2023-2024学年常州溧阳市九年级上学期期中考试数学试卷（附答案详解）

1.下列关于x的一元二次方程的是()A.x²+1=0B.x²+y=5D.x²-x=3+x22.一元二次方程2x²-x(x-4)=5的一般形式是()3.方程4x²-4x+1=0C.有两个相等的实数根D.无实数根4.如图，四边形ABCD内接于OO,∠BDC=135°.则∠BAC的度数是.()A.35°B.45°5.如图，在◎O中，∠BAC=55°,分别过B,C两点作⊙0的切线，两切线相交于点P,则∠BPC的度数()A.55°B.110°C.70°6.已知O0的半径为2,直线l上有一点P满足PO=2,则直线l与O0的位置关系是()A.相离B.相交C.相切D.相交或相切7.如图，已知平面直角坐标系内三点A(3,0)、B(5,0)、C(0,4),OP经过点A、B、C,则点P的坐标为()8.如图，在平面直角坐标系中，A(4,0)、B(0,3),以点B点C为AP的中点，连接OC,则OC的最小值是()为圆心，2为半径的OB上有一动点P.连接AP,若A.1.5B.29.方程x2=0的解是10.一元二次方程x²-ax+6=0,配方后为(x-3)²=3,则a=11.关于x的一元二次方程x-x2=kx2+1的一个根是2,则k的值是14.已知圆锥的母线长为5,底面圆的直径为8,则它的侧面积为(结果保留π).15.某商品经过两次降价，售价从原来每件50元降至现在的每件32元，则平均每次降价的百分率是22.如图所示，AB是O0的直径，AB=10,CD、EF是O0的两条弦，CD⊥AB于点M,EF⊥AB于点N,(2)若点P为AB上的动点，请确定点P的位置，使得PC+PE的值最小，并求出最小值(2)若CE=1,试确定BP的长.24.某商品交易会上，一商人将每件进价为5元的纪念品，按每件9元出售，每天可售出32件.他想采用提高售价的办法来增加利润，经试验，发现这种纪念品每件提价2元，每天的销售量会减少8件.(1)若每件按11元出售，则单件利润为元，每天的销售量为件；(2)当售价定为多少元时，每天的利润为140元?25.如图，在矩形ABCD中，点O在对角线AC上，以OA的长为半径的圆O与AD,AC分别交于点E,F,(2)若BC=2AB,BC=4,求O0的半径.26.如图1,平面直角坐标系中，点P的标是(0,4),OP的半径为5,OP与x轴分别交于A、B两点，与y轴分别交于C、D两点.(2)如图2,E点坐标为(0,8),点M是OP上任意一点，作直线EM,过点B作BQ⊥EM,垂足为Q,连接PQ,直接写出PQ的最大值；(3)如图3,过点(4,0)作直线l⊥x轴，在直线1上有一个动点N,连接NA、NB,请问∠ANB是否有最大值?若有，求出点N的坐标；若没有，请说明理由.【解析】【分析】根据一元二次方程必须同时满足三个条件：①整式方程，即等号两边都是整式；方程中如果有分母，那么分母中无未知数；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2进行分析即可.B.x²+y=5,含有2个未知数，故该选项不正确，不符合题意；D.x²-x=3+x²,化简后不含x²项，不是一元二次方程，故该选项不正确，不符合题意；【点睛】此题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”;“一个未知数”;“未知数的最高次数是2”;“二次项的系数不等于0”;“整式方程”.都能化成如下形式ax²+bx+c=0(a≠0).这种形式叫一元二次方程【解析】【分析】根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解.【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键.【解析】【分析】根据圆内接四边形的性质求解即可.【详解】解：∵四边形ABCD内接于OO,∠B【点睛】本题考查圆内接四边形的性质.掌握圆内接四边形的对角互补是解题关键.∠OCP=90°,然后根据四边形内角和为360°,求解即可.【点睛】本题考查圆与直线的关系，圆心到直线的距离等大于半径相离.【解析】【分析】先由题意可知，点P在线段AB的垂直平分线上，可确定P的横坐标为4;设点P的坐标为(4,y),如图作PE⊥OB于E,PF⊥OC于F,运用勾股定理求得y即可.设点P的坐标为(4,y),【点睛】本题考查的是确定圆的条件，解题的关键是理解经过不在同一直线上的三点作圆，圆心是过任意两点的线段的垂直平分线的交点.,根据勾股定理求出BD,进而求出BE,计算即可.【详解】解：如图，取点D(-4,0),连接PD,连接BD交OB于E,在Rt△BOD中，0D=4,0B=3,【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理的应用，正确作出辅助线是解题的关键.【解析】【分析】直接开平方，求出方程的解即可.。,。,故答案为：x₁=x₂=0.【点睛】此题考查了解一元二次方程-直接开平方法，比较简单.【点睛】此题考查解一元二次方程-配方法，解题关键在【解析】【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x=2代入方程，即可求解.【详解】解：x-x²=kx²+1的一个根为2,【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义，将x=2代入方程是解题的关键.【点睛】本题考查了圆周角定理，直角三角形的特征，熟练掌握定理是解题的关键.【解析】【分析】连接线AB与O0的切点得OC,由OA=OB=连接线AB与◎0的切点得OC,故答案为：60.【点睛】本题主要考查圆的切线性质、特殊三角函数、等腰三角形的性质，掌握相关知识进行计算即可.进行计算即可.,【详解】解：依题意知母线长为5,底面半{,【点睛】本题考查圆锥的侧面积.熟练掌握圆锥的侧面积公式是解题的关键.【详解】解：设平均每次降价的百分率是x,由题意可得，故答案为：20%;【点睛】本题考查一元二次方程解决平均变化问题，解题的关键是根据题意找到等量关系式.故答案为：20.【点睛】本题主要考查三角形内角和及角平分线的定义，知道内心是角平分线的交点是解题的关键.【详解】解：如图，过A点作AE⊥AD,交DB的延长线与点E,【解析】【分析】设EF中点为O,半圆与BC相切于AB于点H、M,连接OA,设半圆的半径为r,即OE=OF=0N=OG=r,由切线的性质可得OG⊥BC,S₄AEF-S≠,即可获得答案.【详解】解：如下图，设EF中点为O,半圆与BC相切于点G,与CD相切于点N,连接GO、NO并延长，设半圆的半径为r,即OE=0F=0N=0G=r,∵半圆与BC相切于点G,与CD相切于点N,即(8-r)²+(9-r)²=r²,整理可得r²-34r+145=0,【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质、切线的性质、直角三角形斜边上的中知识，正确作出辅助线，综合运用相关知识是解题关键.【小问2详解】因式分解得：(2x+1)(x-3)=0,【小问3详解】【小问4详解】【点睛】本题考查解一元二次方程，掌握直接开方法和因式分解法是解题的关键.【小问2详解】:关于x的一元二次方程x²+(m-5)x-5m=0(m是常数)是“邻根方程”,√5x+1=0,由两根之差为1,即可得得出结论；即可得出关于m的一元一次方程，解之即可求出m的值.【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程、公式法解一元二次方程以及新定义，解题的关键是：(1)求出两方程的根，作差来判断两方程是否是“邻根方程”;(2)利用“邻根方程”的定义，找出关于m的方DDCOA'EB三个角是60度的三角形是等边三角形得，△ABD是等边三角形.设EB=x,则ED=2x,根据勾股定理得，(2x)²-x²=6².B【小问2详解】【小问2详解】∴△ABP~△PCE,解得x₁=1,x₂=4,∴BP的长为1或4.(2)根据矩形性质和∠PEC=∠DAP,可以证明△ABP∽△PCE,对应边成比例进而可得BP的长.【点睛】本题考查了作图-复杂作图，圆内接四边形的性质，矩形的性质，相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握矩形的性质.24.【答案】【小问1详解】解：依题意，单件利润为11-5=6(元),每天的销售量为32-(11-9)×8=24(件)故答案为：6,24【小问2详解】解：设售价定为x元时，每天的利润为140元，答：售价定为12元或10元时，每天的利润为140元.【解析】【分析】(1)根据利润等于售价减进价，每件提价2元，每天的销售量会减少8件，列出算式，即(2)设售价定为x元时，每天的利润为140元，根据题意列方程即可得到结论【点睛】本题考查了一元二次方程的应用