2023年黑龙江省佳木斯市普通高校对口单招数学自考真题(含答案)

2023年黑龙江省佳木斯市普通高校对口单

招数学自考真题（含答案）

学校:班级:姓名:考号:

一、单选题（10题）

1.函数y=sinx+cosx的最小值和最小正周期分别是（）

A.--

B.-2,2兀

C.

D.-2,7i

2不等式的解集为（）o

1U（L+S）

-8,1U（L+s）

—,1

13

D.

3.A=0,是AB=。的()

A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4已知点A(l,-1),B(-l,1),则向量为()

A.(l,-1)C.(0,0)D.(-2,2)

5.函数〃x)=-3+ax-/在(_,3)上单调递增，则a的取值范围是()

A.a>6B.a<6C.a>6D.-8

等差数列｛%｝中，/=-5,a2=-1则/=

6.

A.3B.8C.l/2D.4

7.若lgx<l,则x的取值范围是()

A.x>0B.x<10C.x>10D.0<x<10

8.A他是AAB寸的()

A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.无法确定

9.若不等式x2+x+c<0的解集是3-4<x<3｝,则c的值等于()

A.12B.-12C.11D.-11

10.直线以仙互相平行的一个充分条件为()

A.以品都平行于同一个平面

B.仙与同一平面所成角相等

C.'】平行于4所在平面

D.他都垂直于同一平面

二、填空题（10题）

11.101g2=_o

12.从某校随机抽取100名男生，其身高的频率分布直方图如下，则身

高在［166,182］内的人数为

13.椭圆9x2+16y2=144的短轴长等于

14.已知点A(5,-3)B(1,5)1~4'，则点P的坐标是

15.

设f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当xe[-i，1)时，f

尸."柒门贝Y"—-.

函数y=2sin(2.v_£)的最小正周期是

6

若点P(m,-5)在曲线x-,xy+3y=0上，

]7贝"*_____________

18.在4ABC中，若acosA=bcosB,则AABC是一三角形。

19.过点A(3,2)和点B(-4,5)的直线的斜率是.

20.

如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为67°,30°,此

时气球的高是46m,则河流的宽度BC约等于_____________m.(用四舍五入法将结果精确到

个位.参考数据：sin67°-0.92,cos670-0.39,sin370-0.60,cos370~0.80,\fz

-1.73)

三、计算题(5题)

21.己知直线1与直线y=2x+5平行，且直线1过点(3,2).

(1)求直线1的方程；

⑵求直线1在y轴上的截距.

22.已知函数y=0cos2x+3sin2x,x£R求：

(I)函数的值域；

(2)函数的最小正周期。

23.己知｛斯｝为等差数列,其前n项和为Sn,若a3=6,S3=12,求公差d.

1—x

己知函f(x)=loga------,(a>0且a*)

24.1+x

(1)求函数f(x)的定义域；

(2)判断函数f(x)的奇偶性，并说明理由。

25.求焦点x轴上，实半轴长为4,且离心率为3/2的双曲线方程.

四、简答题(10题)

26.四棱锥S-ABCD中，底面ABOD为平行四边形，侧面SBC_L底面

ABCD

(1)证明：SA±BC

27.以点(0,3)为顶点，以y轴为对称轴的抛物线的准线与双曲线

3x2-y2+12=0的一条准线重合，求抛物线的方程。

28.已知向量a=(1,2),b=(x,1),|i=a+2b,v=2a-b且(i//v；求

实数X。

29.已知函数〃.=在牙(。＞°.且a*1),且"一"=1

(1)求a的值；

(2)求f(x)函数的定义域及值域.

30.组成等差数列的三个正数的和等于15,并且这三个数列分别加上

1、3、5后又成等比数列，求这三个数

31.化简a2sin(-l3500)+b2tan405°-(a-b)2cot7650-2abcos(-1080°)

32.数歹ijSJ的前n项和Sn,且a】=Laz=S*/=123求

（1）a2,a3,34的值及数列区：的通项公式

（2）a2+&4+a6++a2n的值

21

33.由三个正数组成的等比数列，他们的倒数和是正，求这三个数

34.已知足是等差数列的前n项和，若勺=一5,&=345.求公差在

35.已知等差数列⑶｝,a2=9,a5=21

（1）求｛an｝的通项公式;

（2）令bn=2n求数列｛bn｝的前n项和Sn.

五、解答题（10题）

36.李经理按照市场价格10元/千克在本市收购了2000千克香菇存放人

冷库中.据预测，香菇的市场价格每天每千克将上涨0.5元，但冷库存

放这批香菇时每天需要支出费用合计340元，而且香菇在冷库中最多

保存110天，同时，平均每天有6千克的香菇损坏不能出售.

(1)若存放X天后，将这批香菇一次性出售，设这批香菇的销售总金额

为y元，试写出y与X之间的函数关系式；

(2)李经理如果想获得利润22500元，需将这批香菇存放多少天后出

售？(提示：利润=销售总金额一收购成本一各种费用)

(3)李经理将这批香菇存放多少天后出售可获得最大利润？最大利润是

多少？

37.若xW(0』),求证：log3X3<log3X<X3.

38在Z^ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且bcosC=(3a-c)cosB.

⑴求cosB的值；

°、若B4•BC=2,b=2后求a和c的值.

39.已知函数f(x)=log21+x/l-x.

(1)求f(x)的定义域；

(2)讨论f(x)的奇偶性；

(3)用定义讨论f(x)的单调性.

40.已知椭圆的两焦点为F(l,0),F2(l,0),P为椭圆上的一点，且

2|FIF2|PFI|+|PF2|.

(1)求此椭圆的标准方程；

（2）若点P在第二象限，ZF2FIP=120°,求△PF1F2的面积.

41.如图，在四棱锥P—ABCD中，平面PAD平面ABCD,AB=AD,

NBAD=60。，E,F分别是AP,AD的中点.连接BD求证：

（1）直线EF//平面PCD;

⑵平面BEF_L平面PAD.

已知函数（（,）.1….

42.।，！（1）在给定的直角坐标系中作出函

•••W•,♦、♦•

-3为IZ±4：«

数f（x）的图象；（2）求满足方程f（x）=4的x的值.

43.

某人在银行参加每月1000元的零存整取储蓄，月利率是按单利（单利是指如果储蓄时间

超过单位时间，利息不计入本金，上一单位时间给予的利息不再付利息）0.2%,计算，问

12个月的本利合计是多少？

44.

在半石支角出标生AQ中.总心夕（0<〃<2,?<夕<兀）的顶点与原点。直合，为立

53

与工就的正本总支合，然边分别与单住塞文于48访点，A8雨点的纵出林分词为心.三.

ri）求【an0的值；rnJ求AAO8的面色.

45.设椭圆x2/a2+y2/b2的方程为点0为坐标原点，点A的坐标为（a,

0）,点B的坐标为（0,b）,点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|直线

y3

OM的斜率为I.

（1）求E的离心率e

（2）设点C的坐标为（0,-b）,N为线段AC的中点，证明：MN±AB

六、单选题（0题）

用列举法表示小于2的自然数正确的是（）

46.

A.{l,0}B.{1,2}C.{1}D.{-l,l,0}

参考答案

l.A

三角函数的性质，周期和最值.因为y="w"『；；，所以当x+7r/4=2k7i-

?i/2k£Z时，ymin=T=2TL.

2.C

3.A

A是空集可以得到A交B为空集，但是反之不成立，因此时充分条

件。

4.D

平面向量的线性运算.AB=(-1-1,1-(-1)=(-2,2).

5.A

由题意可得：函数/(力)为二次函数，其图像抛

物线开口向下，对称轴方程为：f

.•£23时满足题意，

」.Q26

6.A

7.D

对数的定义，不等式的计算.由lgx<l得，I,'所以0<x<10.

8.A

A=O=MC8=0,充分性一定成立；

反之,未必有.4=0,故必要性未必成

立.

9.B

10.D

根据直线与平面垂直的性质定理，D正确。

11.1g1024

101g2=lgl024

12.64,在［166,182］区间的身高频率为(0.050+0.030)x8(组距)

=0.64,因此人数为100x0.64=64o

13.

/+y2_i

将椭圆9/+16峭=144化为标准式定+例T

丁~W

.,•短轴长为2x券=2x^=6

14.(2,3),设P(x,y),AP=(x-5,y+3),AB=(-4,8),所以

x-5=(-4)*(3/4)=-3；得x=2；y+3=8*(3/4)=6；得y=3；所以P

(2,3).

15.1

16.71

17.-5或3

由acosA=bcosB以及正弦定理可得

sinA_a_=cosB

sinBbcosA

即sinAcosA=sinBcosB=gsin2A=gsin2B

所以2A=2B或2A=180°-2A

所以A=B或A+B=90°

18.等腰或者直角三角形，所以^ABC是等腰三角形或直角三角形

19.

3

-7

20.

过A点作AD垂直于CB的延长线，垂足为D,

贝ijRtAACD巾，ZC=3O°,AD=46m

/•CD=一丝「=466=79.58m.

tan30

又,「RtaABD中，/ABD=67°,可得BD=一坐「共'"5m

tan670.92

:.BC=CD-BD=79.58_19.5=60.08^60m

故答案为：60m

21.解：⑴设所求直线I的方程为：2x-y+c=0

•；直线1过点(3,2)

/.6-2+c=0

即c=-4

...所求直线I的方程为：2x-y-4=0

(2)•.•当x=0时，y=-4

直线I在y轴上的截距为-4

22.

:解：y=>/3cos2x4-3sin2x

=2>/J(；cos2x+半sin2x)

=2>/3(sin—cos2x4-cos^sin2x)

=2>/Jsin(2x+令

(1)函数的值域为[-26,20].

(2)函数的最小正周期为丁=女=冗.

2

23.

解：因为a3=6,S3=12,所以S3=12=3(4+4)=3(4+6)

22

解得ai=2,33=6=ai+2d=2+2d,解得d=2

24.

解：(1)由题意可知：—>0,解得：

1+X

函数/(X)的定义域为1)

(2)函数〃x)是奇函数，理由如下：

/(-X)=logfl---=log。--=-loga--=

1+(-x)\-x1+X

函数/(x)为奇函数

25.解:

实半轴长为4

/.a=4

e=c/a=3/2,Ac=6

.讨=16,b=c2-a=20

S1

x.Z.

双曲线方程为16

26.证明：作SO，BC,垂足为0,连接A0

•.•侧面SB_L底面ABCD

.•.SO_L底面ABCD

,.,SA=SBr.OA=OB

XVABC=45°.,.AOB是等腰直角三角形

贝!]0A±0B得SA±BC

27.由题意可设所求抛物线的方程为J=3)(P»)

y-3=一P

准线方程为2

则y=-3代入得：p=12

所求抛物线方程为X2=24(y-3)

28.

〃=a+》=(L2)+(x,l)=(2x.l4)v=(2-x,3)

|V/v

1

X=—

(2x+1.4)=(2-x,3)得2

/(-1)=Jl-G=

29.(1)

1-a'1=—a」=工,即a=2

22

/(X)=71-2,x<0

-函数“xK定义域为(-8⑼

v2*>0,0<l-2yL/(x)€[0.1)

(2)函数面值域为(-oo.O]

30.

解:设组成等差数列均三个数为a~d,a+d依题意

a—d+a+a+d=15

(a-d+IXa+d+9)=(a+3>

得:u=5,和d=2或d=—10

当a=5,d=2时,这三个数分别是3,5,7

当a=5,d=—10时,这三个数分别是15,5,—5

31.原式=/8m(-4x%00++/tan(360°+45°)-(a-i)acot(2x3600+45°)

-2abcos(-3x360°+45°)-2abcos(-3x3600)

=a3sin900+63tan450-cot450-2abcosO

=a'+b-(a—A)'—2ab=0

32.

一、,1<,I1416

(1)=l,a,.,=-5„,a,=",=',<»5=~,a=—

jJy4z/

-3S.(it>2)

则%if押

则数列从第二项起的公比是g的等比数列

(2)%+4+鸿)—]

33.设等比数列的三个正数为1,a,aq

-+a+<jqr=2l,-+-+-=—

由题意得(？aaaq

2

解得，a=4,q=l或q=K

解得这三个数为1,4,16或16,4,1

34.根据等差数列前n项和公式得

15x14

345=(-5)xl5+-i^y-x(af

解得：d=4

35.(1)V35=32+3dd=4a2=ai+d

/.an=ai+(n—1)d=5+4n-4=4n+1

^*♦1_74=16

⑵…―16

.•.数列&:为首项bi=32,q=16的等比数列

032(1-16,)32(16,-1)

--------------------

11-1615

36.(1)由题意，y与x之间的函数关系式为y=(10+0.5x)(2000-6x)=-

3x2+940x+20000(l<x<l10).

⑵由题(-3x2+940x+20000)-(10x2000+340x)=2250。;化简得，x2-

200x+7500=0;解得xi=50,X2=150(不合题意，舍去)；因此，李经理

想获得利润22500,元，需将这批香菇存放50天后出售.

(3)设利润为w,则由(2)得，w=(—3x2+940x+20000)-

(10X2000+340X)=-32+600X=-3(X-1OO%因此,当x=100时，

wmax=30000;又因为1000(0,110),所以李经理将这批香菇存放100

天后出售可获得最大利润为30000元.

37.

证明：先证明IOg3X3<log3X,

因为当X€(0,l),X>X3

又因为y=iog3X,在x€(o,i)内是增函数

3

所以log3X<log3X

再证明logsX<X3,

3

当xe(o,i)时，iog3x<o,x>o

3

所以log3X<log3X.

38.

解:

(l)SAABC中设」一=—^一=’一二2R

sin力sin5sinC

则：a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC

bcosC=(3a-c)cosB

:.2RsinBcosC=(3,2RsinA-2RsinC)c)3sB

即：sinBcosC=3sinAcosB-sinCcosB

sinBcosC+cosBsinC=3sinAcosB

sin(B+C)=3sinAcosB

sin(180°-A)=3sinAcosB

sinA=3sinAcosB

sinA1

..cosB=----------二—

3sinJ3

(2)依题意如右图所示

VK4•BC=|04||BC|COSB=|ac=2

联立①⑵解得

a=c-R

39.⑴要使函数f(x)=log21+x/l-x有意义,则须l+x/l-x>0解得-IVxV

1,所以f(x)的定义域为｛X|-1VX<1｝.

(2)因为f(x)的定义域为｛x卜1VxVl),且f(-x)=log2(l+x/l-x尸=-log

21+x/l-X=-f(X).所以f(x)是定义在(-1,1)上的奇函数.

(3)设-1VX1VX2<1,则f(xl)-f(X2)=log1+X1/1+X2=log(1+X1)(1-X2)f(1-

所qi-<1

———•hV1•所Ulagt<,'一•一■)

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i.nfit.

X1)(1+X2)V-1<X]<X2<1

40.

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""I，心儿，。旨打.故・,2.要求。

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(2)改尸篇矛"力。.y)./-I,y>0,

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41.(1)如图，在APAD中，因为E,F分别为AP,AD的中点，所以

EF//PD又因为EF不包含于平面PCD,PD包含于平面PCD,所以直

线EF〃平面PCD.

(2)因为AB=AD,NBAD=60。，所以4ABD为正三角形.因为F是AD

的中点，所以BFJ_AD因为平面PAD_L平面ABCD,所以BF包含于

平面ABCD,平面PADD平面ABCD=AD,所以BF_L平面PAD又因

为BF包含于平面BEF,所以平面BEFJ_平面PAD.

42.

-T一】•121

的图

{-x+1,T<1

象如F：

(2)当工》1时.由工一1=4.得1=5.当工VI

时•由一工+1=4.得］=-3.故满足/(x)=4

的I的值为-