一个圆锥的高增加20%,底面积减少10%,那么变化后的圆锥与原圆锥

的体积比是多少？

参考答案

1、答案C

根据正方体的体积可知正方体的边长为。，然后可知该正方体的外接球的半径，最后根

据球的表面积的公式可得结果.

详解

3

由题可知：正方体的体积为"，所以正方体的边长为a

_Va2+a2+a2_>/3a

则可知该正方体的外接球的半径为-22

所以该正方体的外接球的表面积为S=4乃/=3%/

故选：C

2、答案B

由棱柱的性质可判断A；可举正八面体可判断B；用一个平面去截正方体，与正方体的

五个面相交，可判断C；由圆锥的定义可判断D.

详解

由棱柱的性质可得棱柱的侧面都是平行四边形，则A正确；

所有面都是三角形的多面体不一定是三棱锥，比如正八面体的各个面都是正三角形，则

B错误；

用一个平面去截正方体，与正方体的五个面相交，可得截面图形是五边形，则C正确；

由圆锥的定义可得直角三角形绕其直角边所在直线旋转一周所得的几何体是圆锥，则D

正确.

故选：B.

名师点评

本题考查空间几何的性质，属于基本题.

3、答案C

♦.•%，平面48。，:.PALBC,

又AC1BC,Q4cAe=A

..BC，平面PAC,BC1AD

又由三视图可得在-BAC中，PA=AC=4,。为PC的中点，

:.AD±PC,平面

又BC=4,ZADC=90°,8C_L平面PAC

xx

故MAABC=^B-ADC~32拒x2^2x4=—

故选C

名师点评：本题主要考查的知识点是直线与平面垂直的判定，几何体的体积的求法。考

查了命题的真假的判断与应用。通过证明直线与平面内的两条相交直线垂直即可证明直

线与平面垂直，求出几何体的体积即可。

4、答案A

若圆锥的侧面展开图是半圆，则圆锥的母线长为底面半径的2倍，

因为圆锥的底面半径为a,故圆锥的母线长为2a,故圆锥的侧面积$=ml=292,故选

A.

5、答案A

解：由三视图还原原几何体如图,

截面是等腰梯形FHDE,

：正方体的棱长为2,_____________

；.FH=2加,DE=&，梯形的高为「+(当V萼

.•.该截面的面积为s=l(V2+2V2)x等•今

故选：A.

本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题.

6、答案A

7、答案A

8、答案D

9、答案B

分析

首先根据题意，利用两点间距离的坐标公式，求得四面体的各个边长，利用向量数量积

等于零，得到CS±平面ABC，根据条件可知该三棱锥满足从同一个顶点出发的三条棱两

两垂直且均相对，可以补体，相当于正方体的外接球的问题，从而求得结果.

详解

由题意计算可得网=2,|AC|=2,|SC|=2,|BC|=2屈

AB=(0,0,-2),启=(-2,0,0),CS=(0,-2,0),

•••”&=°七1平面ABC,

1AC♦CS=0故四面体SABC是底面为等腰直角三角形，侧棱SC垂直底面

的几何体，.•.四面体的外接球就是棱长为2的正方体的外接球，其直径为正方体的对角

线2目半径为酒则该四面体外接球的表面积是：4n・(向2=i2n.故选:B.

名师点评

该题考查的是有关几何体的外接球的问题，在解题的过程中，需要确定三棱锥所满足的

条件，利用空间两点间的距离公式以及向量的数量积坐标运算式，得到该三棱锥的特征,

之后应用补体法得到其外接球的特征，之后应用球的表面积公式求得结果.

10、答案B

设圆台上底半径为r,则其下底半径为4r,高为4r,结合母线长10,可求出r==2.然后

由圆台侧面及公式得，s=%("+4)/=%(2+8)x1()=1(X)乃.

考查目的：求圆台侧面积.

11、答案C

分析：首先画出长方利用题中条件，得到NAC]B=30°,根据AB=2,

求得BC]=2依，可以确定CC「2也，之后利用长方体的体积公式

详解：在长方中，连接B",

根据线面角的定义可知"ACM=30,

因为AB=2,所以BC「2招，从而求得CC「2立，

所以该长方体的体积为V=2x2x2啦=8啦，故选C.

名师点评：该题考查的是长方体的体积的求解问题，在解题的过程中，需要明确长方体

的体积公式为长宽高的乘积，而题中的条件只有两个值，所以利用题中的条件求解另一

条边的长久显得尤为重要，此时就需要明确线面角的定义，从而得到量之间的关系，从

而求得结果.

12、答案C

由题意，AC的中点为三棱锥B-ACD的外接球的球心，：AC=2,二球的半径为1,

三棱锥B-ACD的外接球的表面积为4n.故选C.

名师点评：本题解答的关键是找准外接球的球心，根据题意和直角三角形的性质，可知

直角三角形的斜边AC的中点到三棱锥B,-ACD的各个顶点的距离都相等，由此可判断球

心即为AC的中点，从而求出外接球的表面积.

13、答案4

14、答案16%.

设A8=c,8C=a,由三棱锥°一43°的体积为1可得。。=6.然后根据题意求出三棱

22

/?=(^HE)+1

柱外接球的半径为2,再结合基本不等式可得外接球表面积的最小

值.

详解

如图，在必AA8C中，设48=c,BC=a,则40=后二？.

分别取AC，4G的中点Q，°2,则G，°2分别为RMBC和Rt^ABC外接圆的圆心,

连°2°2,取的中点°,则。为三棱柱外接球的球心.

连。4,则。4为外接球的半径，设半径为R.

•.•三棱锥0—ABC的体积为1,

1tac

VX）X1=1

即O-ABC=T3（V2,

ac=6

2222

2AC201022y/a+c2«+c

R+1+1

在放Q八t\0n°n2rc中，可得=（k2）+（^2~）=（---2----）=-4--

+MZac

S球去=4TTR2=4乃（------+1）＞4%（----+1）=16万

A44,当且仅当口=c时等号成立,

球表面积的最小值为16%.

故答案为：16〃.

名师点评

解答几何体外接球的体积、表面积问题的关键是确定球心的位置，进而得到球的半径，

解题时注意球心在过底面圆圆心且垂直于底面的直线上，且球心到几何体各顶点的距离

相等.在确定球心的位置后可在直角三角形中求出球的半径，此类问题考查空间想象力

和计算能力，难度较大.

15、答案x=3cm

r6-x6-x

设圆柱的半径为r,由2-6,可得厂3,又『x(0<x<6),可得圆柱侧面积，利用

配方法求出最大值.

详解

r6-x6-x

设圆柱的半径为r,由26,可得厂3,又l=x(0<x<6)

6-x2j

2n------x=--n[(x-3)-9]

所以圆柱的侧面积=33

当且仅当x=3cm时圆柱的侧面积最大.

故答案为：3cm

名师点评

(1)本题考查圆柱侧面积，考查配方法，考查学生分析解决问题的能力.(2)解答本

6-x29

2n------x=n[(x-3)-9]

题的关键是求出圆柱的侧面积=33

16、答案6

先设两圆的圆心为。1°2,球心为。，公共弦为AB,中点为E,由球心到这两个平面的距离

相等，可得两圆半径相等，然后设两圆半径为r,由勾股定理表示出1°°1卜/16-匕

OE|=J32-2r\再由Q『+A『=QA『，即可求出，从而可得结果.

详解

设两圆的圆心为。1°2,球心为。，公共弦为AB,中点为E,因为球心到这两个平面的距离

相等，则0°』°2为正方形，两圆半径相等，设两圆半径为r,°。[=J16-J,10£：=12-2匕

y|0E2+AE|2=|0A\32-+2=16,J=9,r=3.这两个圆的半径之和为6.

名师点评

本题主要考查球的结构特征，由球的特征和题中条件，找出等量关系，即可求解.

17、答案圆台的轴截面如图所示，

AO

设圆台上、下底面半径分别为xcm、2xcm、3xcm,延长交。。1的延长线于S.

在RtaSOA中，ZASO=45°,则NSAO=45°,：.S0=A0=3x,：.OOl=2x.

==

S躺截面=2(6x+2x)•2x=392,解得x=7.故圆台的IWJOO\14cm>母线长A\A00\

=14应cm