2023年河南省新乡一中豫北名校高三年级模拟考试 数学理科【含答案】

2022-2023年度河南省高三年级模拟考试

数学（理科）

考生注意：

1.本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分，共150分.考试时间120分钟.

2.请将各题答案填写在答题卡上.

3.本试卷主要考试内容：高考全部内容.

第I卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

[设集合A={x|x—9<0},3={x|x+2a<0},且A8={x[—3<xW2},则々=（）

A.-1B.1C.2D.3

【答案】A

【解析】

【分析】先根据一元二次不等式的解法求出集合A，再利用一元一次不等式的性质求出集合8,然后利用

交集的运算性质即可求出结果.

【详解】因为集合4=口|炉一940}="|—34尤43},

集合8={x|x+2a«0}={x|x4-2a},

又因为Ac8={x|-34x<2},所以一%=2,解得：。=一1,

故选：A.

2.若z=l—i，则|z2+3—2i|=（）

A.5/5B.5C.3D.3^/2

【答案】B

【解析】

【分析】根据复数运算，复数的模计算即可解决.

【详解】由题知，

|z2+3-2i|=|1-2i+i2+3-2i|=|3-4i|=V9+16=5,

故选：B

3.已知向量4=（元+2,—3）,方=（1一3苍2）,若则（）

A.-2B.2C.1D.-1

【答案】C

【解析】

【分析】根据平面向量的共线定理可知，存在实数丸使得a=4)，再根据平面向量的坐标运算即可计算得

出结果.

【详解】由4〃。，且都是非零向量，可知存在实数2使得a=/lb，

即满足a=(尤+2,-3)=肪=Z(l-3x,2)

x=\

x+2="l-3x)'曰

所以《c'。,得"3

—3=2A---

2

故选：C.

4.下列函数中，在定义域内既是奇函数又单调递增的是()

A./(x)=sinx-x2B.f(x)=ln(2-x)-ln(x+2)C./(%)=e-D.

2r-1

/(%)

2'+l

【答案】D

【解析】

【分析】根据选取特殊值可排除AB,利用偶函数的定义可以排除C,根据奇函数和复合函数的单调性质

判断D.

【详解】对于A选项，因为/(xXsinx—/的定义域为(­,+8),

所以函数/(x)=sinx-Y不是奇函数，不符合条件，A错误;

对于B选项，函数/(x)=ln(2一x)-ln(x+2)的定义域为(-2,2),

/(D=-ln3,/(-l)=ln3,/(-1)>/(1),

函数/(幻=111(2-％)-111(%+2)在(—2,2)不是增函数，不符合条件，B错误;

对于C选项，函数/(x)=的定义域为(F,+8),

-X.XXI-X

f(-x)=~函数/(外=三匚为偶函数，不符合条件，C错误;

2*-1/、1-2”

D选项，因为函数/(幻=会、的定义域为(TQ+8)=—/(x),所以函数

1+2工

2X-1

f(x)=-~!•为奇函数，

八/2'+1

2

将函数式变为/(%)=1-5节，因为函数y=2,在(f,+8)单调递增，且2、〉0，

所以函数y=2'+1在(-co,+oo)单调递增，且2'+1>1,

29

所以函数y=在(-co,+x>)单调递减，且。<2**］<2,

2

所以随着*增大，函数/(x)=l-丞不■的函数值也增大，即/(X)是单调递增函数，符合条件.

故选：D.

5.已知某圆台的上底面和下底面的面积分别为3兀、12兀，高为6,则该圆台的体积为()

A.36兀B.4()兀C.42nD.457r

【答案】C

【解析】

【分析】利用台体的体积公式可求得该圆台的体积.

【详解】由题意可知，该圆台的体积为/=：*卜兀+12兀+，§菽1苏b6=42兀.

故选：C.

6.必(2%-，)的展开式中常数项为()

A.-160B.60C.240D.-192

【答案】B

【解析】

【分析】由题意可得要得的展开式中常数，只需求出(2x—工］的展式中汇2项，根据二项定

kx)Ix)

理求出出(2x-4］的展式中方2项即可得答案.

IX)

【详解】解：因为（2x—L1的展式为：

=q（2x）~•（--y=c;-2~•（-i）r.6-r（x-'y=q-26-r•（-iy-x6-2r,

Xx

要得/（zx—的展开式中常数，只需求出（2x—的展式中x-2项即可.

所以令6-2厂=-2,

解得r=4,

所以（2x—的展式中M项的系数为c：26—4.（—1）4=15x4x1=60,

IX）

所以产（2工一，］的展开式中常数项为60.

故选：B.

7.我国古代数学著作《算法统宗》中有如下问题：“今有善走者，日增等里，首日行走一百里，九日共行

一千二百六十里，问日增几何？”其大意是：现有一位善于步行的人，第一天行走了一百里，以后每天比前

一天多走d里，九天他共行走了一千二百六十里，求d的值.关于该问题，下列结论错误的是（）

A.1=15B.此人第三天行走了一百二十里

C.此人前七天共行走了九百一十里D.此人前八天共行走了一千零八十里

【答案】A

【解析】

［分析］设此人第〃（〃eN*）天走。“里，则数列｛4｝是公差为d的等差数列，记数列｛4｝的前〃项和为S”,

由题意可得出关于％、d方程组，解出d的值，可判断A选项；利用等差数列的通项公式可判断B选项；

利用等差数列的求和公式可判断CD选项.

【详解】设此人第”（〃eN*）天走里，则数列｛对｝是公差为d的等差数列，记数列｛4｝的前"项和为S,,

q=100

由题意可得「八旌,s“，解得d=10,A错；

-9%+36cl—1260

%=q+2d=120,B对；

6x7

S7=7^+—1/=910,C对;

7xX

S8=8^+—J=1080,D对.

故选：A.

8.已知函数/(x)=cos(2x+°)(—"万)的图象向右平移专个单位长度后，与函数g(x)=sin2x的

图象重合，则/(x)的单调递减区间为()

715万7171

k兀+,k兀+(keZ)k九一,k兀+(keZ)

A.~6_B.~6

LT-3_

712乃7171

k兀+,k兀中(keZ)k兀一，左乃+(keZ)

C.~6~T_D.y~6_

【答案】C

【解析】

【分析】由题意利用三角函数图象的变换规律求出平移之后的解析式，令其等于sin2x,利用诱导公式以

及三角函数的周期性求出。的值，即可得/(x)的解析式，再利用余弦函数的单调减区间即可求解.

【详解】函数/(x)=cos(2x+(p)[-7iW。")的图象向右平移专个单位长度后

(万、

可得y=cos2x----+(p=cos2x------\-(p,

I12j_\67

因为所得的图象与g(x)=sin2x的图象重合,

所以cos2x--+^9J=sin2x=cos^2x--j,

jrjr

可得：---+0=---+2左4(％GZ),

62

jr

所以0=+eZ),

TT

因为一乃W。〈不，所以々=o,*=-可，

所以/(x)=C0S—

TT

令2k兀&2x---<2k7v+7[{kGZ),

3

jr27r

解得k7u-\——<x<k7u-\---(keZ),

63

7T2TT/.、

即f(x)的单调递减区间为kn+-,kn+—(ZeZ).

故选：C.

【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是平移之后的图象与g(x)=sin2x图象重合，需要将两个解析式

化为同名的，求出f(x)再利用整体代入的方法求单调区间.

9.若P是一个质数，则像2尸-1这样的正整数被称为梅森数.从50以内的所有质数中任取两个数，则这

两个数都为梅森数的概率为O

1331

C

A.一5-

353525

【答案】A

【解析】

【分析】找出50以内的所有质数和梅森数，利用组合数公式和古典概型概率计算公式可得答案.

【详解】50以内的所有质数为2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47共15个,

梅森数有22-1=3，23-1=7，25-1=31三个,

从50以内的所有质数中任取两个数有Ci=105种情况，

,31

两个数都为梅森数有C；=3种情况，所以两个数都为梅森数的概率为而=行.

故选：A.

10.已知抛物线C:y2=一12彳的焦点为F,动点M在C上，圆M的半径为1,过点F的直线与圆〃相切

于点N,则FMFN的最小值为（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】D

【解析】

【分析】由题作图，由图可得根=根据抛物线定义可得怛加|等于点〃到准线x=3的

距离，根据图形可得最小值情况，从而可得的最小值.

【详解】因为抛物线C：V=—i2x,所以焦点坐标为尸（一3,0）,如下图所示：连接MN,过加作"Q垂

直准线x=3于Q,

FN

则在直角中，cosZNFM=——，

FM

所以FM.FN=|FM|-|F?/|-COSNNFM=|F/V|2=|FM|2-|M/V|2=|fM|2-1,

由抛物线的定义得：IbMklMQl，

则由图可得|MQ|的最小值即抛物线顶点0到准线x=3的距离，即=3,

所以（FM/N）=8.

故选：D.

11.已知数列｛%｝满足4.一%1=3"-1,%源+4.=3”+5（“eN*）,则数列｛4｝的前40项和S40=（）

3"+397„341+39703"+1976321+197

AA.-------B.-------C.-------D.-------

2222

【答案】D

【解析】

【分析】由已知，根据题意由。2"一。2"-1=3"-1,。2"+1+"2"=3"+5（”eN*）可得：

%+i=6（〃eN）,从而计算（4+0,）+（。5+«7）+（。9+41）++（%+。39）=10'6=60,由

aa

2„-2n-i=3"-1（"eN*）递推可得：%+2一。2.+1=3向一1（〃eN*）,结合/向+a2,l=3"+5（"eN*）

可得：%+2+。2"=4・（3"+l）（〃eN*）,从而计算3+4）+（。6+6）+（40+42）+,，+38+。40），

将两组和合并即可完成求解.

【详解】由已知，数列｛q｝满足％一%-l=3"T（〃eN"）①，％用+%,=3"+5（〃€^岭，

②一①得；a2n+l+a2ll_,=6(“eN"

所以(q+4)+(4+%)+(%+劭)++(%+/9)=1。'6=60,

由=3"-1(〃€]\*)递推可得：a2n+2-a2n+l=3'用③,

③+②得；a2n+2+a2n=4・(3"+l，/eN"),

(4+。4)+(。6+%)+(q()+/)++(&+%)

=4.(3'+l)+4-(33+l)+4-(35+l)+.+4-(3I9+l)

=4(3'+33+35++319)+4X10

+40

1-9

321-3

+40,

2

所以

S40=(4+'4)+(&5+%)+(%+41)++(%+%)+(4+44)+(“6+4)+(010+《2)++(48+”4O)

32l-3

+100

2

321+197

2

故选：D.

12.已知根>0,若不等式me'">lnx恒成立，则加的取值范围为()

A.」,+8B.卜c

l2e2

【答案】B

【解析】

【分析1当0(尤<1时，不等式〃?eM>lnx显然成立，当x>l时，转化为e"*-lne心>xlnx恒成立，利

InxInx

用函数/(X)=xlnx(x>1)的单调性,转化为加>—在(1,+8)上恒成立,构造函数g(x)=—(X>1),

XX

利用导数求出其最大值，可求出身的取值范围.

【详解】由Inx有意义，知x>0,

因为/%>0,所以当0<xWl时，me'm>0>Inx<0,不等式根e””>lnx显然成立,

当x>l时，不等式me"">In%恒成立，等价于如・e""〉xlnx恒成立，

等价于e/?IV-Ine〃”>xlnx恒成立，

设/(x)=xln无(x>1),因为/(x)=lnx+x・1=lnx+l>0,

x

所以fM在(1,4w)上单调递增，

因m>0,尤>1,所以e〃坟>1，

所以e〃“•Ine小>xlnx恒成立，等价于/(e/ztv)>f(x),

又了⑶在(1,+8)上单调递增，所以不等式/化3)>/(此等价于e〃“〉x在(1，48)上恒成立，等价于

InY

ax>In%在(1,-8)上恒成立，等价于m>---在(1,+8)上恒成立，

x

人/、Inx/、八e--x-lnx1-lnx

令g(x)=:(x>l),则g,㈤=二^=丁,

X

当l<x<e时，g'(x)>o,当%>e时，g'(x)<0,

所以g(x)在(1,e)上单调递增，在(e,+oo)上单调递减，

所以g(x)max=g(e)=-.

e

所以〃z>皿在(1,4w)上恒成立等价于m>~.

xe

综上所述：加的取值范围为(%

故选：B

第n卷

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.

x+3y-5<0

13.设x,y满足约束条件,则z=2x+y的最大值为.

x-^-1<0

【答案】5

【解析】

【分析】作出可行域，数形结合求解，

【详解】作出可行域如图所示，由z=2x+y得y=-2x+z,

Z表示斜率为—2的直线与)'轴的截距,

数形结合得，当直线过点(2,1)时z取最大值5，

14.已知F(x)为R上的奇函数，当xe［0,+8)时，/(x)=2,———,则不等式/(3x-l)</(I-X)的解

x+1

集为.

【答案】(F,g)

【解析】

【分析】由函数的奇偶性与单调性转化后求解，

【详解】由函数y=2'与y=--1一均在［0,+8)上单调递增，

x+1

故/(*)在［0,+00)上单调递增，

而F(X)为R上奇函数，故/(X)在R上单调递增，

/(3x-1)</(1一%)等价于3X一1<1一》，得x<g,

故答案为：)

15.如图，在梯形ABC。中，AB//CD,AD=DC=BC=2,ZABC=6Q°,将ACD沿边AC翻折,

使点D翻折到P点,且=2正，则三棱锥P-ABC外接球的表面积是.

P

【答案】2071

【解析】

【分析】先证明出面PAC,作出的外心0',过。'作O'O//BC,判断出三棱锥P—ABC

外接球的球心。必在直线O'O上，设外接球的半径为「，利用球的性质列方程

求出r,即可求出三棱锥P—ABC外接球的表面积.

【详解】在梯形A8CD中，AB//CD,AD=DC=BC=2,NABC=60°,

所以梯形ABCD为等腰梯形，NA0C=NBCO=12O°.

因为AD=£)C,ZA£)C=120°，所以ND4C=NACO=30°,所以

ZACB=ZBCD-ZACD=120°-30°=90°,即

Be

所以AC=BCtan600=2G，AB=——=4.

cos60°

因为PC=BC=2,PB=2母，所以PC?+BC?=PB?，所以PCJ_5C.

又4。匚面抬。，「。＜=面%。，4。PC=C,

所以BC1面PAC.

在△ZAC中，ZPAC=ZACP=30°,ZAPC=120。,作出其外心。如图所示:

所以O'A=OP=O'C=2,NPO4=ZPO'C=60°.

过O'作O'O//BC,由球性质可知，三棱锥尸一ABC外接球的球心。必在直线0'0上.

设外接球的半径为「，由球的性质可得：=忸小，即2J7万=2,解得：产=5.

所以三棱锥P-ABC外接球的表面积为S=4兀/=20n.

故答案为：2()71.

7T

16.已知椭圆G和双曲线G有共同的左、右焦点K，K，M是它们的一个交点，且/耳知鸟=?,记G和G

的离心率分别为4*2,则e,e2的最小值是.

【答案】显

2

【解析】

【分析】设椭圆的长半轴长为q，双曲线的实半轴长为火，根据椭圆及双曲线的定义可解出|朋耳|，|摩卜

2->/22+V2

结合|耳勾=ZF,MF=^,根据余弦定理列式，可得方程

2c,2I-+----2=4,最后根据基本不等

eie2

式答案.

【详解】不妨设M为第一象限的点.

如图，设椭圆的长半轴长为％,双曲线的实半轴长为出，

则根据椭圆及双曲线的定义知|吗|+|M4|=2q,制4卜22，

所以眼耳1=4+4，=q-%,

设出用=2c在中，NRMF?71

4

由余弦定理得，4c之（Q[+）-+（%-〃2）--2（Q]+生）（4-。2）COS",

化简得（2-夜）a：+（2+夜）a；=4。2,

2-V22+V2

即=4（0<q<1,e2>l）,

所以4="g+Wz2

e\e2

所以"V等’当且仅当十二等时’即d=¥，e；=音等号成立，

所以，e,的最小值为正

2

故答案为：显.

2

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜21题为必考题,

每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

(一)必考题：共60分.

17.己知的内角A,3,C所对的边分别为a,仇c,且a(sinA-sinC)+csinC=bsinB.

(1)求角B；

(2)若匕=5,求周长的最大值.

【答案】⑴-

3

(2)15

【解析】

【分析】(D利用正弦定理、余弦定理化简已知条件，求得cosB,由此求得8.

(2)利用正弦定理将二ABC的周长用角来表示，结合三角函数的知识求得周长的最大值.

【小问1详解】

22»21

由正弦定理得a2-ac+c2=b2,由余弦定理得cosB=",

2ac2

由于8€(0,兀)，所以3=方.

【小问2详解】

由正弦定理得一日一=一竺=一匚，

sinAsinBsinC

a_c_5_

sinAsinC735/3，

T

"平sinA,c=

—sinC,

6百

ABC的周长为

a+b+c=%inA+半sinC+5=%inA+%inT5

v37373-4

101.

sinA+cosA+—sinA+5

27

=5\Z3sinA+5cosA+5=1OsinIA+看)+5,

,兀71571

由于,AH----G

66'T

所以sin]A+2卜^1,1,10sin^A+^e(5,10],10sin^A+|^+5e(10,15]

当A+g=5,即A=1时，10sin(A+£]+5=15

所以周长的最大值为15.

18.甲、乙两家公司生产同一种零件，其员工的日工资方案如下：甲公司，底薪140元，另外每生产一个

零件的工资为2元；乙公司，无底薪，生产42个零件以内(含42个)的员工每个零件4元，超出42个的

部分每个5元.假设同一公司的员工一天生产的零件个数相同，现从这两家公司各随机选取一名员工，并

分别记录其30天生产的零件个数，得到如下频数表：

甲公司一名员工生产零件个数频数表

生产零件个数3839404142

天数59565

乙公司一名员工生产零件个数频数表

生产零件个数4041424344

天数39693

若将频率视为概率，回答以下问题：

(1)现从记录甲公司某员工30天生产的零件个数中随机抽取3天的个数，求这3天生产的零件个数都不

高于39的概率；

(2)小明打算到甲、乙两家公司中的一家应聘生产零件的工作，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学

的统计学知识为小明做出选择，并说明理由.

13

【答案】(1)—

145

(2)小明应该选择到甲公司应聘，理由见解析.

【解析】

【分析】(1)根据甲公司员工生产零件个数频数表以及古典概型概率公式计算可得结果;

(2)设甲公司员工的日工资为X，则X的所有可能取值为：216,218,220,222,224,求出X的分布列

以及数学期望；设乙公司员工的日工资为y,则丫的所有可能取值为：160,164,168,173,178,求出y的

分布列以及数学期望，比较两个数学期望的大小可作出选择.

【小问1详解】

记”这3天生产的零件个数都不高于39”为事件〃，

13

则P(M)

145

13

所以这3天生产的零件个数都不高于39的概率为百

【小问2详解】

设甲公司员工的日工资为X,

当生产零件个数为38个时，X.=38x2+140=216元,

当生产零件个数为39个时，X.=39x2+140=218元,

当生产零件个数为40个时，X=40x2+140=220元,

当生产零件个数为41个时，X.=41x2+140=222元,

当生产零件个数为42个时，X.=42x2+140=224元,

5103

又P(X=156)=±=±,P(X=158)=—=—,

3063010

p(X=16())=』=LP(X=162)=—

306305

51

一=

P(X=164)6-

30

所以X的分布列为:

X216218220222224

3j_J_

p

610656

所以£(*)=216*2+218乂2+220*,+222、1+224乂！=219.8元.

610656

所以甲公司员工的日工资的平均值为219.8元.

设乙公司员工的日工资为丫，

则当生产零件个数为40个时，y=40x4=160元,

当生产零件个数为41个时,Y=41x4=164元，

当生产零件个数为42个时,y=42x4=168元，

当生产零件个数为43个时,y=42x4+5=173元，

当生产零件个数为44个时,¥=42x4+2x5=178元,

3193

又p（y=i60）=3=—,p（y=164）=—=—,

30103010

p（Y=168）=M（,”=173）9__3_

30-l0

31

p（y=178）=—=—,

3010

所以y的分布列为:

Y160164168173178

1331

P

101051010

13131

所以E（y）=160x—+164x3+168x—+173x—+178x—=168.5元.

101051010

所以乙公司员工的日工资的平均值为168.5元.

因为168.5<219.8,所以如果仅从日工资的角度考虑的话，小明应该选择到甲公司应聘.

19.在四棱锥P-ABCD中，平面PAD，底面ABCD,底面ABCD是菱形,E是PO的中点，Q4==3,

AB=2,NABC=60°.

(1)证明：PB〃平面EAC；

(2)求直线EC与平面以8所成角的正弦值.

【答案】(1)证明见详解

⑵迦

35

【解析】

【分析】（1）构造中位线，通过线线平行证明线面平行;

（2）建立空间直角坐标系，先求平面必8的法向量，再求EC与法向量所成角的余弦值，再得到结果.

【小问1详解】

如图1,连接BO，设AC与交于点尸，连接EE.

因为底面ABCD是菱形，所以尸为BO的中点，又E是尸。的中点,

所以EFHPB，又£Fu平面EAC,PB0平面EAC,

所以PBH平面EAC-,

如图2,取A£＞的中点0.

在中，PA=PD=3,A5=AD=2,。为A£＞的中点，所以P01AZ），

所以PO=yJPD2-OD2="一1=20・

因为平面底面ABCQ,平面Q4DC底面A8CZ）=A£）,

所以PO1底面ABC。，又OCu底面ABC。，

所以POJ_OC.

在菱形ABCQ中，AB=2,ZABC=60°,所以△4BC与△AC。是等边三角形,

所以OCJ_A£>,AC=2,OC=5

以。为原点，OC为x轴，为），轴，0P为z轴建立空间直角坐标系,

则0(0,0,0),A(O,-1,O),£>(0,1,0),C(V3,0,0),网石,-2,0),P(0,0,2间,

UUD（6,-今-夜），岌=（3-1,0）

则EC,P4=,-

ABn=O

设〃=（x,y,z）为平面Q46的一个法向量，则＜

PAn=Q

y/3x-y=0广弥r-

即＜r-,令X=1,则y=百,z=---->则〃=（1,^3,-

-y-2\]2z=0.4

V3-TT4Vio

后屈35

---x----

24

所以直线EC与平面所成角的正弦值勺叵.

35

22

20.已知双曲线C:二-4=1（4＞0,。＞0）的右焦点为厂（2,0）,且点Q（0,6）在双曲线C上.

ab

（1）求双曲线C的方程;

（2）过点F的直线与双曲线C的右支交于A,B两点,在x轴上是否存在不与尸重合的点P,使得点F到

直线布，P8的距离始终相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

2

【答案】（1）x2-^-=l

3

（2）存在，2（3，°），理由见解析

【解析】

【分析】（1）首先得C=2,再将点。的坐标代入双曲线方程，联立方程求解/,力2,即可求双曲线方程;

（2）假设存在点P（〃,o）,据题意设43/=阳+2（m。0）,联立方程得到x+%，再由点尸到

直线PAPB的距离相等可得即人+即3=。，由此代入式子即可求得点P坐标，再考虑斜率不存在的情况即

可

【小问1详解】

由题意得，c=2,

2__3_

所以■一记1

所以"=1，b?=3,

a2+〃=4

所以双曲线C的标准方程为/-工=1；

3

【小问2详解】

假设存P（〃,o）,设A（X［，x）,B（X2，y2）,

由题意知，直线斜率不为0,设直线AB:X=〃？+2（/〃HO）,

x=my^2

,消去x,得（3〃，-1）丁2+］2m），+9=0,

联立《2y2.

X---------=1

3

则3.-100,A=(12^)2-4x9(3机2-1)=36(>+1)>0,

12m9

且y+%=

3m2-1

因为使得点尸到直线PA,PB的距离相等，所以尸尸是/A尸8的角平分线,

XI%=0，则乂(/?^2+2—〃)+%(阳i+2—〃)=0,

则kpx+kPB=O,即

x[-nx^-n

整理得2"%必+（2-〃）（y+必）=0,故2”：x9—（2”）*126=0,

3m-13m~-1

即3根一2加（2-/）=0,因为加。0,所以〃=g,此时

当直线的斜率不存在时，根据抛物线的对称性，易得尸（g,o）也能让点尸到直线网，PB的距离相等;

综上所述，故存在尸（g,。］满足题意

21.已知函数/（x）=e"'-gax2-x-l.

（1）当时，证明：对任意的xNO,都有/（x）2o；

n1

（2）证明：＞21n（n+l）-nln2（A:eN\neN）.

人=ik

【答案】(1)见解析(2)见解析

【解析】

【分析】证明四2a("+1),所以/'(%)=四5—以一12(a—l)(ar+l)»O,求函数/(x%,,20即

可.

根据21n(〃+l)=2(ln：+ln|+lng++ln等)原题可以转化证明

»1"C1A,j11/1\2

^->^21nI+--^ln2,也就是证明〃>-1+-结合第一问可得.

*-=1k*=i\A=I2\k)

【小问1详解】

设函数g(x)=e*-x-l,g<x)=e*-l,x>0/.^,(x)=ex-l>0

.•.8(》)在［0,+8)上单调递增，，8(%)28(0)=6°-0-1=0,即e*2x+l

e6U>ax+\.'.ae^>a(ax+l)

又因为/'(x)=ae""一办-12a(ax+l)-(tzx+l)=(a-l)(at+l),因为a?l,x>0

所以(a-l)(分+1)20,即以'(X)NO在［0,+8)恒成立,所以7•(x)”(O)=e°-O-O-l=O,得证.

【小问2详解】

.,z八…，234”+11/2,3,4,〃+1)

v7V123nJ［\23nJ

/Ar_|_1J/1

=^2In----,而〃ln2=2,欲证^―>21n(^+l)-/?ln2(Z:eN\z?eN")

k=ik2=1k=1k

也就是证对WZwN"!>2In卜+，］一In2即可.

即证l+工-Zln2

k=\Kk=T\K)k=\k\k)

即证(>ln+，即证%>：［+£)，观察可知与/(x)有关系,

由(1)知a=l时/(6=6'-；%2-］-120对》20恒成立

即12,/+1+1>,/+1+,='(犬+1)2,故1=,得J>，［1+工］证毕.

2222'，k2lk)

(二)选考题：共10分.请考生从第22,23两题中任选一题作答.如果多做，则按所做的

第一个题目计分.

［选修4-4：坐标系与参数方程］

r~

22.在平面直角坐标系xOy中，直线/的参数方程为.3+'3/（/为参数）.以坐标原点为极点，x轴

y=2+，

的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为p--=4sin6».

P

（1）求直线/的普通方程和曲线C的直角坐标方程；

1I

（2）设直线/与y轴交于点A,与曲线C交于M,N两点，求=7丁+不7商的值.

【答案】⑴/:x-百y+6=0；C:f+（），-2）2=9

⑵口

64

【解析】

X=OCOS0

【分析】（1）通过直线的参数方程，通过消参得到直线的普通方程；通过＜.八将曲线C化成直角

y=psm0

坐标即可.

（2）首先求出点A的坐标，再利用直线参数方程中参数的几何意义，将直线/代入曲线。的直角坐标方程，

结合韦达定理即可求解.

【小问1详解】

因为直线/的参数方程为a为参数），

y=2+1

所以直线/的普通方程为+石=0；

己知曲线C的极坐标方程为。一£=4sin6,化简整理得：02-4Qsine-5=0.

BPWx2+y2-4y-5=0,化简整理得曲线C的直角坐标方程为f+（y—2丫=9.

【小