2022年高考数学模拟自测题（根据以往高频出现知识点编辑）(八)

2022年高考数学模拟自测题（根据以往高频出现知

识点编辑）021

单选题（共8个，分值共：）

1、设函数/（"）=〃在区间网上存在零点，则/+〃的最小值为（）

叵

A.«B.2c.7D.3e

答案：B

解析：

设t为/（X）在［°局上的零点，可得e'+a（1）+6=0,转化为点（。力）在直线（一》+，+d=0上，根据/+/

02r

a'+h'>----；—g⑺=-----;—

的几何意义，可得"-I）+1,令"-1）一+1,利用导数求得函数的单调性和最值，即可得答案.

【本题详解】

设t为/⑶在［°力上的零点，则1）+〃=0,所以Q-l）a+6+d=°,即点（。向在直线

(r-l)x+y+el=0

又«2+/表示点（"/）到原点距离的平方，则

e2'

a2+b2>

即Q-lF+l

,,、2e2'(t2+2-2t)-e2'(2t-2)2/'(产-3f+3)

g(‘)=7~~7g(Z)=-----------------S----------------9---------------=-------3-----------------z—

令(r-1)-+1,可得(r2+2-2r)2(r+2-2r)2

因为">（），产-3，+3>O,所以g'⑺>0,得g⑴在［。，1］上为单调递增函数,

g«)mM=g(0)=M

所以当t-0是,

叵

所以^+从的最小值为2.

所以正确答案为：B.

【点睛】

解题的关键是根据/+从的几何意义，将方程问题转化为求距离问题，再构造新函数，利用导数求解，分析、

计算难度大，属难题.

n

/(x)=sinx+一

2、已知3若关于x的方程（m为常数）在（0、2）内有两个

不同的解。，夕，则sin%+sin”=()

A.3—2mB4/n—3c.w2—1Qnr+1

答案：A

解析：

根据诱导公式、同角的三角函数关系式，结合换元法、二次函数的对称性进行求解即可.

【本题详解】

sinx+sin2(xH--1■一)=机nsinx+cos2x=m=sinx+1-sin°x=相

所以63

/n=sinx+l-sin2x=-(sinx---)2+—

整理得：24,

xe(0,一).

因为2,所以sinxe(0,l),令sinx=f

显然该函数的对称轴为‘一万,

即函数

n

因为关于x的方程（m为常数）在（O'5）内有两个不同的解a,夕，所以有

sinoc+sin—2x—=1...2.n,2

2,sina+1-sina=/n,sinp+1-sin^p-m

因此sin2a+sin2P=sina+1-/n+sin/?+1-/n=3-2/n

所以正确答案为：A

3、下列函数中，定义域是R且为增函数的是（）

A.y=o-5'c.y=lnxD,y=«

答案：A

解析：

由定义域为R可排除C,D选项，由选项B在R上为减函数可排除，从而得出答案.

【本题详解】

由函数y=lnx的定义域为（O,+8）,y=4的定义域为［0，+8）,则排除c,D选项

函数＞=05'在R上为减函数可排除B.

2

函数y=x，的定义域为R,且在R上为增函数，所以正确答案为项A满足题意.

所以正确答案为：A

4、在AABC中，4、£）8、NC所对的边分别为〃、6、J若一§,a=6,b=&,则4=（）

R兀冗兀

A.6B.4c.3D.2

答案：B

解析：

利用正弦定理，以及大边对大角，结合正弦定理，即可求得民

【本题详解】

■=五

a_b>/3sinB

根据题意，由正弦定理sinA「sinB,可得：万，

.V20k37r

sinBD=——B=——

解得2,故可得4或4,

B=-

由。>比可得A>8,故4.

所以正确答案为：B.

5、2021年4月，四川省广汉市的三星堆遗址出土了数百件瑰奇文物，考古专家对现场文物样本进行碳14年

代测定，检测出碳14的残留量约为初始量的66%,已知碳14的半衰期是5730年（即每经过5730年，遗存

材料的碳14含量衰减为原来的一半）.则该遗址距今约（）（参考数据：3,0.30,3=0.48,他11=1.04）

A.3200年B.3262年C.3386年D.3438年

答案：D

解析：

（-）™»=0.66

设时间经过了x年，则2,结合参考数据计算得到答案.

【本题详解】

设时间经过了X年,则（5）一"66,即（57娇）'=0.66,

,八21g0.66lg2+lg3+lgll-20.30+0.48+1.04-2

log"版0.66=s=]=3438

]（1）5730-lg2x-----0.30X----

双g2）57305730

所以正确答案为：D.

6、已知则下列不等式一定成立的是（）

3

a+bc1a-\-bc1

----<—----<—

A.b+accB.b+aca

a+hca+hc

----<c----<a

C.t>+acD.b+ac

答案：D

解析：

通过作差法来判断每一个选项.

【本题详解】

a+bc1=ac+bc2-b-ac="ITQa+bc1

对于A,b+acc(b+ac)c0+ac)c,当时，(b+ac)c,即匕+oc>c,则八错误;

a+bc1_a2+abc-b-ac_a^a-c^+b^ac-\)

b+aca

对于B,[b+ac)a(b+ac)a,当q>c>l时，«-c>O,ac>l(则

a(a-c)+b(ac-l)a+bc1

\b+ac)a,即6+aca,则B错误；

a+bc_a+bc-hc-ac2_〃(1一。~)〃。一，)八a+bc

----->0---->c

对于C,b+ach+ach+ac,当0<c<l时，1-c2>0则b+ac,即b+ac

则C错误;

a+bca+bc-ab-a2ca(l-6)+(b-叫c/、

对于D,异b+acb+ac-，因为a>°>Lc>0,所以a(l4)<0，(人叫c<。,

“1-。)+伍一"，(0a+bc

----<a

所以b+ac即"“c,则D正确.

所以正确答案为：D

7、在平面直角坐标系xOy中，点(0,4)关于直线x—y+l=0的对称点为()

A.(-1,2)B.(2,-l)C.(1,3)D.(3,1)

答案：D

解析：

设出点(0,4)关于直线的对称点的坐标，根据题意列出方程组，解方程组即可.

【本题详解】

解：设点(0,4)关于直线x—y+l=0的对称点是(a,b),

b+4_

+1=0

~2~

b-4_]a=3

则a,解得:b=l

所以正确答案为：D.

4

y=3sin7ix---.

8、要得到函数.I3J的图象，只需将函数y=3snvrx的图象（）

A.向左平移多个单位长度

乃

B.向右平移多个单位长度

\_

c.向左平移§个单位长度

D.向右平移3个单位长度

答案：D

解析：

只要确定/（x）=Asin（0x+e）的起点，然后再进行比较就可以确定如何平移.

【本题详解】

y-3sin|/rx--]=3sin^|x——|y=3sin[7rx--\

因为I3JI3人所以要得到函数.I3J的图象，只需将函数y=3snvrx的图

象向右平移§个单位长度.

所以正确答案为：D

多选题（共4个，分值共：）

9、定义域和值域均为[-a,©（常数a>0）的函数y=f（x）和y=g（x）图象如图所示，给出下列四个命题，那

么，其中正确命题是（）

A.方程Hg（x）]=0有且仅有三个解

B.方程g[f（x）]=0有且仅有三个解

5

C.方程/[/(x)]=0有且仅有九个解

D.方程g[g(x)]=0有且仅有一个解

答案：AD

解析：

通过利用t=f(x)或t=g(x),结合函数y=f(x)和y=g(x)的图象，分析每个选项中外层函数的零点，再分

析外层零点对应的直线与内层函数图象的交点个数，即可得出结论.

【本题详解】

解：对于A中，设t=g(x),则由/'[g(x)]=O,即f(t)=0,

由图象知方程/(t)=0有三个不同的解，设其解为t2,J，

由于y=g(x)是减函数，则直线y=t(0<t<a)与函数y=g(x)只有1个交点，

所以方程ti=g(x),t2=g(x),t3=g(x)分别有且仅有一个解，

所以f[g(x)]=0有三个解，故A正确；

对于B中，设t=f(x),则由g[f(x)]=0,即g(t)=0,

由图象可得g(t)=0有且仅有一个解，设其解为b,可知0<b<a,

则直线y=b与函数y=/(x)只有2个交点，

所以方程门x)=b只有两个解，所以方程=。有两个解，故B错误；

对于C中,设t=/(x),若/'[/(%)]=0,即/(t)=0,

方程/«)=0有三个不同的解，设其解为ti，t2,t3,设G<t2<t3，

则由函数y=/(x)图象，可知一a</<今<0，=3=处

由图可知，直线y=G和直线y=t2分别与函数y=f(x)有3个交点，

直线y=t3=a与函数y=/(x)只有1个交点，

所以/(x)=匕或/'(久)=12或/(%)=t3共有7个解，

所以/VO)]=0共有七个解，故C错误；

对于D中,设t=g(x),若g[g(%)]=0，即g(t)=0,

由图象可得g(t)=0有且仅有一个解，设其解为b,可知0<b<a,

因为y=g(x)是减函数，则直线y=b与函数y=g(x)只有1个交点，

所以方程g(x)=b只有1解，所以方程g[g(x)]=0只有一个解，故D正确.

所以正确答案为：AD.

【点睛】

思路点睛：对于复合函数y=/[g(x)]的零点个数问题，求解思路如下：

(1)确定内层函数u=g(x)和外层函数y=f(u)；

(2)确定外层函数y=/(“)的零点a=Uj(i=1,2,3,—,n)；

(3)确定直线it=%(i=1,2,3,…,n)与内层函数a=9(x)图象的交点个数分别为由、。2、。3、…、an,则函

数y=的零点个数为的+a?+。3+…+an-

6

10、如图，已知三个两两互相垂直的半平面a,0,y交于点0,矩形2BCD的边BC在半平面y内，顶点4,D分

别在半平面a,£内，AD=2,AB=3,力。与平面支所成角为:，二面角2-BC-。的余弦值为号则同时与半

平面a,0,y和平面ABCD都相切的球的半径为()

答案：AC

解析：

如图，补形为一个长方体，然后以点。为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系。-xyz,由线面角和二

面角的定义可求得4B,。的坐标，求得平面ABC。的法向量，设平面ABCD与x,y,z轴的交点分别为：

(X,0,0),P2(0,y,0),P3(0,0,z)，将原问题进一步等价于求三棱锥。-PiP2P3的内切球半径，运用等体积法可

求得答案.

【本题详解】

解：如图所示，将矩形ABCD所在的平面，补形为一个长方体，然后以点。为坐标原点，建立如图所示的空

间直角坐标系O-xyz,

由4D=2,AD与平面a所成角为%得=&O=VL作4PJ■底面于点P,则40_L平面AP8,从而BC_L

BP,

所以NP8A即为二面角4一BC—。的平面角，即NPB4的余弦值为/则=故4P=

22

>JBA-BP=2A/2,B2P=B2B=y,4(短0,20,8(|企,专,0),£)(0,V2,2V2),

所以荏=停,y,-2V2),AD=(-V2,V2,0),

7

设平面ABCD的法向量m=(”z),则[町=(今今菖密.(”,z)*+号y-2&z=0,

AD-m=(-V2,A/2,0)•(x,y,z)=—yj2x+V2y=0

令x=2,得y=2,z=l,从而m=(2,2,1),

设平面ABCD与x,y,z轴的交点分别为：P^x,0,0),P2(0,y,0),P3(0,0,z).则可了-m=(y[2-x,0,2V2).

(2,2,1)=0,所以x=2a,^4-m=(V2,-y,272).(2,2,1)=0,所以y=2&,即•m=(夜,0,2&-z)•

(2,2,1)=0,所以z=4近，原问题进一步等价于求三棱锥。-PiP2P3的内切球半径，

由于=J(2&)2+(2位)2=4,。止3=P2P3=J(2A/2)2+(4V2)2=2VT0,

故4PJ2P3是等腰三角形，其面积为之X4^(2710)2-22=12,

三棱锥的表面积为S=(2V2x2V2+2V2x4V2+2V2X4V2)+12=32,其体积为V=；xOP】xOPx

262

*=竽

设外接球半径为R，利用等体积法有V=^SR,即5X32XR=9，;.R=¥，

同理，当球在三棱锥外面与四个面都相切时，球的半径为2金，

所以正确答案为：AC.

11、如图，在平行六面体ABCO-&B1GD1中，AB=AD=AAr,4DAB=^DAA1=^BAAr=60°,点、M,N

是棱AG，6当的中点，则下列说法中正确的是()

A.MNLAC^.向量询，BC,方瓦共面

C.C&_L平面GBDD.DM与平面4BCD所成角的正弦值为奢

答案：AD

解析：

设荏=a,AD=b,AAi=c,用基底向量表示标7,宿，求其数量积可判断4若向量前，元，函共面,

8

则存在唯——对实数4,“使得病=4而+〃两，所以1a+b+c=；lb+〃c,无解可判断B；以碇•西K

0,可判断C；平面4BCC的一个法向量为《=。+6-3以南=西+瓦而=［。+以用向量法可求线面角

的正弦值，可判断D.

【本题详解】

设AB=a,AD=b,AAX=c,AB=AD=AAX=1,则|a|=\b\=|c|=1,a-bb-c=^,a•c=

对于4:MN=-T^，AG=a+b+c,所以MN.4G=(]a—gb)•(a+b+c)=0,故4正确；

对于8:AM=AD+DD[+DrM=|a+/)+c,BC=b,BB1=c,

若向量彳而，前，西共面，则存在唯一一对实数人"使得丽=4丽+〃西，

则：a+b+c=/lb+4C，则有：=0，显然不成立，所以向量前，而，两不共面，故B错误；

对于C:241c=a+b—c,BC】=BBi+B1C1=b+c,

所以A1。,BG=(Q+b—c),(b+c)=[+[+1+g—1=1H0,所以不垂直于BC\,所以C错误;

对于D:设平面48co的一个法向量为？i=a+乃+”，

行c—n—4"^—〃=0

则有1：一2即有11212，解得4=1,〃=一3,

M・b=0工+入+~=0-

I22r

所以平面ABC。的一个法向量为n=a+b-3c,又丽=西+D^M=|a+c,

设DM与平面4BCD所成角为6,

则sin。=|cos<n,DM>1=喘黑月1二26|=^故。正确.

所以正确答案为：AD

12、设a，加ceR,且8<4<0,则下列结论一定正确的是（）

11

—>-_

A.baB.cic1>be2

C.a2>&2D.ab>a+b

答案：AD

9

解析：

根据不等式的性质判断AD,列举例子判断BC.

【本题详解】

11

—〉-

A.Q匕<。<°,同除就可得〃a,A正确；

B.当=0时，ac2=be2,B错误；

C若a-2,此时有/<从，c错误;

Dab>O,a+b<Ot故ab>a+b,D正确.

所以正确答案为：AD.

填空题(共3个，分值共：)

13、某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营.据市场分析，每辆客车营运的总利润y(单位：10万

元)与营运年数x(xe/V*)为二次函数的关系(如图)，则每辆客车营运年数为时，营运的年平均

解析：

首先根据题意得到二次函数的解析式为y=-0-6)2+11,再利用基本不等式求解(的最大值即可.

【本题详解】

根据题意得到：抛物线的顶点为(6,11),过点(4,7),开口向下，

设二次函数的解析式为y=a(x-6)2+ll(a<0),

所以7=a(4—6)2+11,解得a=—1,即y=—(%—6)2+11,

则营运的年平均利润2=—-6)2+11=12-(％+空)w12-2V25=2,

当且仅当％=交，即％=5时取等号.

X

故答案为：5.

14、(x+2)(1-2x)5的展开式中含/的项的系数是.

答案：70

解析：

由(x+2)(1-2x)5=x(l-2x)5+2(1一2x)5,求得展开式中含M项的系数.

10

【本题详解】

(x+2)(1-2x)5=X(1-2x)5+2(1-2x)s,

又(1-2x)5的展开式的一次项为己14(-2%),二次项为C£13(_2X)2

(x+2)(1-2x)5的展开式中含一项的系数为一2盘+2X42)=70,

故答案为：70.

15、已知某地一天的温度y(单位：°C)与时间t(单位：ft)近似地满足y=10-8sin£(0〈tW24),则

该地这一天的最大温差为°C.

答案：16

解析：

求出函数y=10-8sing(0<t<24)的最大值和最小值，即可得解.

【本题详解】

因为OSts24,则兀，所以，ymax=18,ymin=2,

所以最大温差为ymax—%nin=18—2=16(°C).

故答案为：16.

解答题(共6个，分值共：)

16、(1)若不等式/—ax+b<0的解集是｛幻2<x<3｝,求不等式b/-数+1>0的解集；

(2)已知两个正实数x,y满足：+：=1,并且x+2y2Tn?一2m恒成立，求实数m的范围.

答案：(1)卜|尤〈1或寸9,(2)[-2,4].

解析：

(1)利用一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系，结合韦达定理即可求出a,b,然后求解不等式

bx2—ax+1>0即可；

(2)由已知利用基本不等式求出入+2y的最小值，代入得加2一2小工8,即可.求出m的范围.

【详解】

(1)不等式%2-Q%+bv0的解集是｛x|2<%<3｝,

%i=2,%2=3是方程/-ax+b=0的两个根，

即a=5,b=6,

则不等式6/一5x+1>0的解集为｛xl%或叫卜

(2)x+2y>m2-27n恒成立，

(x+2y)mtn>rn2-2m,

%+2y=(%+2y)(|+：)=4+2+?24+2*=8,当且仅当％=2y,即％=4,y=2时等号成立，

解病—2m<8得—2<m<4,

・・.实数m的范围是[—2,4].

11

17、已知向量a,b,c,d分别表示下列位移：“向北10km"、"向南5km"、"向西10km"、"向东5km”.请说

明向量a+b,b+b,a+c,a+b+b,a+d+d的意义.

答案：答案见解析

解析：

根据a,b,c,d的意义对a+b,h+b,a+c,a+b+b,a+d+d的意义进行说明.

【详解】

向量a+匕表示“向北5km”；

向量匕+b表示“向南10km"；

向量a+c表示"向西北方向V102+102=ioyf2km"；

向量a+b+b=a+2b,表示没有位移；

向量a+d+d=a+2d,表示“向东北方向，102+1。2=ioV2/cm//.

18、已知集合4={(x,y)|y=4x—1},集合B={(x,y)|y=M+2},求集合AnB.

答案：{(1,3),(3,11)}

解析：

由交集的定义运算即可得解.

【详解】

由｛：2；；联立有♦-4%+3=0,从而可得号W或J'，

所以4nB=｛（1,3）,（3,11）｝.

19、某教练统计了甲、乙两名三级跳远运动员连续5次的跳远成绩（单位：米），统计数据如图所示.

甲运动员乙运动员

8~30-^7~9

1135

（1）分别求甲、乙跳远成绩的平均数；

（2）通过平均数和方差分析甲、乙两名运动员的平均水平和发挥的稳定性.

答案：

（1）X甲=11,X—11

（2）答案见解析

解析：

（1）利用平均数的定义直接求解即可；

（2）利用方差公式求出甲、乙两名运动员的方差，利用方差越小数据越稳定判断即可.

（1）

根据题意可知久8+9+12+12+14）=11,

1

xz=^（7+9+11+13+15）=11.

12

(2)

s'"[(8-ll)2+(9-ll)2+(12-11)2+(12-ll)2+(14-ll)2]=4.8,

s；=1[(7-11)2+(9-ll)2+(11-11)2+(13-11)2+(15-ll)2]=8.

VXV=XZ，s前<s"

.•・甲、乙两名运动员的平均水平相当，甲的发挥更稳定.

20、新冠肺炎是近百年来人类遭遇的影响范围最广的全球性大流行病，2020上半年我国疫情严重，在党的正

确领导下，疫情得到有效控制，为了发展经济，国家鼓励复工复产，某手机品牌公司响应国家号召投入生产

某款手机，前期投入成本40万元，每生产1万部还需另投入16万元.设该公司一年内共生产该款手机x万部

(400—fcx,0<x<40

并全部销售完，每万部的销售收入为万元，且满足关系式840040000已知该公司一

R(x)R(x)=I-—―>x>40

年内共生产该款手机2万部并全部销售完时，年利润为704万元.

(1)写出年利润W(x)(万元)关于年产量x(万部)的函数解析式；

(2)当年产量为多少时，公司在该款手机的生产中所获得的利润最大？并求出最大利润.

答案：

(-6x2+384%-40,0<x<40

(1)W(X)=\40000八

8360—16%---------,x>40

1X

(2)当久=50,W取得最大值为6760万元

解析：

(1)根据题意求出k值，分段分别求出利润W(x)(万元)关于产量x(万部)的函数关系式，再分段写出利

润W(x)(万元)关于年产量x(万部)的函数解析式即可；

(2)当0cxW40时，VK(X)=-6X2+384X-40,利用二次函数求出最大值，当x>40时，VIZ(x)=

8360-16X-等，利用基本不等式求出最大值，再比较两者的大小，取较大者即为W(x)的最大值.

(1)

因为生产该款手机2万部并全部销售完时，年利润为704万元.

所以2(400-2/c)-40-2x16=704,解得k=6,

(400-6xt0<x<40

则=I8400_40000%>40

根据题意有“(%)=%/?(%)一16%—40,

当0<%W40时，W(x)=x(400—6%)—16%—40=-6x2+384%—40,

4on-p、/840040000\“4ccr”“40000

当%>40时，W(x)=x(―--------\—16%—40=8360—16%-----------,

f-6%24-384%-40,0<x<40

所以18360—16・一。>40-

1X

(2)

13

2

①当0<xW40时，W=-6(x-32)+6104,所以以71ax="(32)=6104；

②当x>40时，W(x)=8360-16%-竺詈，

由于----+16%>2-------x16%=1600,

%7x

当且仅当等=16x,即x=506(40,+8)时，取等号，所以此时勿的最大值为6760.

综合①②知，当X=50€(40,+8),勿取得最大值为6760万元.

21、在全球抗击新冠肺炎疫情期间，我国医疗物资生产企业加班加点生产口罩、防护服、消毒水等防疫物品,

保障抗疫一线医疗物资供应，在国际社会上赢得一片赞誉.我国某口罩生产厂商在加大生产的同时，狠抓质

量管理，不定时抽查口罩质量.该厂质检人员从某日所生产的口罩中随机抽取了100个，将其质量指标值分

成以下五组：口00,110),[110,120),[120,130),[130,140),[140,150],得到相应的频率分布直方图.

(1)根据频率分布直方图，求。的值，并估计该厂生产的口罩质量指标值的平均值和第60百分位数：

(2)现从样本口罩中利用分层抽样的方法随机抽取20个口罩，再从这20个口罩中质量指标值位于

[120,130)U[140,150]的口罩中随机抽取2个，其质量指标值分别为m、"，求事件"|m-n|>10"的概率.

答案：

(1)a=0.02,平均值为124,第6